中考数学浙教版专题训练二三角全等的条件.docx
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中考数学浙教版专题训练二三角全等的条件
2019-2020年中考数学(浙教版)专题训练
(二):
三角全等的条件
一、选择题(共6小题)
1.(邵阳)如图所示,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连结BE交CD于点O,连结AO,下列结论不正确的是( )
A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC
2.(铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
3.(安顺)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠CB.AD=CBC.BE=DFD.AD∥BC
4.(来宾)如图,AB=AC,D,E分别是AB,AC上的点,下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是
( )
A.AD=AEB.BD=CEC.BE=CDD.∠B=∠C
5.(台湾)附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?
( )
A.△ACFB.△ADEC.△ABCD.△BCF
6.(台州)已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,
对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确
二、填空题(共11小题)
7.(临夏州)如图,已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为 .(答案不唯一,只需填一个)
8.(上海)如图,在△ABC和△DEF中,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 .(只需写一个,不添加辅助线)
9.(郴州)如图,点D、E分别在线段AB,AC上,AE=AD,不添加新的线段和字母,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是 (只写一个条件即可).
10.(义乌市)如图,已知∠B=∠C,添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母,不添加新的线段),你添加的条件是 .
11.(巴中)如图,已知点B、C、F、E在同一直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是 .(只需写出一个)
12.(庆阳)如图,已知∠1=∠2,AC=AD,请增加一个条件,使△ABC≌△AED,你添加的条件是 .
13.(青海)如图,BC=EC,∠1=∠2,添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC,则需添加的条件是 (不添加任何辅助线).
14.(张家界)如图,在四边形ABCD中,AD=AB=BC,连接AC,且∠ACD=30°,tan∠BAC=,CD=3,则AC= .
15.(娄底)如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 (添加一个条件即可).
16.(绥化)如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,请添加一个适当的条件 ,使得△EAB≌△BCD.
17.(昭通)如图,AF=DC,BC∥EF,只需补充一个条件 ,就得△ABC≌△DEF.
三、解答题(共13小题)
18.(泰安)如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
19.(青岛)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:
△ABD≌△CAE;
(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?
请证明你的结论.
20.(嘉兴)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G,
(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.
21.(兰州)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:
AD=BC;
(2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,求证:
线段EF与线段GH互相垂直平分.
22.(梅州)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①以A为圆心,AB长为半径画弧;
②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;
③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.
(1)求证:
△ABC≌△ADC;
(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.
23.(泸州)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:
BC=DE.
24.(防城港)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.
求证:
△ABC≌△AED.
25.(随州)如图,点F、B、E、C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?
如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明.
提供的三个条件是:
①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.
26.(宁德)如图,点D、A、C在同一直线上,AB∥CE,AB=CD,∠B=∠D,
求证:
△ABC≌△CDE.
27.(佛山)课本指出:
公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.
(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS;
(2)证明推论AAS.
要求:
叙述推论用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.
28.(云南)如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是 .
(2)添加条件后,请说明△ABC≌△ADE的理由.
29.(仙桃)如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以证明.
30.(荆州)如图,△ABC与△CDE均是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D在AB上,连结BE.请找出一对全等三角形,并说明理由.
浙江省衢州市xx年中考数学(浙教版)专题训练
(二):
三角全等的条件
参考答案与试题解析
一、选择题(共6小题)
1.(邵阳)如图所示,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连结BE交CD于点O,连结AO,下列结论不正确的是( )
A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC
【解答】解:
∵AD=DE,DO∥AB,
∴OD为△ABE的中位线,
∴OD=OC,
∵在△AOD和△EOD中,
,
∴△AOD≌△EOD(SAS);
∵在△AOD和△BOC中,
,
∴△AOD≌△BOC(SAS);
∵△AOD≌△EOD,
∴△BOC≌△EOD;
故B、C、D均正确.
故选A.
2.(铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC,不能添加的一组条件是( )
A.BC=EC,∠B=∠EB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,∠A=∠DD.∠B=∠E,∠A=∠D
【解答】解:
A、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
B、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
C、已知AB=DE,再加上条件BC=DC,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC,故此选项符合题意;
D、已知AB=DE,再加上条件∠B=∠E,∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC,故此选项不合题意;
故选:
C.
3.(安顺)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A.∠A=∠CB.AD=CBC.BE=DFD.AD∥BC
【解答】解:
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
∴AF=CE,
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误;
B、根据AD=CB,AF=CE,∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE,错误,故本选项正确;
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS),正确,故本选项错误;
D、∵AD∥BC,
∴∠A=∠C,
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误;
故选B.
4.(来宾)如图,AB=AC,D,E分别是AB,AC上的点,下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是
( )
A.AD=AEB.BD=CEC.BE=CDD.∠B=∠C
【解答】解:
∵AB=AC,∠A为公共角,
A、如添加AE=AD,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
B、如添BD=CE,可证明AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
C、如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件;
D、如添∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;
故选C.
5.(台湾)附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?
( )
A.△ACFB.△ADEC.△ABCD.△BCF
【解答】解:
根据图象可知△ACD和△ADE全等,
理由是:
∵根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,
∴△ACD≌△AED,
即△ACD和△ADE全等,
故选B.
6.(台州)已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,
对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确
【解答】解:
∵△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,
∴B1C1=B2C2,
∴△A1B1C1≌△A2B2C2(SSS),∴①正确;
∵∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确;
故选:
D.
二、填空题(共11小题)
7.(临夏州)如图,已知BC=EC,∠BCE=∠ACD,要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件为 AC=CD .(答案不唯一,只需填一个)
【解答】解:
添加条件:
AC=CD,
∵∠BCE=∠ACD,
∴∠ACB=∠DCE,
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS),
故答案为:
AC=CD(答案不唯一).
8.(上海)如图,在△ABC和△DEF中,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 AC=DF .(只需写一个,不添加辅助线)
【解答】解:
AC=DF,
理由是:
∵BF=CE,
∴BF+FC=CE+FC,
∴BC=EF,
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE,
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF(SAS),
故答案为:
AC=DF.
9.(郴州)如图,点D、E分别在线段AB,AC上,AE=AD,不添加新的线段和字母,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是 ∠B=∠C(答案不唯一) (只写一个条件即可).
【解答】解:
添加∠B=∠C.
在△ABE和△ACD中,∵,
∴△ABE≌△ACD(AAS).
故答案可为:
∠B=∠C.
10.(义乌市)如图,已知∠B=∠C,添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母,不添加新的线段),你添加的条件是 AC=AB .
【解答】解:
添加条件:
AB=AC,
∵在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
故答案为:
AB=AC.
11.(巴中)如图,已知点B、C、F、E在同一直线上,∠1=∠2,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件,这个条件可以是 CA=FD .(只需写出一个)
【解答】解:
添加CA=FD,可利用SAS判断△ABC≌△DEF.
故答案可为CA=FD.
12.(庆阳)如图,已知∠1=∠2,AC=AD,请增加一个条件,使△ABC≌△AED,你添加的条件是 AE=AB .
【解答】解:
添加条件AE=AB,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB,
∴∠BAC=∠EAD,
在△BCA和△EDA中,
,
∴△BAC≌△EAD(SAS).
故答案为:
AE=AB.
13.(青海)如图,BC=EC,∠1=∠2,添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC,则需添加的条件是 ∠A=∠D (不添加任何辅助线).
【解答】解:
添加条件:
∠A=∠D;
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA,
即∠ACB=∠DCE,
在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(AAS).
14.(张家界)如图,在四边形ABCD中,AD=AB=BC,连接AC,且∠ACD=30°,tan∠BAC=,CD=3,则AC= 6 .
【解答】解:
过点D、B分别作DE⊥AC,BH⊥AC,垂足分别为E、H,设AC=x.
在Rt△CDE中,DC=3,∠DCE=30°,
∴,.
∴DE=,CE=.
则AE=x﹣,
在Rt△AED中,由勾股定理得:
AD2=AE2+DE2=,
∵AB=BC,BH⊥AC,
∴AH=AC=,
∵tan∠BAC=,
∴BH=
在Rt△ABH中,由勾股定理得:
AB2=BH2+AH2,
∴
.
∵AB=AD,
∴=
解得:
x1=,x2=(舍去).
∴AC=6.
15.(娄底)如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD (添加一个条件即可).
【解答】解:
添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD.
故答案为:
∠B=∠C或AE=AD.
16.(绥化)如图,A,B,C三点在同一条直线上,∠A=∠C=90°,AB=CD,请添加一个适当的条件 AE=CB ,使得△EAB≌△BCD.
【解答】解:
∵∠A=∠C=90°,AB=CD,
∴若利用“SAS”,可添加AE=CB,
若利用“HL”,可添加EB=BD,
若利用“ASA”或“AAS”,可添加∠EBD=90°,
若添加∠E=∠DBC,可利用“AAS”证明.
综上所述,可添加的条件为AE=CB(或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等).
故答案为:
AE=CB.
17.(昭通)如图,AF=DC,BC∥EF,只需补充一个条件 BC=EF ,就得△ABC≌△DEF.
【解答】解:
补充条件BC=EF,
∵AF=DC,
∴AF+FC=CD+FC,
即AC=DF,
∵BC∥EF,
∴∠EFC=∠BCF,
∵在△ABC和△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
故答案为:
BC=EF.
三、解答题(共13小题)
18.(泰安)如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
【解答】证明:
(1)延长DE交AB于点G,连接AD.
∵四边形BCDE是平行四边形,
∴ED∥BC,ED=BC.
∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,
∴AG=BG,DG⊥AB.
∴AD=BD,
∴∠BAD=∠ABD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.
又BF=BC,
∴BF=DE.
∴在△AED与△DFB中,,
∴△AED≌△DFB(SAS),
∴AE=DF,即DF=AE;
(2)设AC与FD交于点O.
∵由
(1)知,△AED≌△DFB,
∴∠AED=∠DFB,
∴∠DEO=∠DFG.
∵∠DFG+∠FDG=90°,
∴∠DEO+∠EDO=90°,
∴∠EOD=90°,即DF⊥AC.
19.(青岛)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:
△ABD≌△CAE;
(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?
请证明你的结论.
【解答】证明:
(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD,
∵AE∥BC,
∴∠EAC=∠ACD,
∴∠B=∠EAC,
∵AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∵CE⊥AE,
∴∠ADC=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS);
(2)AB=DE,AB∥DE,如右图所示,
∵AD⊥BC,AE∥BC,
∴AD⊥AE,
又∵CE⊥AE,
∴四边形ADCE是矩形,
∴AC=DE,
∵AB=AC,
∴AB=DE.
∵AB=AC,
∴BD=DC,
∵四边形ADCE是矩形,
∴AE∥CD,AE=DC,
∴AE∥BD,AE=BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AB∥DE且AB=DE.
20.(嘉兴)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G,
(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.
【解答】解:
(1)由图可知,∠DAG,∠AFB,∠CDE与∠AED相等;
(2)选择∠DAG=∠AED,证明如下:
∵正方形ABCD,
∴∠DAB=∠B=90°,AD=AB,
∵AF=DE,
在△DAE与△ABF中,
,
∴△DAE≌△ABF(HL),
∴∠ADE=∠BAF,
∵∠DAG+∠BAF=90°,∠GDA+∠AED=90°,
∴∠DAG=∠AED.
21.(兰州)如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.
(1)求证:
AD=BC;
(2)若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点,求证:
线段EF与线段GH互相垂直平分.
【解答】证明:
(1)过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M,如图1,
∵AB∥CD
∴四边形ABMC为平行四边形,
∴AC=BM=BD,∠BDC=∠M=∠ACD,
在△ACD和△BDC中,
,
∴△ACD≌△BDC(SAS),
∴AD=BC;
(2)连接EH,HF,FG,GE,如图2,
∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,
∴HE∥AD,且HE=AD,FG∥AD,且FG=,
∴四边形HFGE为平行四边形,
由
(1)知,AD=BC,
∴HE=EG,
∴▱HFGE为菱形,
∴EF与GH互相垂直平分.
22.(梅州)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①以A为圆心,AB长为半径画弧;
②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;
③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.
(1)求证:
△ABC≌△ADC;
(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.
【解答】
(1)证明:
在△ABC与△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(SSS);
(2)解:
设BE=x,
∵∠BAC=30°,
∴∠ABE=60°,
∴AE=tan60°•x=x,
∵△ABC≌△ADC,
∴CB=CD,∠BCA=∠DCA,
∵∠BCA=45°,
∴∠BCA=∠DCA=45°,
∴∠CBD=∠CDB=45°,
∴CE=BE=x,
∴x+x=4,
∴x=2﹣2,
∴BE=2﹣2.
23.(泸州)如图,AC=AE,∠1=∠2,AB=AD.求证:
BC=DE.
【解答】证明:
∵∠1=∠2,
∴∠CAB=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,,
∴△BAC≌△DAE(SAS),
∴BC=DE.
24.(防城港)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.
求证:
△ABC≌△AED.
【解答】证明:
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD,
∵在△ABC和△AED中,
,
∴△ABC≌△AED(AAS).
25.(随州)如图,点F、B、E、C在同一直线上,并且BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?
如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明.
提供的三个条件是:
①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.
【解答】解:
不能;
选择条件:
①AB=DE;
∵BF=CE,
∴BF+BE=CE+BE,
即EF=CB,
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SAS).
26.(宁德)如图,点D、A、C在同一直线上,AB∥CE,AB=CD,∠B=∠D,
求证:
△ABC≌△CDE.
【解答】证明:
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠DCE,
在△ABC和△CDE中,
,
∴△ABC≌△CDE(ASA).
27.(佛山)课本指出:
公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.
(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS;
(2)证明推论AAS.
要求:
叙述推论用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据.
【解答】解:
(1)三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是:
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
(2)已知:
在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,BC=EF.
求证:
△ABC≌△DEF.
证明:
如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F(已知),
∴∠A+∠C=∠D+∠F(等量代换).
又∵∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和定理),
∴∠B=∠E.
∵在△ABC与△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
28.(云南)如图,点B在AE上,点D在AC上,AB=AD.请你添加一个适当的条件,使△ABC≌△ADE(只能添加一个).
(1)你添加的条件是 ∠C=