中考数学浙教版专题训练二三角全等的条件.docx

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中考数学浙教版专题训练二三角全等的条件

2019-2020年中考数学（浙教版）专题训练

（二）：

三角全等的条件

一、选择题（共6小题）

1．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（　　）

A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC

2．（铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D

3．（安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）

A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC

4．（来宾）如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是

（　　）

A．AD=AEB．BD=CEC．BE=CDD．∠B=∠C

5．（台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？

（　　）

A．△ACFB．△ADEC．△ABCD．△BCF

6．（台州）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：

①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；

②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，

对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）

A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确

二、填空题（共11小题）

7．（临夏州）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　　　　　　．（答案不唯一，只需填一个）

8．（上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　　　　　　．（只需写一个，不添加辅助线）

9．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　　　　　　（只写一个条件即可）．

10．（义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是　　　　　　．

11．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　　　　　　．（只需写出一个）

12．（庆阳）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是　　　　　　．

13．（青海）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是　　　　　　（不添加任何辅助线）．

14．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=　　　　　　．

15．（娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　　　　　　（添加一个条件即可）．

16．（绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件　　　　　　，使得△EAB≌△BCD．

17．（昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件　　　　　　，就得△ABC≌△DEF．

三、解答题（共13小题）

18．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

19．（青岛）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：

△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？

请证明你的结论．

20．（嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，

（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．

（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．

21．（兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．

（1）求证：

AD=BC；

（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：

线段EF与线段GH互相垂直平分．

22．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

（1）求证：

△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

23．（泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：

BC=DE．

24．（防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求证：

△ABC≌△AED．

25．（随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？

如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．

提供的三个条件是：

①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

26．（宁德）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，

求证：

△ABC≌△CDE．

27．（佛山）课本指出：

公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS．

要求：

叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．

28．（云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．

（1）你添加的条件是　　　　　　．

（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．

29．（仙桃）如图，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．

30．（荆州）如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

浙江省衢州市xx年中考数学（浙教版）专题训练

（二）：

三角全等的条件

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题）

1．（邵阳）如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（　　）

A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC

【解答】解：

∵AD=DE，DO∥AB，

∴OD为△ABE的中位线，

∴OD=OC，

∵在△AOD和△EOD中，

，

∴△AOD≌△EOD（SAS）；

∵在△AOD和△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC（SAS）；

∵△AOD≌△EOD，

∴△BOC≌△EOD；

故B、C、D均正确．

故选A．

2．（铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC=EC，∠B=∠EB．BC=EC，AC=DCC．BC=DC，∠A=∠DD．∠B=∠E，∠A=∠D

【解答】解：

A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；

B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；

C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；

D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；

故选：

C．

3．（安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（　　）

A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC

【解答】解：

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

∴AF=CE，

A、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；

C、∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；

D、∵AD∥BC，

∴∠A=∠C，

∵在△ADF和△CBE中

∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；

故选B．

4．（来宾）如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是

（　　）

A．AD=AEB．BD=CEC．BE=CDD．∠B=∠C

【解答】解：

∵AB=AC，∠A为公共角，

A、如添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

B、如添BD=CE，可证明AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；

D、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；

故选C．

5．（台湾）附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？

（　　）

A．△ACFB．△ADEC．△ABCD．△BCF

【解答】解：

根据图象可知△ACD和△ADE全等，

理由是：

∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，

∴△ACD≌△AED，

即△ACD和△ADE全等，

故选B．

6．（台州）已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：

①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；

②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，

对于上述的两个判断，下列说法正确的是（　　）

A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确

【解答】解：

∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，

∴B1C1=B2C2，

∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；

∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，

∴△A1B1C1∽△A2B2C2

∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，

∴△A1B1C1≌△A2B2C2

∴②正确；

故选：

D．

二、填空题（共11小题）

7．（临夏州）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为　AC=CD　．（答案不唯一，只需填一个）

【解答】解：

添加条件：

AC=CD，

∵∠BCE=∠ACD，

∴∠ACB=∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（SAS），

故答案为：

AC=CD（答案不唯一）．

8．（上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　AC=DF　．（只需写一个，不添加辅助线）

【解答】解：

AC=DF，

理由是：

∵BF=CE，

∴BF+FC=CE+FC，

∴BC=EF，

∵AC∥DF，

∴∠ACB=∠DFE，

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（SAS），

故答案为：

AC=DF．

9．（郴州）如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是　∠B=∠C（答案不唯一）　（只写一个条件即可）．

【解答】解：

添加∠B=∠C．

在△ABE和△ACD中，∵，

∴△ABE≌△ACD（AAS）．

故答案可为：

∠B=∠C．

10．（义乌市）如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是　AC=AB　．

【解答】解：

添加条件：

AB=AC，

∵在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（ASA），

故答案为：

AB=AC．

11．（巴中）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是　CA=FD　．（只需写出一个）

【解答】解：

添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．

故答案可为CA=FD．

12．（庆阳）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是　AE=AB　．

【解答】解：

添加条件AE=AB，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，

∴∠BAC=∠EAD，

在△BCA和△EDA中，

，

∴△BAC≌△EAD（SAS）．

故答案为：

AE=AB．

13．（青海）如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是　∠A=∠D　（不添加任何辅助线）．

【解答】解：

添加条件：

∠A=∠D；

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，

即∠ACB=∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

∴△ABC≌△DEC（AAS）．

14．（张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=　6　．

【解答】解：

过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．

在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，

∴，．

∴DE=，CE=．

则AE=x﹣，

在Rt△AED中，由勾股定理得：

AD2=AE2+DE2=，

∵AB=BC，BH⊥AC，

∴AH=AC=，

∵tan∠BAC=，

∴BH=

在Rt△ABH中，由勾股定理得：

AB2=BH2+AH2，

∴

．

∵AB=AD，

∴=

解得：

x1=，x2=（舍去）．

∴AC=6．

15．（娄底）如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是　∠B=∠C或AE=AD　（添加一个条件即可）．

【解答】解：

添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．

故答案为：

∠B=∠C或AE=AD．

16．（绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件　AE=CB　，使得△EAB≌△BCD．

【解答】解：

∵∠A=∠C=90°，AB=CD，

∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，

若利用“HL”，可添加EB=BD，

若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，

若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．

综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．

故答案为：

AE=CB．

17．（昭通）如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件　BC=EF　，就得△ABC≌△DEF．

【解答】解：

补充条件BC=EF，

∵AF=DC，

∴AF+FC=CD+FC，

即AC=DF，

∵BC∥EF，

∴∠EFC=∠BCF，

∵在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

故答案为：

BC=EF．

三、解答题（共13小题）

18．（泰安）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：

（1）DF=AE；

（2）DF⊥AC．

【解答】证明：

（1）延长DE交AB于点G，连接AD．

∵四边形BCDE是平行四边形，

∴ED∥BC，ED=BC．

∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，

∴AG=BG，DG⊥AB．

∴AD=BD，

∴∠BAD=∠ABD．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．

又BF=BC，

∴BF=DE．

∴在△AED与△DFB中，，

∴△AED≌△DFB（SAS），

∴AE=DF，即DF=AE；

（2）设AC与FD交于点O．

∵由

（1）知，△AED≌△DFB，

∴∠AED=∠DFB，

∴∠DEO=∠DFG．

∵∠DFG+∠FDG=90°，

∴∠DEO+∠EDO=90°，

∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．

19．（青岛）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：

△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？

请证明你的结论．

【解答】证明：

（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACD，

∴∠B=∠EAC，

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AE，

∴∠ADC=∠CEA=90°

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，

∵AD⊥BC，AE∥BC，

∴AD⊥AE，

又∵CE⊥AE，

∴四边形ADCE是矩形，

∴AC=DE，

∵AB=AC，

∴AB=DE．

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵四边形ADCE是矩形，

∴AE∥CD，AE=DC，

∴AE∥BD，AE=BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB∥DE且AB=DE．

20．（嘉兴）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，

（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．

（2）选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．

【解答】解：

（1）由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；

（2）选择∠DAG=∠AED，证明如下：

∵正方形ABCD，

∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，

∵AF=DE，

在△DAE与△ABF中，

，

∴△DAE≌△ABF（HL），

∴∠ADE=∠BAF，

∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，

∴∠DAG=∠AED．

21．（兰州）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD=AC．

（1）求证：

AD=BC；

（2）若E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，求证：

线段EF与线段GH互相垂直平分．

【解答】证明：

（1）过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，如图1，

∵AB∥CD

∴四边形ABMC为平行四边形，

∴AC=BM=BD，∠BDC=∠M=∠ACD，

在△ACD和△BDC中，

，

∴△ACD≌△BDC（SAS），

∴AD=BC；

（2）连接EH，HF，FG，GE，如图2，

∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，

∴HE∥AD，且HE=AD，FG∥AD，且FG=，

∴四边形HFGE为平行四边形，

由

（1）知，AD=BC，

∴HE=EG，

∴▱HFGE为菱形，

∴EF与GH互相垂直平分．

22．（梅州）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①以A为圆心，AB长为半径画弧；

②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；

③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．

（1）求证：

△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．

【解答】

（1）证明：

在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）；

（2）解：

设BE=x，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABE=60°，

∴AE=tan60°•x=x，

∵△ABC≌△ADC，

∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，

∵∠BCA=45°，

∴∠BCA=∠DCA=45°，

∴∠CBD=∠CDB=45°，

∴CE=BE=x，

∴x+x=4，

∴x=2﹣2，

∴BE=2﹣2．

23．（泸州）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：

BC=DE．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴∠CAB=∠DAE，

在△BAC和△DAE中，，

∴△BAC≌△DAE（SAS），

∴BC=DE．

24．（防城港）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．

求证：

△ABC≌△AED．

【解答】证明：

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，

即∠BAC=∠EAD，

∵在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△AED（AAS）．

25．（随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？

如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．

提供的三个条件是：

①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．

【解答】解：

不能；

选择条件：

①AB=DE；

∵BF=CE，

∴BF+BE=CE+BE，

即EF=CB，

在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE（SAS）．

26．（宁德）如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，

求证：

△ABC≌△CDE．

【解答】证明：

∵AB∥CE，

∴∠BAC=∠DCE，

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE（ASA）．

27．（佛山）课本指出：

公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．

（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；

（2）证明推论AAS．

要求：

叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．

【解答】解：

（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：

两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．

（2）已知：

在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．

求证：

△ABC≌△DEF．

证明：

如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），

∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．

又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），

∴∠B=∠E．

∵在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

28．（云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．

（1）你添加的条件是　∠C=