油桶数学建模模型论文数学建模论文国家一等奖 精品.docx
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油桶数学建模模型论文数学建模论文国家一等奖精品
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
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1.
2.
3.
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日期：
年月日
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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评
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备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
油桶的变位识别与罐容器的标定
摘要：
本文主要是通过积分方程和高度转化方程，建立在无变位，横向倾斜以及纵向倾斜在ａ为4.1度的基本模型，出罐体变位后油位高度
对于问题一：
我们开始使用微积分，对灌容器的无变位和变位的求出它们油量的体积。
首先求出无变位情况下求出它的高度和油量，然而在纵向倾斜，它有五种情况，分别对它五种积分，在五段分段函数，由于函数比较复杂，不便观察它们的变化，再求出的数据，次之使用使用matlab仿真出数据。
再模拟出曲线。
很明显能看到倾斜和无变位的变化。
能较快的满意的答案。
最后得到出油桶的变化识别与灌容器的标定。
对于问题二：
在于问题二中我们使用重积分的和高度转化方程基础下求解截住图形的面积，借助于matlab工具绘制出模拟的图像，并且建立油位的高度与储油器之间的模型。
所绘出在结果的图像在误差最大在一定范围上，ａβ之间的角度在0——10度之间，ａβ之间的角度在附件二的通过集优值求出。
分别用ａβ之间去检查者两百个油面的高度以及两百个的储油量的数据下的关系去精优最佳值。
最后得出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
关键词：
微积分方程，高度转化方程，matlab，曲线拟合，体积标定，
问题重述：
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。
进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
问题分析：
油灌由于地基发生变化，显然油桶的形状发生变化。
积分求解出纵向倾斜，和横向倾斜以及无变位的油量，分析它们之间的影响。
对于问题一：
在问题一首先分了纵向倾斜ａ为4.1度，无变位倾斜两种情况下的求解，在无变位的倾斜条件下，主要是一个椭圆的方程求解，当然需要建立一个积分方程求出它们的面积，再乘以他的宽度求出它的体积。
分析出它们的变化，模拟出曲线。
讨论灌容器的油量的之间在这种情况下变化。
对于问题二，一般的加油站下的基本是这种类型的，，意义不同的事如何让求出在两个倾斜角度求出储油量的体积。
问题在加油站是很大的意义。
问题二同样是属于积分问题，解决此类问题需要用多元面积分和体积积分。
对已知的数据在附件二得出。
进一步了解油面的高度和储油量之间的关系，首先对ａβ的预测和精优。
在附件二中先取值，再次去优化。
在油桶的体积分为三个部分，积分求和，求出在10cm的灌容标的定值。
并在此基础上进行误差分析和曲线拟合。
进一步完善体积的模型。
数学模型的假设与符号说明;
模型假设：
1）在恒压，恒温，等不变条件下测量。
2）油桶内壁无凹凸不齐，且内壁光滑。
3）油的密度均匀，纯净无其它的液体。
4）输出油管和输进油管在输量过程中不会衰落出油量。
5）在测量时忽略误差的产生。
6）忽略蒸发的液体以及油管留下的液体。
符号说明：
椭圆的半长轴长
椭圆的半短轴长
储油罐的总长
油位探针到油罐底部左侧的距离
储油罐的总体积
d为油桶的宽度
储油罐的纵向倾斜角度
储油罐的横向偏转角度
油位高度
球冠体的半径
圆柱体的底面半径
数学模型
1.1模型一;
模型一是在无变位情况下产生，在油量输进和输出得到已知的数据，求出无变位的油面的高度跟油量的体积。
油桶的形状是一个椭圆柱体所在求出的体积时需要V=s（x）*d，所以建立模
型如下：
4.1小椭圆储油罐无变位时的模型
由于此时的椭圆无变位，考虑先对二维椭圆进行积分。
为方便表示油位高度，建立如图
所示的坐标系，椭圆的半长轴长为
，半短轴长为
，则椭圆方程为
v=s（x）*d
s（x）=
V=LS（X）
V=
4.2纵向倾斜的油桶模型
我们将倾斜的油桶根据油面的高度分成5个阶段进行积分。
）dydx（0储油罐纵向倾斜之后，油位计在油位过高或者过低时将不起作用（如图2所示的
和
区域），考虑到倾斜角
变化一般不会很大，所以我们可以将储油罐按液面高低分成五个部分
，来求其储油量和油位高度之间的关系。
我们讨论的是小椭圆储油罐纵向倾斜变位为逆时针旋转，如图2。
对于储油罐顺时针旋转变位（即
为负值）时的情况与此非常类似，在此不再详细讨论。
图2储油罐分区示意图
4.2.1对区域
的讨论
在区域
，其油位低于油位探针的油浮子，所以油位计量系统中显示油位高度为零。
当油位计刚开始有示数时，计算其储油体积。
将区域
放大得到图3
图3区域
的放大图
图中，从原点纸面向里为
轴，利用三重积分可以得到
其中
为油位探针到储油罐左侧的距离
积分得到
（2）
4.2.2对区域
的讨论
由区域
很容易得到区域
的储油量和油位高度的变化关系，直接给出结论：
所以
（3）
4.2.3对区域
的讨论
图4区域
示意图
在小椭圆储油罐无变位模型中我们已经求出了
的计算公式，同区域
中的积分原理可以计算出
，我们就可以得到此时的油量体积为
（4）
其中
4.2.4对区域
的讨论
由区域4和区域2的相似性，将（3）式中的
换为
，将
换为
，并用总体积减去
即为区域4的储油体积和油位高度的变化关系。
其中
为小椭圆储油罐的总体积
化简并积分可得
（5）
4.2.5对区域
的讨论
在此区域中油浮子到达油位探针顶点，无法进一步测量油位高度。
无法测量的总体积为：
（6）
4.2.6综合各区域的罐容表标定的数学模型
综上所述，我们得到了储油量
和油位高度
、纵向倾斜角
之间的分段函数关系式：
表2
分段函数关系
区域
油位高度
储油量
1
2
3
4
5
根据储油量和油位高度的分段函数关系我们可以得到罐体纵向倾斜变位（
）后油位高度间隔为
的罐容表标定值（见附录一）。
当
时，各区域油位高度及体积变化范围为：
表3各区域油位高度和储油量变化范围
区域
油位高度
储油量
1
2
3
4
5
4.3罐体变位后对罐容表的影响
为了能更加准确地刻画罐体的纵向倾斜变位对罐容表的影响，我们分别对罐体变位前后的理论值和测量值进行多方面的比较。
4.3.1罐体变位前理论值与测量值比较
根据附件一中所给数据，我们计算出在附件中所给的油位高度下理论值和测量值，并画出其曲线。
图5罐体变位前的
曲线对比
通过对比我们发现，对于任意
，储油量的理论值和实际值始终成如（7）式的比例关系。
（
图6罐体变位后的
曲线对比
从图6中可以看出测量值仍然始终小于理论值，进一步求得理论值与测量值之差的变化范围为[0.0454,0.0910]，测量值的相对误差范围为[1.56%，5.18%]。
4.3.3罐体纵向倾斜变位
前后理论值比较
图7罐体变位前后的
曲线对比
图8同一高度下储油量的理论值与测量值之差变化关系
图9储油量的测量值的相对误差随油位高度的变化关系
由以上各图可以清晰地看出纵向倾斜变位后，使得在同一个油位高度下，变位后比变位前的储油量减小。
但是这样仍不够直观，我们需要找到一个指标来定量刻画罐体变位后对罐容表的影响。
从图9中可以看出，当油位高度
较小时（0.1
附近），变位后相对于变位前的相对误差几乎达到了60%以上，但是此时的储油量的差别并不大，鉴于此，我们定义平均影响率：
来刻画罐体变位后对罐容表的影响。
可以求出在纵向倾斜变位
时，
4.87%
五问题二的解答
如图8实际的储油罐示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体，在储油罐无变位时我们计算其各部分体积。
图10实际储油罐示意图
圆柱体积计算公式
带入数据得到：
主体圆柱体积为56.5487
一端球缺体积计算公式
带入数据得到：
两端球缺总体积为
，则储油罐的总体积为64.6645
5.1考虑不发生变位时储油量和油位高度的关系
圆柱内的油体积随油位高度变化关系：
（8）
一端球缺内油体积随油位高度变化关系：
（9）
其中
为圆柱体底面半径
为球缺对应的半径
为球内小圆半径
总的储油罐内的油量对油位高度的变化关系为：
5.2只考虑横向偏转变位时的储油量和油位高度的关系
只考虑储油罐横向偏转为
时：
对实际的油位高度没有影响，但此时的油位探针已经随储油罐发生偏转（如下图）
图11只考虑横向偏转示意图
由油浮子测量得到的油位高度与实际油位高度的关系为
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