概率的教学 Microsoft Word 文档 2.docx
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概率的教学MicrosoftWord文档2
高中概率的教学设计与实施策略
北京市昌平区教师进修学校高丽娟
概率是高中新课程中变化比较大的一部分内容。
高中新课程更加强调学生对随机现象的了解和认识，而不是利用各种概率模型计算概率，因此，课程标准特意设计了先讲概率－排列组合计数原理－概率的顺序，将概率内容分别安排在必修和选修模块中进行，本讲主要以必修3和与选修2－3中的内容作为分析对象，具体内容包括：
模块
内容
必修3
随机事件及其概率；古典概型；几何概型
选修2－3
离散型随机变量及其分布列；超几何分布；二项分布；正态分布；离散型随机变量的均值与方差；条件概率
概率内容对于高中生并不陌生，高中概率的学习是建立在小学和初中的基础之上的，小学阶段的要求是“体会随机现象，定性描述可能性”，在初中，学生已经“定量描述可能性，体会频率与概率的关系”，在高中概率的学习的重点应放在帮助学生理解随机事件概念和研究随机现象的规律的方法上。
一．把理解“随机事件”概念的本质作为一项基本任务
1．把握“随机事件”本质
解将件个验概率研究的是随机事件，其特点是结果的不确定，然而，大千世界不确定性的现象非常多，并不是所有的不确定事件都是概率研究的对象，概率所研究的随机事件具有如下特点：
第一，随机事件的结果是“客观上”不确定，而非“主观”上不能确定。
随机现象是指这样一种现象：
在相同的条件下重复同样的试验，其试验结果不确定，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现。
需要注意的是““把完全同样的试验重复若干次”在概率中是一种重要的模型或者假定，比如，扔一枚硬币这个事件，在扔出之前我们无法确定到底是正面朝上还是反面朝上，通过大量重复实验也表明正面朝上的概率是50％（即使某人每次都预测正确也是偶然而不是必然）；而“火星上有生命的概率是50％”就不是数学中概率的研究对象，因为我们不确定火星上是否有生命的结果在客观上是确定的，只是“我们主观上未知”而已。
第二，随机事件的结果具有规律性
事实上，不是所有客观上不确定的事件都是概率论研究的对象，概率论只研究那些虽然客观上不确定，却表现出规律的问题。
世界是非常奇妙的，由于偶然性的作用，世上的许多事物呈理出一种无序、不可预测以至纷乱的形态，但在这纷乱中，却有一类存在着一定的规律的事物，我们要做的就是找到这些事物的规律。
概率中研究的随机现象表面看无规律可循，出现哪一个结果事先无法预料，但当我们大量重复实验时，实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性，也即每一个结果的频率稳定于一个固定的常数。
案例：
邮递员投信问题
有人写信后，经常忘了在信封上写地址就把信投到信筒里了。
但是，刚扔进去，就立刻就想起来了，于是等着开信箱的邮递员来。
邮递员来开信箱后，发现这种没写地址的不止一个，不能区分那个是你所投的那个。
后来，人们发现这种现象有很强的频率稳定性，它大概稳定在百万分之二十七左右。
一个数据是俄国的，从1906年到1910年五年期间，这五年中有三年是百万分二十五，两年是百万分二十七。
这样一个许多人觉得它没有任何规律的东西，它也能出现频率的稳定性。
2．通过动手试验和案例促进学生体会随机事件概念的本质
重视对随机事件概念的理解意味着我们要给学生大量重复试验、见证频率稳定的机会，感受随机事件的神奇与奥妙。
我们经常做的是掷硬币、掷骰子等试验。
案例1：
图钉钉尖着地是随机事件吗？
图3—1
为了研究这个问题，北京市某学校高一（5）班的学生做了如下试验：
在相同条件下大量重复掷一枚图钉，观察“钉尖朝上”出现频率的变化情况。
（1）每人手捏一枚图钉的钉尖、钉帽在下，从1.2米的高度让图钉自由下落。
（2）重复20次，记录下“钉尖朝上”出现的次数。
下图是汇总这个班上六位同学的数据后画出来的频率图。
频率
观察上图，在大量重复试验的情况下，出现“钉尖朝上”的频率会呈现出稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动。
随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势。
有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”大的可能性越小。
案例2：
牙签压线的概率
在画有等距平行线的纸上，随机的抛掷一枚牙签，研究牙签与平行线有交点的概率．要求：
学生两人一组，进行试验，每组试验20次，注意试验的条件要求：
竖直随机上抛，纸张无褶皱．各组汇报频数，输入到电子表格中，同时自动计算出各组频率并绘制出折线图．观察得到的数据表格和折线图，能够观察出规律，估计出事件发生的概率。
通过这些实验，让学生感受每一次做试验，随机事件的结果的不确定性，以及经过大量的重复试验，每一结果的频率有具有稳定性，并趋近于某一常数。
从而使学生更深刻性体会概率的本质。
二．站在方法论的意义看待获得概率的各种方法
当我们明确一个现象是随机现象后，就希望了解这个随机现象的规律，而所谓了解了一个随机现象的规律是指：
第一，随机现象的所有可能出现的结果；
第二，各种可能出现的结果的概率；
实验法和模型法是获得事件概率的两类基本方法
高中阶段的数学中，前一个问题通常是显然的，后者是我们解决的主要问题，从方法论的意义上看，确定一个随机事件的概率有：
实验的方法和演绎推理法，实验的方法源于随机现象的本质，而演绎推理的基础则是数学模型。
1.利用概率的统计定义，通过实验获得概率的值。
实验1：
掷骰子。
通过这个试验研究随机事件A“掷一枚均匀的骰子，3朝上”发生的频率.试验分五步.
第一步：
将全班分成三个大组，同学们每两人分成一小组做掷骰子试验.分别掷骰子20次，一个同学掷骰子另一个同学记下3朝上的频数和频率.注意摇的次数、力度保持一致，力图保证在同一条件下做同一实验.并请每个小组将试验结果汇总到组长那里.将结果填写到黑板上的表格中.
第二步：
通过设问：
每个小组做试验20次，3朝上的频率相同吗？
为什么试验次数相同然而3朝上的频率不相同？
这反映了频率的什么特性呢？
引导学生了解频率的偶然性.
第三步：
观察黑板上的表格中的数据猜想：
大量重复试验中随机事件A的频率会有什么变化趋势.
实验2：
抛掷硬币试验：
◆试验步骤：
（全班共48位同学，小组合作学习）
第一步，个人试验，收集数据：
全班分成两大组，每大组分成六小组，每小组四人，前三排每人试验15次，后三排每人试验10次；
第二步，小组统计，上报数据：
每小组轮流将试验结果汇报给老师；
第三步，班级统计，分析数据：
利用EXCEL软件分析抛掷硬币“正面朝上”的频率分布情况，并利用计算机模拟掷硬币试验说明问题；
组别
第一大组
第二大组
小组
正面朝上次数
正面朝上比例
正面朝上次数
正面朝上比例
1
2
3
4
5
6
合计
第四步，数据汇总，统计“正面朝上”次数的频数及频率；
第五步，对比研究，探讨“正面朝上”的规律性．
实验3：
抛掷牙签。
在画有等距平行线的纸上，随机的抛掷一枚牙签，研究牙签与平行线有交点的概率．要求：
学生两人一组，进行试验，每组试验20次，注意试验的条件要求：
竖直随机上抛，纸张无褶皱．各组汇报频数，输入到电子表格中，同时自动计算出各组频率并绘制出折线图．观察得到的数据表格和折线图，能够观察出规律，估计出事件发生的概率。
也可以用计算机、计算器模拟实验。
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2.抓住典型情况构造数学模型
对形形色色的随机现象进行研究的方法与数学中其他领域的方法类似——抓典型，比如，我们研究三角形时，在对一般的三角形做了研究后，通常还会对一些典型的三角形例如等腰三角形、等边三角形、直角三角形等进行研究，在研究函数时，以基本初等函数为研究对象，在概率中，我们也是选择一些最常见、典型的情况展开的，古典概型、几何概型、二项分布、超几何分布、正态分布等都是这种“抓典型”思想的体现，尽管这些分布无法覆盖住各种各样的随机现象，但它们描述了随机现象中最有用最常见的情形，十分有助于我们对一般随机现象的理解和讨论。
在概率模型的教学过程中，需要老师们注意如下三个问题：
（1）数学模型来自现实但又高于现实
根本上说，数学模型是一种规定，也就是规定“如果符合……条件就得出……结论”，但是，任何一个数学模型中的规定也不是凭空给出的，根据数学模型得到的结论一定要与人们的经验和直观感受一致，比如，一位老师在学习几何概型之前，给学生提出问题：
在区间中任意抽取一个实数，求实数大于等于6的概率．学生思考后说：
“我感觉是，但我说不清楚道理。
”相信和这名学生有着类似想法的同学有很多，这些想法提醒我们正确认识几何概型的价值：
与其说告诉我们问题的结论不如说给了我们一个“道理”。
数学模型高于现实的涵义是指数学模型都是有假设的，假设都是一种理想化的状态，而现实却未必能够满足这种理想状态，比如我们说“投掷一枚质地均匀的骰子”的问题符合古典概型，而“均匀的骰子”就是一种假设，现实中，如果我们用试验的方法发现骰子1点朝上的概率为1/10,此时我们不是说古典概型有问题，而是认为骰子不符合“质地均匀”的假设。
（2）在教学中，重视对于概率模型的形成过程。
在概率教学中，要重视概率模型形成过程的教学，使学生清楚每一模型的使用条件。
案例1：
刘老师在进行《几何概型》的设计中，
请看这样一个问题1；“在区间[0，6]上任取一个整数，恰好取在区间[1，2]上的概率为多少？
”对于这样的问题，我们要先考虑什么？
问题2：
在区间[0，6]上任取一个实数，设恰好取在区间[1，2]上的为事件A，求事件A的概率？
再看一个问题：
飞镖游戏，规定:
射中红色区域表示中奖.求中奖的概率是多少？
请问这个问题中的基本事件空间是什么？
再看一个问题：
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
通过三个具体实例，让学生充分讨论，寻找解决问题的方法，即把问题转化为具体的几何问题（分别利用长度、面积和体积），明确事件发生的可能性与位置和形状等无关，只与具体是几何度量值有关，而且是成正比的关系，这样可以利用几何度量的比值求解相应概率，然后反思三个实例的求解过程，通过归纳概括共性得到几何概型的概念和计算公式.
几何概型有什么特点？
如何求几何概型的概率？
与古典概型相比有什么区别和联系？
请举个例子.
活动设计意图：
几何概型和古典概型是概率的两个重要模型，通过分析它们之间的区别和联系，深化对两个概念的理解.概念给出后，先由学生举例，而非教师举出几个例子由学生判断，这对学生提出更高的要求，通过长期的培养，对学生联想类比以及发散思维能力等的培养是非常有益的.教师准备的例题，根据学生是实际情况灵活使用，首先例题的选择前后有铺垫，比如：
撒豆子、抛掷硬币问题都是前面已经接触过，现在从概念的角度理性分析，帮助学生对概念的理解.
本节课的结构是从实例出发，让学生经历从中概括出具体的概率模型的过程，体会它们的共同点，通过与古典概型的比较从而理解几何概型的特征，并且培养了学生识别模型的能力.从总体设计上，比较符合数学概念的形成过程.
新课程的概念教学，应让学生经历“直观感知、抽向概括、反思与建构”的过程，让学生对客观事物中蕴含的数学模式进行理性思维。
结果因过程而精彩，现象因方法而生动。
只有重视概念形成的教学，学生的主体作用才有可能体现，学生资源才有可能被开发，课堂才能鲜活。
学生才能真正建立概念。
（3）数学模型是解决问题的工具，有时候可以做出多种选择
数学模型只是解决问题的工具，在应用时，只要现实的问题符合某个数学模型的假设，就可以用该模型解决，不存在绝对和唯一的标准，因此过多地讨论不同数学模型的异同并不意义，需要把教学重点放在数学模型的选择上。
同一个问题可以用不同的概率模型来解决.
案例1：
两条相互垂直的直径把圆分成四个全等的区域，向圆内随机地掷一点，求该点落在这四个区域中的某一特定区域的概率.
这个问题，可以用几何概型求解，也可以用古典概型求解.
案例2：
（转盘游戏）：
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
案例3：
抛掷一枚均匀硬币两次，求恰有1次正面朝上的概率。
法一：
利用古典概型
分析：
硬币落地后会出现四种结果：
分别记作（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。
每种结果出现的概率相等，P（正，正）=P（正，反）=P（反，正）=P（反，反）=1/4。
恰有1次正面朝上的概率为。
法二：
利用二项分布
分析：
抛掷一枚硬币，出现正面的概率为，抛掷一枚均匀硬币两次，可以看成是独立重复实验。
则恰有1次正面朝上的概率为
A
需要特别说明的是，由于高中概率中的数学模型都不是严格定义的，因此，可能会出现同一个问题用不同模型但是导致不同结果的情况，例如：
案例4：
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C，在∠ACB内作一条射线CM，与线段AB交于M点，求AM学生给出了下面两种解法：
解法一（用角度的比）：
设AM当AC=AM时，∠ACM=67.5°
解法二（用线段的比）：
设AM当AC=AM时，
理论上说，由于我们未准确界定“每个事件出现的概率都相等”，所以以上两种答案都认为是正确的，在数学史上，类似的问题被成为“贝特朗悖论”，它不是高中教学的重点，希望老师们尽量回避这种可能引起争议的问题，而把重点放在让学生理解加强学生对随机思想的认识上。
三．了解概率的意义，逐步形成随机的观念。
高中概率课程的学习，除了理解核心概念，利用概率模型解决实际的概率问题之外，更高的目标是让学生形成随机的观念，用随机的思想来看待生活中的随机现象。
这就要求教师在教学中，处处渗透，不仅在于求出概率，更需要对于实际问题的解释。
也可以设计诸如方案的选取，游戏的公平等问题，加强随机思想的培养。
案例1、选运动员
案例2：
某一深夜，一辆出租车司机被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司---红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车和而红色出租车分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，警察对证人的辨别进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑，那么警察的认定对红色出租车公平吗？
解析：
设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：
证人所说的颜色（正确率80%）
蓝色
红色
合计
真实
颜色
蓝色（85%）
680
170
850
红色（15%）
30
120
150
合计
710
290
1000
从表中可以看出，当证人说出出租车是红色时，且他确实是红色的概率为；而它是蓝色的概率为.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车显然是不公平的。
这就是直觉导致的错误。
n【随机变量的数字特征（均值、方差等）】
n分布完全描述了随机现象的规律，同时也完全确定了随机变量的数字特征。
但反过来，仅知道数字特征，却不能确定分布。
n离散型随机变量的期望（均值）反映了离散型随机变量的平均水平，而离散型随机变量的方差反映了取值的稳定性。
n数字特征的作用在于它反映了随机变量的重要信息。
在许多情形下，我们需要了解随机变量的分布，而只需要了解它的特征。
例如，在对射击运动员进行选拔时，我们往往不关心他射中十环、九环。
。
。
的次数，而更关心他的稳定性（方差）。
另外，有时我们求不出分布，却可以通过判断分布的类，确定参数，从而得到随机变量的数字特征。
（08年高考题）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：
万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；
故的分布列为：
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
依题意，，即，解得所以三等品率最多为
在实施过程中注意：
1.延迟判断，捕捉学生思维的上闪光点和误区。
例如：
刘老师的《几何概型》课上，对于问题一：
在区间[0，6]上任取一个实数，设恰好取在区间[1，2]上的为事件A，求事件A的概率？
几个学生谈自己的看法，四个学生发表自己的见解其中有对有错，但刘老师没有马上下结论，而是通过追问，引导学生利用概念解决问题，直到学生自己发现问题，找到解决问题的办法。
案例1掷两枚骰子，求所得的点数之和为5的概率。
误解：
掷两枚骰子出现的点数之和为2，3，4，…,12,共11种基本事件，所以概率为。
剖析：
以上11种基本事件不是等可能的，如点数和为2只有（1，1），而点数之和为5有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）四种情况。
事实上，掷两枚骰子共有36个基本事件，且是等可能的，所以“所得的点数之和为5”的概率为
案例2任意掷两枚骰子，计算向上点数相同的概率。
错解：
点数相同的情况是同时都为1点、2点、3点、4点、5点、6点，其中之一的概率为。
剖析：
错误在于改变了所求事件的含意，所求事件是要求在投掷的所有结果中出现的点数同为1，2，3，4，5，6的概率，而不是点数相同时其中之一的概率。
案例3一个布袋有3个红球，2个白球，抽取3次，每次任意抽取2个球，并待放回后再拍下一次，求有2次每次取出的2个球是1个白球和2个红球，还有一次取出的2个球是红球的概率。
错解一：
设“一次取出的2个球是1个自球和1个红球Ⅱ的事件为A，“一次取出的2个球都是红球”的事件为B，则本题的事件可以表示威：
A·A·B，
错误原因：
只知道事件A发生两次，事件B发生一次，未考虑它们发生的顺序性。
错解二：
设“一次取出的2个球是1个白球和l个红球”的事件为4，“一次取出的2个球都是红球”的事件为B，则
错误原因：
将事件A的对立事件误认为是B，从而利用独立重复试验的概率公式Pn（k）=
正确解答如下：
设“一次取出的2个球是1个白球和1个红球”的事件为A，“一次取出的2个球都是红球”的事件为g，则本题的事件可以表示成：
A·A·B＋A·B·A十B·A·A
∴P（A·A·B＋A·B·A＋B·A·A）
＝C：
P（A）·P（A）·P（B）
=0.324.
在反思中，熟悉概率模型
n在学习概率模型的课上，一方面，要学生理解概念。
另一方面，要倡导学生的反思意识。
解决完一个题，要进行反思。
可以从以下几个方面进行反思：
n
（1）将问题转换为数学问题，属于哪一部分的内容。
n
（2）判断是概率问题，它的特点是什么，可以用哪个模型？
n（3）此模型的基本公式、方法是什么？
n（4）用到的数学思想方法有哪些？
n（5）我解决这个问题的困惑点在那里？
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