历年全国卷高考概率统计题.docx
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历年全国卷高考概率统计题
2004——2015全国卷高考概率统计题
1、（2004全国卷1）18．一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、
B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.
2、（2004全国卷2）（18）已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个．
求（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率；
（Ⅱ）A组中至少有两个弱队的概率．
3、（2004全国卷4）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：
每题回答
正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题
回答正确与否相互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；
（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率.
4、（2005全国卷1）20．9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这
个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写
出的分布列并求的数学期望.（精确到0.01）
5、（2005全国卷2）19．甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队
胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛
相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
6、（2005全国卷3）17设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率
7、（2006全国卷1）（18）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只21
小白鼠服用A有效的概率为2，服用B有效的概率为1.
32
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数.求的分布列和数学期望.
8、（2006全国卷2）（18）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.
（Ⅰ）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.
9、（2007全国卷1）（18）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.
（Ⅰ）求事件A：
“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求的分布列及期望E.
10、（2007全国卷2）（18）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假
设事件A：
“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96.
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;
（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件,表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列.
11、（2008全国卷1）20．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：
逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：
先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
12、（2008全国卷2）（18）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若
投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿
104
金10000元的概率为10.99910.
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不
小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：
元）.
13、（2009全国卷1）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜
利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相
互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。
14、（2009全国卷2）20某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。
15、（2010全国卷1）（18）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，
则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
16、（2010全国卷2）20．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元
件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；
Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．
17、（2011全国卷）（18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买
乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
求X的期望。
18、【2010课标，理19】.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
是否需要志愿
性别
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（3）根据
（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？
说明理由
附：
19、【2011课标，理19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：
元）与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20、【2012课标，理18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：
元）关于当天需求量n
单位：
枝，nN）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：
枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：
元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？
请说明理由.
21、【2013课标，理19】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取4
件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。
如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优
质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为
优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望。
22、【2014课标，理18】从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指
标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
Z服从正态分布N（,2），其
（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.
（i）利用该正态分布，求P（187.8Z212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX.
附：
150≈12.2.
若Z～N（,2），则P（
）=0.6826，P（2Z
2）=0.9544.
23、【2015课标，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
千元）对年销售量y（单位：
t）和年利润z（单位：
千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，·，8）数据作了初步处
理，得到下面的散点图及一些统计量的
值。
rx
ury
urw
n
2（xix）2i1
n
2（wiw）i1
n
（xix）（yiy）i1
n
（wiw）（yiy）i1
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中w1=x1,，uwr=1nwi
8i1
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：
对于一组数据（u1,v1）,（u2,v2），⋯⋯，（un,vn）,其回归线vu的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：
n
（uiu）（viv）
μ=i1n，μ=vμu
（uiu）2
A地区：
62
73
81
92
78
86
95
66
B地区：
73
83
62
51
93
48
65
81
95
85
74
64
53
76
97
78
88
82
76
89
91
46
53
73
64
82
74
56
54
76
65
79
A地区
B地区
4
5
6
7
8
9
24、【2014全国2，理19】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：
千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
n
b?
t
tityiybi1n2，a?
tit2
i1
25、【2015高考新课标2，理18】某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地
区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记时间C：
“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
26、（2016年全国I高考）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求X的分布列；
（II）若要求P（Xn）0.5，确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其
一，应选用哪个？
参考答案
2004全国卷1）18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用
概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：
P（ξ=0）=0.52×0.62=0.09.
P（ξ=1）=C21×0.52×0.62+C12×0.52×0.4×0.6=0.3
P（ξ=2）=C22×0.52×0.62+C21C21×0.52×0.4×0.6+C22×0.52×0.42=0.37.
P（ξ=3）=C22C12×0.52×0.4×0.6+C21C22×0.52×0.42=0.2
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
P（ξ=4）=0.52×0.42=0.04
于是得到随机变量ξ的概率分布列为：
所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.
2CC32C845267
2004全国卷2）18．（I）解：
有一组恰有两支弱队的概率
（II）解：
A组中至少有两支弱队的概率
C32C52
C84
C33C51
C84
2004全国卷4）19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运
用概率统计知识解
决实际问题的能力.满分12分.
解：
（Ⅰ）
的可能值为－300，－100，100，300.
P（=－300）=0.23=0.008,P（=－100）=3×0.22×0.8=0.096,
P（=100）=3×0.2×0.82=0.384,P（=300）=0.83=0.512,
所以的概率分布为
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
根据的概率分布，可得的期望
E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+1000×.384+300×0.512=180.
（2005全国卷1）首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1-C330.53=0.875
由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元
得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，
ξ=0，表示没有坑需要补种，根据独立重复试验得到概率
P（ξ=0）=C330.8753=0.670
P（ξ=10）=C320.8752×0.125=0.287
P（ξ=20）=C31×0.875×0.1252=0.041
P（ξ=30）=0.1253=0.002
∴变量的分布列是
∴ξ的数学期望为：
Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75
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