线性代数历年考研试题之填空题更新.docx

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线性代数历年考研试题之填空题更新

一、填空题

1.（1987—Ⅰ,Ⅱ）已知三维线性空间的一组基底为,则向量在上述基底下的坐标是.

【考点】向量在基下的坐标.

解方法一:

设,得方程组解得.

方法二:

解矩阵方程得.

【注意】行（列）向量组由行（列）向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的.

2.（1988—Ⅰ,Ⅱ）设矩阵,其中均为4维列向量,且已知行列式,则行列式.

【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质.

解.

【注意】.

3.（1988—Ⅳ,Ⅴ）.

【考点】行列式的计算.

方法一:

.

方法二:

.

【注】副对角行列式

.

4.（1988—Ⅳ,Ⅴ）.

【考点】求逆矩阵.

解方法一:

所以

.

方法二:

利用分块矩阵求逆公式得到.

【注】.

方法三:

利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将4阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵.

【注】.

5.（1989—Ⅰ,Ⅱ）设矩阵,则逆矩阵.

【考点】分块矩阵求逆.

解.

【注】

（1）;

（2）.

6.（1989—Ⅳ）齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是.

【考点】齐次线性方程组解的理论.

解个方程个未知数的齐次线性方程组只有零解,即

.

7.（1989—Ⅴ）行列式.

【考点】行列式的计算.

解

8.（1990—Ⅰ,Ⅱ）已知向量组

则该向量组的秩是.

【考点】向量组秩的计算.

解

9.（1990—Ⅳ,Ⅴ）若线性方程组有解,则常数应满足条件.

【考点】非齐次线性方程组解的理论.

解非齐次线性方程组有解.

则

.

10.（1991—Ⅰ,Ⅱ）设4阶方阵,则的逆阵.

【考点】分块矩阵求逆.

解.

11.（1991—Ⅳ）设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则.

【考点】抽象分块矩阵求逆.

解设,由,得

所以.

12.（1991—Ⅴ）阶行列式.

【考点】行列式的计算.

解把行列式按第1列展开,得

.

13.（1992—Ⅰ,Ⅱ）设,其中,则矩阵的秩.

【考点】矩阵秩的计算.

解.

14.（1992—Ⅳ）设为阶方阵,为阶方阵,且,则.

【考点】行列式的性质.

解

.

15.（1992—Ⅴ）矩阵的非零特征值是.

【考点】特征值的计算.

解方法一:

则为所求.

方法二:

为实对称矩阵且,则只有一个非零特征值;又的主对角线元素之和为4,则所求非零特征值为4.

【注】

（1）若为实对称矩阵,则的非零特征值的个数.事实上,由为实对称矩阵,则存在可逆矩阵,使得

其中为的特征值,所以

中非零的个数.

（2）的特征值之和等于的对角线元素之和.

16.（1993—Ⅰ,Ⅱ）设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为,则线性方程组的通解为.

【考点】齐次线性方程组解的结构.

解的秩为,则线性方程组的基础解系所含解向量的个数为

.

由的各行元素之和均为零,知向量是线性方程组的一个非零解,故线性方程组的通解为

为任意常数.

【注】对于抽象的齐次（非齐次）线性方程组,求其通解时都是根据其解的结构解决.

17.（1993—Ⅳ,Ⅴ）设四阶方阵的秩为2,则其伴随矩阵的秩为.

【考点】的秩与其伴随矩阵的秩的关系.

解.

【注】

18.（1994—Ⅰ,Ⅱ）已知,设,其中是的转置,则.

【考点】矩阵的基本运算.

解

.

【注意】为常数,而为方阵.

19.（1994—Ⅳ,Ⅴ）设,且,则.

【考点】分块矩阵求逆.

解

.

20.（1995—Ⅰ,Ⅱ）设三阶方阵满足关系式,且,则.

【考点】解矩阵方程.

解由得.

【注】,其中全不为零.

21.（1995—Ⅳ,Ⅴ）设,为的伴随矩阵,则.

【考点】逆矩阵的性质.

解由.

【注意】当可逆时,.

22.（1996—Ⅰ,Ⅱ）设是矩阵,且的秩,而,则.

【考点】矩阵秩的性质.

解由知可逆,则.

【注】当可逆时,,即在矩阵的左边或右边乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩.

23.（1996—Ⅳ）设

其中,则线性方程组的解是.

【考点】求解非齐次线性方程组.

解由范德蒙行列式,得,方程组有惟一解.显然为方程组的解.

24.（1996—Ⅴ）五阶行列式

.

【考点】行列式的计算.

解

则

.

【注意】本题的递推公式为,不是.

25.（1997—Ⅰ）设,为三阶非零矩阵,且,则.

【考点】矩阵秩的性质（或齐次线性方程组解的理论）.

解方法一:

由,得;又,得,则

.

.

则.

或由.

方法二:

由且,得有非零解,所以.以下同方法一.

26.（1997—Ⅱ）已知向量组的秩为2,则.

【考点】含参数的矩阵的秩的讨论.

解,则.

27.（1997—Ⅲ）若二次型是正定的,则的取值范围是.

【考点】正定二次型（霍尔维茨定理）.

解二次型的矩阵为正定.

【注意】与具体的二次型的正定性有关的问题,一般都是用霍尔维茨定理直接解决.

28.（1997—Ⅳ）设阶矩阵,则.

参考1988—Ⅳ,Ⅴ.答案:

.

29.（1998—Ⅰ）设为阶矩阵,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵.若有特征值,则必有特征值.

【考点】特征值的性质.

答案:

.

【注】

（1）若为可逆矩阵的特征值,则为的特征值,且有相同的特征向量.

（2）若为矩阵的特征值,则为

的特征值,且有相同的特征向量.

30.（1998—Ⅲ,Ⅳ）设矩阵满足,其中为单位矩阵,为的伴随矩阵,则.

【考点】解矩阵方程.

解由

.

【注意】如果矩阵方程中含有,利用

及

消去矩阵方程中的,以简化计算量.

31.（1998—Ⅳ）设均为阶矩阵,,则.

【考点】矩阵运算的性质.

解.

【注】

32.（1999—Ⅰ）设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是.

参考1992—Ⅴ.答案:

33.（1999—Ⅲ,Ⅳ）设,而为正整数,则.

【考点】矩阵幂的计算.

解

34.（1999—Ⅳ）已知,其中,则.

【考点】解矩阵方程.

解由.

35.（2000—Ⅰ）已知方程组无解,则.

【考点】非齐次线性方程组解的理论.

解方法一（一般方法）:

非齐次线性方程组无解.

所以当时,,方程组无解.

方法二（特殊方法）:

个方程个未知量的非齐次线性方程组无解或无穷多解.

或.

当时,,方程组无解;当时,,方程组有无穷多解.

36.（2000—Ⅱ）设为4阶单位矩阵,且,则.

【考点】矩阵运算及其性质.

解

37.（2000—Ⅲ）若四阶矩阵与相似,的特征值为,则行列式.

【考点】相似矩阵与特征值的性质.

解方法一:

与相似,则与有相同的特征值,即的特征值为,的特征值为,的特征值为,所以.

方法二:

与相似,则与有相同的特征值,即的特征值为,从而可对角化,即存在可逆矩阵,使得,则

.

38.（2000—Ⅳ）设,矩阵为正整数,则.

【考点】矩阵幂的计算.

解方法一:

则

.

方法二:

的特征值为,则的特征值为,所以

.

【注】若,则的特征值为.

39.（2000—Ⅳ）已知四阶矩阵相似于,的特征值为,为四阶单位矩阵,则.

参考37.（2000—Ⅲ）.答案.

40.（2001—Ⅰ）设矩阵满足,其中为单位矩阵,则.

【考点】抽象矩阵的逆矩阵.

解由

【注意】设,其中为的多项式,求的方法是:

将化成

的形式,从而

41.（2001—Ⅱ）设方程组有无穷多个解,则.

参考35.（2000—Ⅰ）.答案:

42.（2001—Ⅲ,Ⅳ）设矩阵,且秩,则.

【考点】含有参数的矩阵的秩的讨论.

解,显然时.

或

或.

当时;当时.

43.（2001—Ⅳ）设行列式,则第四行各元素余子式之和的值为.

【考点】行列式按行（或列）展开定理.

解.

【注意】已知行列式,求其余子式（或代数余子式）的线性组合的值时,一般用上面所介绍的方法.

44.（2002—Ⅰ）已知实二次型

经正交变换可化成标准形,则.

【考点】二次型的标准形理论.

解方法一:

二次型的矩阵.由题意知.

显然,当时,.

或

或.

当时;当时.

【注意】若二次型的标准形为,则

中不为零的个数.

方法二:

二次型的矩阵.由题意知,的特征值为,则

.

【注意】二次型经正交变换化成标准形,则为二次型矩阵的特征值;若二次型经可逆变换化成标准形,则不一定是二次型矩阵的特征值.即相似矩阵有相同的特征值,但合同矩阵不一定有相同的特征值.

45.（2002—Ⅱ）矩阵的非零特征值是.

【考点】特征值的计算.

解.

46.（2002—Ⅲ）设三阶矩阵,三维列向量.已知与线性相关,则.

【考点】矩阵的乘法和向量组线性相关的概念.

解.

【注意】两个向量线性相关的它们对应的分量成比例.

47.（2002—Ⅳ）设矩阵,则.

【考点】矩阵的运算.

解.

48.（2002—Ⅳ）设向量组线性无关,则必满足关系式.

【考点】向量组线性无关的判别定理.

解.

【注】维向量组线性相关.

49.（2003—Ⅰ）从的基到基的过渡矩阵为.

【考点】过渡矩阵的概念.

解设为所求的过渡矩阵,则

.

【注】设由基到基的过渡矩阵,则

即将向量组由线性表示的系数矩阵.

50.（2003—Ⅱ）设为3维列向量,是的转置,若,则.

【考点】矩阵的乘法.

解设.

51.（2003—Ⅱ）设三阶方阵满足,其中为三阶单位矩阵,若,则.

【考点】矩阵的运算.

解

.

52.（2003—Ⅲ,Ⅳ）设维向量;为阶单位矩阵,矩阵,其中的逆矩阵为,则.

【考点】可逆矩阵的概念及矩阵运算的性质.

解

.

53.（2003—Ⅳ）设均为三阶方阵,为三阶单位矩阵,已知,则.

【考点】矩阵的运算.

解.

54.（2004—Ⅰ,Ⅱ）设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则.

【考点】矩阵的运算.

解

55.（2004—Ⅲ）二次型的秩为.

【考点】二次型秩的概念.

解方法一:

二次型的矩阵.

【注】二次型的秩等于二次型矩阵的秩.

方法二:

作可逆线性变换,则.

【注】可逆线性变换不改变二次型的秩.

56.（2004—Ⅳ）设,其中为三阶可逆矩阵,则

.

【考点】矩阵的运算.

解,则

.

57.（2004—Ⅳ）设是实正交矩阵,且,则线性方程组的解是.

【考点】正交矩阵的性质及非齐次线性方程组解的理论.

解线性方程组有惟一解.设,由,得

则为线性方程组的解,故,所以线性方程组的解为.

58．（20XX年）设均为三维列向量，记矩阵

.

如果，那么.

59．（20XX年）设行向量组线性相关，且，则.

60．（20XX年）设矩阵为二阶单位矩阵，矩阵满足，则.

61．（20XX年）已知为二维列向量，矩阵

.若行列式，则.

62．（20XX年）设矩阵为二阶单位矩阵，矩阵满足则.

63．（2