秋新课堂高中数学北师大版选修21导学案第1章 24充要条件.docx

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秋新课堂高中数学北师大版选修21导学案第1章24充要条件

2.4　充要条件

1.理解充要条件的意义.（难点）

2.掌握充分、必要、充要条件的应用.（重点、难点）

3.区分充分不必要条件、必要不充分条件.（易混点）

[基础·初探]

教材整理　充要条件

阅读教材P8～P9的内容，完成下列问题.

1.充要条件

如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.

2.常见的四种条件

（1）充分不必要条件，即p⇒q而q⇒/_p.

（2）必要不充分条件，即p⇒/_q而q⇒p.

（3）充要条件，即p⇒q，q⇒p.

（4）既不充分也不必要条件，即p⇒/_q，q⇒/_p.

1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）当p是q的充要条件时，也可以说成q成立当且仅当p成立.（　　）

（2）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.（　　）

（3）若p

q和q

p有一个成立，则p一定不是q的充要条件.（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）√

2.在△ABC中，“A＞B”是“a＞b”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】　在△ABC中A＞B⇔a＞b，

∴A＞B是a＞b的充要条件.

【答案】　C

3.用符号“⇒”“⇐”“⇔”填空.

（1）x＝0________x＜1；

（2）整数a能被2整除________整数a是偶数；

（3）M＞N________log2M＞log2N.

【解析】　利用这三种符号的意义求解.

【答案】　

（1）⇒　

（2）⇔　（3）⇐

4.已知非零实数a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的____________条件.

【解析】　b2＝ac⇒a，b，c成等比数列，

a，b，c成等比数列⇒b2＝ac，

∴互为充要条件.

【答案】　充要

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

________________________________________________________

解惑：

________________________________________________________

疑问2：

________________________________________________________

解惑：

________________________________________________________

疑问3：

________________________________________________________

解惑：

________________________________________________________

[小组合作型]

充要条件的判断

（1）“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【自主解答】　当a＝c＝－1，b＝0时，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅.

反过来，由一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R，得

，

因此，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R的必要不充分条件.

【答案】　B

（2）条件甲：

“a＞1”是条件乙：

“a＞

”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【自主解答】　方法一：

甲⇒乙：

a＞1⇒

＞1⇒a＞

，乙⇒甲：

a＞

⇒

（

－1）＞0⇒

＞1或

＜0⇒a＞1因此是充要条件.

方法二：

∵a＞

⇔

⇔a＞1，∴选C.

【答案】　C

（3）已知p：

－1＜2x－3＜1，q：

x（x－3）＜0，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【自主解答】　由－1＜2x－3＜1，得1＜x＜2，即x∈（1,2）.

由x（x－3）＜0，得0＜x＜3，即x∈（0,3）.

∵当1＜x＜2时，能推出0＜x＜3；但是0＜x＜3不能推出1＜x＜2.∴p是q的充分不必要条件.

【答案】　A

（4）p：

x＝1或x＝2，q：

x－1＝

，则p是q的________条件.

【自主解答】　∵当x＝1或x＝2成立时可得x－1＝

成立.反过来，当x－1＝

成立时可推出x＝1或x＝2.∴p是q的充要条件.

【答案】　充要

对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p⇒q，但q

p，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但p

q，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p

q，且q

p，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

充要条件的证明

　求证：

“f（x）＝sin（x＋φ）是奇函数”的充要条件是“f（0）＝0”.

【导学号：

32550005】

【精彩点拨】　分清条件和结论，证明充分性即证“条件⇒结论”，证明必要性即证“结论⇒条件”.

【自主解答】　必要性：

由f（x）＝sin（x＋φ）是奇函数，得f（－x）＝－f（x），

即sin（－x＋φ）＝－sin（x＋φ），

∴sin（－x）cosφ＋cos（－x）sinφ＝－sinxcosφ－cosxsinφ，

整理得2cosxsinφ＝0，

由于上式对任意x∈R都成立，所以sinφ＝0，

即f（0）＝sinφ＝0.

充分性：

由f（0）＝0，得sinφ＝0.

∴f（－x）＝sin（－x＋φ）＝sin（－x）cosφ＋cos（－x）·sinφ＝－sinxcosφ，

f（x）＝sin（x＋φ）＝sinxcosφ＋cosxsinφ

＝sinxcosφ，

∴f（－x）＝－f（x）.

∴f（x）＝sin（x＋φ）是奇函数.

综上，“f（x）＝sin（x＋φ）是奇函数”的充要条件是“f（0）＝0”.

1.首先分清条件和结论.本例中条件是“f（0）＝0”，结论是“f（x）＝sin（x＋φ）是奇函数”.“p是q的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论.

2.充要条件的证明分两步证明：

证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性.

[再练一题]

1.求证：

“f（x）＝sin（x＋φ）是偶函数”的充要条件是“|f（0）|＝1”.

【证明】　必要性：

由f（x）＝sin（x＋φ）是偶函数得f（－x）＝f（x），

即sin（－x＋φ）＝sin（x＋φ），

∴sin（－x）cosφ＋cos（－x）sinφ＝sinxcosφ＋cosxsinφ

整理得2sinxcosφ＝0.

由于上式对任意x∈R都成立，所以cosφ＝0，即|f（0）|＝|sinφ|＝1.

充分性：

由|f（0）|＝1，得|sinφ|＝1，

∴cosφ＝0.

∵f（－x）＝sin（－x＋φ）＝sin（－x）cosφ＋cos（－x）·sinφ＝cosxsinφ，

f（x）＝sin（x＋φ）＝sinxcosφ＋cosxsinφ＝cosxsinφ，

∴f（－x）＝f（x），

∴f（x）＝sin（x＋φ）是偶函数，

综上，“f（x）＝sin（x＋φ）是偶函数”的充要条件是“|f（0）|＝1”.

[探究共研型]

充要条件

探究1　充要条件具有传递性吗？

【提示】　若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件.

探究2　从集合的角度判断充要条件、必要条件和充分条件适用于哪些题目？

【提示】　当所要研究的p，q含有变量，即涉及方程的解集、不等式的解集，或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系利用Venn图或数轴解题.

探究3　在使用充分条件和必要条件时，要注意什么？

【提示】　在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题.在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法.

探究4　如何求一个问题的充要条件？

【提示】　求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.

　已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q（p≠0，p≠1），求数列{an}是等比数列的充要条件.

【精彩点拨】　由关系式an＝

寻找an与an＋1的比值，但同时要注意充分性的证明.

【自主解答】　a1＝S1＝p＋q.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1（p－1）.

∵p≠0，p≠1，∴

＝p，

若{an}为等比数列，则

＝

＝p，

∴

＝p.

∵p≠0，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.

以上是{an}为等比列的必要条件.

下面证明q＝－1是{an}为等比数列的充分条件.

当q＝－1时，∴Sn＝pn－1（p≠0，p≠1），a1＝S1＝p－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1（p－1）.

∴an＝（p－1）pn－1（p≠0，p≠1），

＝

＝p为常数，

∴q＝－1时，数列{an}为等比数列.

即数列{an}是等比数列的充要条件为q＝－1.

本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定.证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性.

[再练一题]

2.求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.

【解】　

（1）当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，即x＝－

，符合要求.

（2）当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1.

①方程ax2＋2x＋1＝0有一个负根的充要条件是

即

，∴a＜0.

②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根的充要条件是

即

∴0＜a≤1.

综上所述，ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件为a≤1.

[构建·体系]

1.若p：

|x|＝x，q：

x2＋x≥0.则p是q的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】　设p：

{x||x＝x}＝{x|x≥0}＝A，

q：

{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，

∵AB，

∴p是q的充分不必要条件.

【答案】　A

2.“sinA＞cosB”是△ABC为锐角三角形的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】　当A＝120°，B＝45°时，△ABC为钝角三角形；当△ABC是锐角三角形时，A＋B＞90°，A＞90°－B，又0°＜A,90°－B＜90°，则sinA＞sin（90°－B）＝cosB.

【答案】　B

3.已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是（　　）

A.x＝－

　　　B.x＝－1

C.x＝5D.x＝0

【解析】　a⊥b⇔2（x－1）＋2＝0⇔x＝0.

【答案】　D

4.已知p：

x2－x－2＜0，q：

x∈（－1，m）且p是q的充分不必要事件，则实数m的取值范围是（　　）

A.m＞2B.m≥2

C.－1＜m＜2D.－1＜m≤2

【解析】　由x2－x－2＜0，得x∈（－1,2）.

∵p是q的充分不必要条件，

∴（－1,2）（－1，m），∴m＞2.故选A.

【答案】　A

5.若p：

x（x－3）＜0是q：

2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.

【导学号：

32550006】

【解析】　p：

x（x－3）＜0则0＜x＜3，

q：

2x－3＜m则x＜

，

由题意知p⇒q，q

p则

≥3解得m≥3.

【答案】　[3，＋∞）

我还有这些不足：

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（2）________________________________________________

我的课下提升方案：

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（2）________________________________________________