江苏高考数学试题及答案.docx
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江苏高考数学试题及答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位
置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
学科@网
4•作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5•如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：
1
锥体的体积V=1Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.
3
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位.
置上.
1•已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么ArB=▲.
2.若复数Z满足iZ=12i,其中i是虚数单位，则Z的实部为▲
5位裁判打出的分数的
3•已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这
平均数为▲
9Oll
（和题）
S的值为▲
4•一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的
沖］:
；While/<6；
:
Q+2:
:
3、!
；ETldWhiIe:
■PrintS；
"'^C⅛4⅛T^"^
5.函数f（X）=..l0g2X-1的定义域为▲•
6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名
女生的概率为
▲.
7•已知函数y=sin（2x」）（）的图象关于直线X对称，则:
的值是▲•
223
22
Xy
&在平面直角坐标系XOy中，若双曲线-2=1（a∙0,b■0）的右焦点F（c,O）到一条渐近
ab
线的距离为牙c,则其离心率的值是▲.
I:
X
Icos,0：
：
X_2,
9.函数f（x）满足f（x•4）=f（x）（x∙R）,且在区间（-2,2］上，f（X）=W2则
1|X2∣,-2：
：
:
Xg
f（f（15））的值为
▲.
［来源学科
10•如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为
（第10®）
11.若函数f（X）=2χ3-aχ2∙1（a∙R）在（0,匚）内有且只有一个零点，则f（x）在［-1,1］上的
最大值与最小值的和为▲.
12•在平面直角坐标系XOy中，A为直线I:
y=2x上在第一象限内的点，B（5,0）,以AB为
直径的圆C与直线I交于另一点D.若ABCD≡0,则点A的横坐标为▲.
13•在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.ABC=：
120,.ABC的平分线交AC
于点D,且BD=1,则4aC的最小值为▲.
14•已知集合A={x∣x=2n-1,n∙N*},B={x∣x=2n,n∙N*}•将B的所有元素从小到
大依次排列构成一个数列{an}•记Sh为数列{an}的前n项和，则使得Sn■12and成立的
n的最小值为一▲
、解答题：
本大题共6小题，共计90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
在平行六面体ABCD-A1B1GD1中，AAl=AB,AB1_B1G.
求证：
（1）AB//平面A1B1C；
（2）平面ABB1A1-平面ABC•
（第15题）
16.（本小题满分14分）
已知IU为锐角，tan:
（1）求cos2：
•的值；
（2）求tan（χ.的值.
17.（本小题满分14分）
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆0的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）
和线段MN构成.已知圆0的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此
农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD,大棚∏内的地块形状为
△CDP,要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为V.
（1）用J分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定Sinr的取值范围；
（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚∏内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：
3.求当为何值时，
能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
18.
（第18题）
（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系Xoy中，椭圆C过点C3,-）,焦点
2
f-（_.3,o）,F2（..3,o）,圆o的直径为f-F2.
（1）求椭圆C及圆o的方程；
（2）设直线I与圆O相切于第一象限内的点P.
1若直线I与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
2直线I与椭圆C交于AB两点.若△OAB的面积为—6,
7
求直线I的方程.
19.（本小题满分16分）
记f（x）,g（x）分别为函数f（x）,g（x）的导函数.若存在沟∙R,满足f（x°）=g（xo）且f（XQ^g（XQ）,则称X。
为函数f（x）与g（x）的一个“S点”.
（1）证明：
函数f（x）=X与g（x）=X2∙2x-2不存在“S点”；
[来源:
Zxxk.Com]
（2）若函数f（x）=aχ2-1与g（x）=InX存在“S点”，求实数a的值;
数f（x）与g（x）在区间（Q,；）内存在“S点”，并说明理由.
20.（本小题满分16分）
设｛a.｝是首项为aι,公差为d的等差数列，｛*｝是首项为匕，公比为q的等比数列.
（1）设aι=0,bι=1,q=2,若∣a.-*|乞d对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1=⅛0,mN*,q∙（1,m2］，证明：
存在dR，使得∣arι-g芒d对
n=2,3,∣∣∣,m1均成立，并求d的取值范围（用bi,m,q表示）.
数学I试题参考答案
1.{1,8}
2.2
3.90
4.8
3
π
5.[2,+∞）
6.
7.
8.2
10
6
2
4
9.
10.-
11.43
12.3
2
3
13.9
14.27
二、解答题
、填空题：
本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法•每小题
5分，共计70分.
15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
证明：
（1）在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，AB//AiBi.
因为AB匚平面AiBiC,AiBi平面AiBiC,所以AB//平面AiBiC.
又因为AAI=AB,所以四边形ABBiAi为菱形,因此ABi⊥AiB.
又因为ABi⊥BiCi,BC//BiCi,
所以ABi⊥BC.
又因为AiB∩BC=B,AiB二平面AiBC,BC二平面AiBC,所以ABi⊥平面AiBC.
因为ABi平面ABBiAi,
所以平面ABBiAi⊥平面AiBC.
16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求
解能力.满分14分.
4Sina4
解：
（i）因为tan,tan,所以Sincos、；.
3CoSa3
因为Sin2二亠cos2=i,所以cos29
25
27
因此，cos2「-2cos■∙∙i=••.
25
（2）因为：
/■为锐角，所以二-.---（0,∏.
又因为cos（、.：
.I'）=
-5,所以Sin（:
筈亠卩）=1-cos2（t亠卩）
因此tan（二-2.
2
1+tan2:
tan（"：
亠，）11
因为曲三，所以tan2-書厂一274,因此，tanCtan[2：
TJ]一伽（「
17.
本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建
解：
（1）连结Po并延长交MN于H,贝yPH丄MN,所以OH=IO.
过O作OE⊥BC于E,贝UOE//MN,所以∠COE=θ,
故OE=40cosθ,EC=40sinθ,
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）,
1
△CDP的面积为一××40cosθ（40T0sinθ）=1600（cosθ-sinθcosθ）.
2
过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,贝UGK=KN=10.
令∠GOK=θ,贝USinθ=1,θ∈（0,π）.
46
当θ∈[θ3,π）时，才能作出满足条件的矩形ABCD,
2
所以Sinθ的取值范围是[丄，1）.
4
答：
矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为
1
1600（cosθ-sinθcosθ）,Sinθ的取值范围是[一，1）.
4
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：
3,
设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k（k>0）,
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×600（cosθ-inθcosθ
π
=8000k（Sinθosθ+cosθ）,θ∈[θ,.2
设f（θ）=Sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ,π）,
2
则f'（）=cos2J-Sin2J-sinJ--（2sin2vSinJ-1）--（2SinJ-1）（sinJ1）.
令f'⑺=0,得θ=π,
6
当θ∈（θ,π）时，f'（R>0,所以f（θ）为增函数;
6
当θ∈（π,π）时，f'（日）<0,所以f（θ）为减函数,
62
因此，当θ=π时，f（θ）取到最大值.
6
18•本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、
所以i讦"，解得叮4,a2-b2=3,b"
2
因此，椭圆C的方程为χy2.1.
4
因为圆O的直径为F-F2,所以其方程为x2y^3.
（2）①设直线I与圆O相切于P（x0,y0）（x00,y00）,则x02∙y02=3,
S/2y°2）χ2-24x°x36-4y°2=0.（*）
因为直线I与椭圆C有且只有一个公共点,
所以拱=（-24x°）2-4（4）√y°2）（36-4y°2）=48y°2（x02-2）=0.
因为X0,y0,所以X0=.2,y°=1.
因此，点P的坐标为（•2,1）.
②因为三角形OAB的面积为,所以-ABOP=2~6,从而AB=4~2.
7277
设A（X1,y1）,B（X2,y2）,
由（*）得χi2=竺0⅞（X。
V,
2（4xo+yo）
所以AB^（Xi-X2）2（%_y2）2
222
=（1
x0∖48y0（XO-'2）
2）'22^^2yo（4χoyo）
因为Xo2■y。
2=3,
216（XO-2）3242
所以AB2-2,即2Xo-45xo∙1OO=O,
（Xo1）49
52211O.
解得Xo=-（xo=2O舍去），则yo=-，因此P的坐标为（，）•
2222
综上，直线I的方程为y--∙.5χ32•
（第出题）
19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力•满分16分.
解：
（1）函数f（x）=X,g（X）=x2+2x-2,则f'（X）=1,g'（X）=2χ+2.
由f（χ）=g（x）且f'（χ）=g（x）,得
IX=X亠2x-2
XX2χ2,此方程组无解，
1=2χ2
因此，f（x）与g（x）不存在"S”点.
（2）函数f（χ）=aχ-1,g（x）=lnx,
则f（X）=2aχ,g（X）=1.
X
设Xo为f（X）与g（X）的"S”点，由f（Xo）=g（χ°）且f'（Xo）=g'（Xo）,得
1
得InX^=--
2
F1
即X0=e,贝Ua1—
2（「）2
1
X^e^满足方程组（*）,即X0为f（X）与g（X）的“S”点.
因此，a的值为-.
2
（3）对任意a>0,设h（x）=x3—3x2—ax.
因为h（0）=a.0,h
（1）=1_3_a∙a--2：
：
：
0,且h（x）的图象是不间断的,
bθx
函数f（x）=_x2a,g（x）=——,
X
g^（x）^bθX（X-I）
占”
八、、♦
因此,
对任意a>0,存在b>0,使函数f（x）与g（x）在区间（0,+∞）内存在“S点”.
20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、
16分.
转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力•满分
解：
（1）由条件知：
an=（n-1）d,bn=2n'
因为Ian-bn|_bI对n=1,2,3,4均成立，
n
即|（n-1）d-2Q对n=1,2,3,4均成立，
75
即1_1,1_d_3,3_2d_5,7_3d_9,得d.
32
因此，d的取值范围为[7,5]∙
32
n1
（2）由条件知：
an=bι■（n-1）d,b^bιq-∙
若存在d,使得∣an-bn∣^bι（n=2,3,…，m+1）成立,
即Ibl（n-1）d-bιqn-^bι（n=2,3,H∣,m1），
因为qE（1,m∑],则ICqn二Mqm≤2,
n丄Cn丄
从而q2b^0,—bi.0,对n≡^2,3jl∣,m1均成立.
n—1n—1
因此，取d=0时，|an-bn^bl对n=2,3^∣,m1均成立.
所以f（x）单调递减，从而f（x）"1
r,nq（n—1）丿；11
当2_n_m时，匕2n（1-）=f（）：
：
1,
qnnn
n1
n』
因此，当2乞n乞m1时，数列｛9｝单调递减，
n—1
n1m
故数列｛q｝的最小值为.
n—1m
因此，d的取值范围为［bι（q"-2）,曲］.
数学H（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，•并在相应的•答题区域内
作答•若多做，则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算
A.［选修4—1:
几何证明选讲］（本小题满分10分）
如图，圆O的半径为2,AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点,过P作圆O的切线，切点为C.若PC=2.3,求BC的长.
B.［选修4—2:
矩阵与变换］（本小题满分10分）
已知矩阵A=『3I
J2」
（1）求A的逆矩阵A丄；
（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P（3,1）,求点P的坐标.
C.［选修4—4:
坐标系与参数方程］（本小题满分10分）
在极坐标系中，直线I的方程为^Sin（兀-旳=2,曲线C的方程为匸=4cosv,求直线I6
被曲线C截得的弦长.
D.［选修4—5:
不等式选讲］（本小题满分10分）
若X,y,Z为实数，且x+2y+2z=6,求x2y2z2的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.（本小题满分10分）
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,
BC的中点.
（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.
23.（本小题满分10分）
设nN*,对1,2,∙∙,n的一个排列iIi^Iin,如果当s则称Jit）是排列Mllin的一个逆序，排列iιi^∣in的所有逆序的总个数称为其逆序
数.例如：
对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序（2,1）,（3,1）,则排列231的逆序数为2.记fn（k）为1,2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.
（1）求f3⑵,f4
（2）的值；
（2）求fn
（2）（n_5）的表达式（用n表示）.
数学H（附加题）参考答案
21.【选做题】
A.［选修4—1:
几何证明选讲］
本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分.
证明：
连结OC.因为PC与圆0相切，所以OC丄PC.
又因为PC=2,3,0C=2,
所以OP=PC2OC2=4.
又因为0B=2,从而B为RtAOCP斜边的中点，所以BC=2.
B.［选修4—2:
矩阵与变换］
10分.
本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力•满分
~23"|
解：
（1）因为A,det（A）=22-13=1=0,所以A可逆，
12
从而A一2ι23-
因此，点P的坐标为（3,-）.
C.［选修4—4:
坐标系与参数方程］
10分.
本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力•满分
解：
因为曲线C的极坐标方程为「=4CoSTl,
所以曲线C的圆心为（2,0）,直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为「sin（卫-V）=2,
6
则直线I过A（4,0）,倾斜角为π,
6
所以A为直线l与圆C的一个交点.
设另一个交点为B,则∠OAB=π.
6
连结0B,因为OA为直径，从而∠OBA=π,
2
6
所以AB
因此，直线I被曲线C截得的弦长为2..3.
10分.
D.［选修4—5:
不等式选讲］
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.满分
证明：
由柯西不等式，得（X2y2Z2）（122222^（X2y2z）2.
因为x2y2z=6，所以χ2y2z2_4,
当且仅当X^y^Z时，不等式取等号，此时X=2,y=4,Z=4,
122333
所以χ2y2Z2的最小值为4.
22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用
空间向量解决问题的能力•满分10分.
解：
如图，在正三棱柱ABC-AIBICI中，设AC,A1Ci的中点分别为O,O1,贝UOB丄
1t
OC,OOi⊥OC,OOi⊥OB,以｛OB,OC,OOi｝为基底，建立空间直角坐标系O-XyZ.
因为AB=AAi=2,
所以A（0,-1,0）,B（∙.3,0,0）,C（0,1,0）,A1（0,-1,2）,Bi（.3,0,2）,Ci（0,1,2）.
（1）因为P为AIBI的中点，所以
31
从而BPty，一2,2），AG"2,2），
因此，异面直线BP与ACi所成角的余弦值为3卫•
20
（2）因为Q为BC的中点，所以Q（虫丄0）,
22
因此AQ=（；，2,0）,ACi=（0,2,2）,CCI=（0,0,2）•
设n=（X,y,Z）为平面AQCi的一个法向量，
则AQn7即23χ2y",ACiIn=0,2y2z0.
不妨取n=G-3,-1,1）,
设直线CC1与平面AQC1所成角为V
c0sCC1,nF^CMnΓ52
所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为一5
5
23.【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证
能力•满分10分.
解：
（1）记.（abc）为排列abc的逆序数，对1,2,3的所有排列，有
.（123）=0,.（132）=1,.（213）=1,.（231）=2,（312）=2,（321）=3,
所以f3（0）=1,f3（l）=f3
（2）=2.
对1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，将数字4添加进去，4在新排列
中的位置只能是最后三个位置•学科Y网
因此，f4
（2）=f3
（2）f3（l）f3（O）=5.
（2）对一般的n（n≥4的情形，逆序数为O的排列只有一个：
12∙∙∙n,所以.fn（0）=1.
逆序数为1的排列只能是将排列12∙∙∙n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所
以fn
（1）=n-1.
为计算fn1
（2）,当1,2,…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1
在新排列中的位置只能是最后三个位置.
因此，fn1
（2）=fn
（2）fn
（1）fn（0）=fn
（2）n.
当n≥5时，
fn
（2）=[fn
（2）-fn」
（2）][fn」
（2）-fn/
（2）]…[fs
（2）-彳4
（2）]彳4
（2）
-n-2
2
2
-（n-1）（n-2）…4f4
（2）二丄
因此，n≥5时,
2
fn
（2）二丄
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