普通高等学校招生全国统一考试数学1982年 文科数学.docx

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普通高等学校招生全国统一考试数学1982年文科数学

 1982年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）

数学

一、填表:

二、求（-1+i）20展开式中第15项的数值.

三、在平面直角坐标系内,表中的方程表示什么曲线?

并画出它们的图形:

五、以墙为一边,用篱笆围成长方形的场地,并用平行于一边的篱笆隔开（如图）.已知篱笆的总长为定值L,这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大?

最大面积是多少?

六、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,

（1）用平面A1BC1截去一角后,求剩余部分的体积;

（2）求A1B和B1C所成的角.

七、已知定点A,B,且AB=2a,如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2:

1,求点P的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

八、求tg9°+ctg117°-tg243°-ctg351°的值.

九、如图,已知△AOB中,OA=b,OB=a,∠AOB=θ（a≥b,θ是锐角）.作AB1⊥OB,B1A1∥BA;再作A1B2⊥OB,B2A2∥BA;如此无限继续作下去.设△ABB1,△A1B1B2,…的面积为S1,S2,…,求无穷数列S1,S2,…的和.

 1982年全国普通高等学校招生统一考试（文史卷）

数学参考答案

一、本题考查对函数定义域的理解和表示实数范围的方法.

解:

（1）x=0（或{0}等）

（2）x为任意实数（或R;或（-∞,+∞）;或-∞

（3）x>0（或x>0的一切实数;或（0,+∞）;或0

x>0};或{x│x>0};或x是正实数等）

（4）x为任意实数（或R;或（-∞,+∞）;或-∞

二、本题考查二项式定理,i的方幂的性质及组合数的计算.

三、本题考查识别方程是什么图形和作出图形的能力.

解:

（1）曲线名称:

椭圆.

图形

（2）曲线名称:

直线.

图形

四、本题考查二次式的运算.

解法四:

设x=cosθ,y=sinθ（θ为税角）,

cos2θ+sin2θ=1.

∴            x2-y2=cos2θ-sin2θ

五、本题考查从实际问题列函数式、配方、求极值的知识和能力.

解法一:

设长方形场地的宽为x,则长为L-3x,它的面积

y=x（L-3x）=-3x2+Lx

六、本题考查立体几何的线面关系的知识和体积的计算.

解法一:

（1）∵BB1⊥平面A1B1C1D1,

∴△A1B1C1是棱锥B-A1B1C1的底,BB1是棱锥的高,

正方体体积=a3,

（2）连D1C和D1B1,

∴四边形A1BCD1是平行四边形,

∴A1B∥D1C,

∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角,

∵正方体各面上对角线的长度相等,即D1B1=B1C=D1C,∴△D1CB1是等边三角形.

∴∠D1CB1=60°,

∴A1B与B1C成60°的角.

（2）同[解一]

（2）.

七、本题考查解析几何中求轨迹方程的基本知识、运算能力和从方程判断轨迹图形的能力.

解:

选取AB所在直线为横轴,从A到B为正方向,以AB中点O为原点,过O作AB的垂线为纵轴,则A为（-a,0）,B为（a,0）,设P为（x,y）.

∴                 （x+a）2+y2=4[（x-a）2+y2],

即               x2+2ax+a2+y2=4x2-8ax+4a2+4y2,

∴                     3x2-10ax+3y2+3a2=0.

因为x2,y2两项的系数相等,且缺xy项,所以轨迹的图形是圆.

八、本题考查利用同角三角函数的基本关系式、三角函数的诱导公式、三角函数的两角和差公式、倍角公式、和差化积公式等来进行计算和化简三角式子.

解法一:

tg9°+ctg117°-tg243°-ctg351°

=tg9°-tg27°-tg63°+tg81°

=（tg9°+tg81°）-（tg27°+tg63°）

解法二:

tg9°+ctg117°-tg243°-ctg351°

=tg9°-tg27°-ctg27°+ctg9°

=（tg9°+ctg9°）-（tg27°+ctg27°）

九、本题考查综合分析的能力,其中包括对相似三角形的概念及其性质的掌握,三角形面积的计算和无穷递缩等比数列的求和.

解:

AB1=bsinθ,

BB1=a-bcosθ.

∵△OAB∽△OA1B1∽△OA2B2∽…,

（对一切n≥1成立,此时视A0B0为AB）.

∵△ABB1∽△A1B1B2∽△A2B2B3∽…,

∴数列S1,S2,S3,…是无穷递缩等比数列,