线性代数历年考研试题之填空题更新.docx

1、线性代数历年考研试题之填空题更新一、填空题 1.(1987,)已知三维线性空间的一组基底为,则向量在上述基底下的坐标是 . 【考点】向量在基下的坐标. 解 方法一:设,得方程组解得. 方法二:,解矩阵方程得. 【注意】行(列)向量组由行(列)向量组线性表示的矩阵表达式的形式是不同的. 2.(1988,)设矩阵,其中均为4维列向量,且已知行列式,则行列式 . 【考点】分块矩阵的运算和行列式的性质. 解 . 【注意】. 3.(1988,) . 【考点】行列式的计算. 方法一:. 方法二:. 【注】副对角行列式 . 4.(1988,) . 【考点】求逆矩阵. 解 方法一:,所以 . 方法二:利用分块

2、矩阵求逆公式得到. 【注】. 方法三:利用初等矩阵的性质得到.所讨论的矩阵是将4阶单位矩阵的第一行与第四行交换得到的第一类初等矩阵. 【注】. 5.(1989,)设矩阵,则逆矩阵 . 【考点】分块矩阵求逆. 解 . 【注】(1); (2). 6.(1989)齐次线性方程组只有零解,则应满足的条件是 . 【考点】齐次线性方程组解的理论. 解 个方程个未知数的齐次线性方程组只有零解,即 . 7.(1989)行列式 . 【考点】行列式的计算. 解 8.(1990,)已知向量组,则该向量组的秩是 . 【考点】向量组秩的计算. 解 9.(1990,)若线性方程组有解,则常数应满足条件 . 【考点】非齐次

3、线性方程组解的理论. 解 非齐次线性方程组有解. ,则 . 10.(1991,)设4阶方阵,则的逆阵 . 【考点】分块矩阵求逆. 解 . 11.(1991)设和为可逆矩阵,为分块矩阵,则 . 【考点】抽象分块矩阵求逆. 解 设,由,得 ,所以. 12.(1991)阶行列式 . 【考点】行列式的计算. 解 把行列式按第1列展开,得 . 13.(1992,)设,其中,则矩阵的秩 . 【考点】矩阵秩的计算. 解 . 14.(1992)设为阶方阵,为阶方阵,且,则 . 【考点】行列式的性质. 解 . 15.(1992)矩阵的非零特征值是 . 【考点】特征值的计算. 解 方法一: ,则为所求. 方法二:

4、为实对称矩阵且,则只有一个非零特征值;又的主对角线元素之和为4,则所求非零特征值为4. 【注】(1)若为实对称矩阵,则的非零特征值的个数.事实上,由为实对称矩阵,则存在可逆矩阵,使得 ,其中为的特征值,所以 中非零的个数. (2)的特征值之和等于的对角线元素之和. 16.(1993,)设阶矩阵的各行元素之和均为零,且的秩为,则线性方程组的通解为 . 【考点】齐次线性方程组解的结构. 解 的秩为,则线性方程组的基础解系所含解向量的个数为.由的各行元素之和均为零,知向量是线性方程组的一个非零解,故线性方程组的通解为 为任意常数. 【注】对于抽象的齐次(非齐次)线性方程组,求其通解时都是根据其解的结

5、构解决. 17.(1993,)设四阶方阵的秩为2,则其伴随矩阵的秩为 . 【考点】的秩与其伴随矩阵的秩的关系. 解 . 【注】 18.(1994,)已知,设,其中是的转置,则 . 【考点】矩阵的基本运算. 解 . 【注意】为常数,而为方阵. 19.(1994,)设,且,则 . 【考点】分块矩阵求逆. 解 . 20.(1995,)设三阶方阵满足关系式,且,则 . 【考点】解矩阵方程. 解 由得. 【注】,其中全不为零. 21.(1995,)设,为的伴随矩阵,则 . 【考点】逆矩阵的性质. 解 由. 【注意】当可逆时,. 22.(1996,)设是矩阵,且的秩,而,则 . 【考点】矩阵秩的性质. 解

6、 由知可逆,则. 【注】当可逆时, ,即在矩阵的左边或右边乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩. 23.(1996)设 ,其中,则线性方程组的解是 . 【考点】求解非齐次线性方程组. 解 由范德蒙行列式,得,方程组有惟一解.显然为方程组的解. 24.(1996)五阶行列式 . 【考点】行列式的计算. 解 ,则 . 【注意】本题的递推公式为,不是. 25.(1997)设,为三阶非零矩阵,且,则 . 【考点】矩阵秩的性质(或齐次线性方程组解的理论). 解 方法一:由,得;又,得,则. .则. 或 由. 方法二:由且,得有非零解,所以.以下同方法一. 26.(1997)已知向量组的秩为2,则 . 【考点】含参

7、数的矩阵的秩的讨论. 解 ,则. 27.(1997)若二次型是正定的,则的取值范围是 . 【考点】正定二次型(霍尔维茨定理). 解 二次型的矩阵为正定. 【注意】与具体的二次型的正定性有关的问题,一般都是用霍尔维茨定理直接解决. 28.(1997)设阶矩阵,则 . 参考1988,.答案:. 29.(1998)设为阶矩阵,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵.若有特征值,则必有特征值 . 【考点】特征值的性质. 答案:.【注】(1)若为可逆矩阵的特征值,则为的特征值,且有相同的特征向量. (2)若为矩阵的特征值,则为的特征值,且有相同的特征向量. 30.(1998,)设矩阵满足,其中为单位矩阵,为的伴随矩

8、阵,则 . 【考点】解矩阵方程. 解 由 . 【注意】如果矩阵方程中含有,利用 及 消去矩阵方程中的,以简化计算量. 31.(1998)设均为阶矩阵, ,则 . 【考点】矩阵运算的性质. 解 . 【注】 32.(1999)设阶矩阵的元素全为1,则的个特征值是 . 参考1992.答案: 33.(1999,)设,而为正整数,则 . 【考点】矩阵幂的计算. 解 34.(1999)已知,其中,则 . 【考点】解矩阵方程. 解 由. 35.(2000)已知方程组无解,则 . 【考点】非齐次线性方程组解的理论. 解 方法一(一般方法):非齐次线性方程组无解. ,所以当时, ,方程组无解. 方法二(特殊方法

9、):个方程个未知量的非齐次线性方程组无解或无穷多解. 或. 当时, ,方程组无解;当时, , 方程组有无穷多解. 36.(2000)设为4阶单位矩阵,且,则 . 【考点】矩阵运算及其性质. 解 37.(2000)若四阶矩阵与相似,的特征值为,则行列式 . 【考点】相似矩阵与特征值的性质. 解 方法一:与相似,则与有相同的特征值,即的特征值为,的特征值为,的特征值为,所以. 方法二:与相似,则与有相同的特征值,即的特征值为,从而可对角化,即存在可逆矩阵,使得,则 . 38.(2000)设,矩阵为正整数,则 . 【考点】矩阵幂的计算. 解 方法一:,则. 方法二:的特征值为,则的特征值为,所以 .

10、 【注】若,则的特征值为. 39.(2000)已知四阶矩阵相似于,的特征值为,为四阶单位矩阵,则 . 参考37.(2000).答案. 40.(2001)设矩阵满足,其中为单位矩阵,则 . 【考点】抽象矩阵的逆矩阵. 解 由 【注意】设,其中为的多项式,求的方法是:将化成 的形式,从而 41.(2001)设方程组有无穷多个解,则 . 参考35.(2000).答案: 42.(2001,)设矩阵,且秩,则 . 【考点】含有参数的矩阵的秩的讨论. 解 ,显然时. 或 或.当时;当时. 43.(2001)设行列式,则第四行各元素余子式之和的值为 . 【考点】行列式按行(或列)展开定理. 解 . 【注意】

11、已知行列式,求其余子式(或代数余子式)的线性组合的值时,一般用上面所介绍的方法. 44.(2002)已知实二次型 经正交变换可化成标准形,则 . 【考点】二次型的标准形理论. 解 方法一: 二次型的矩阵.由题意知. ,显然,当时,. 或 或.当时;当时. 【注意】若二次型的标准形为,则 中不为零的个数.方法二:二次型的矩阵.由题意知,的特征值为,则 . 【注意】二次型经正交变换化成标准形,则为二次型矩阵的特征值;若二次型经可逆变换化成标准形,则不一定是二次型矩阵的特征值.即相似矩阵有相同的特征值,但合同矩阵不一定有相同的特征值. 45.(2002)矩阵的非零特征值是 . 【考点】特征值的计算.

12、 解 . 46.(2002)设三阶矩阵,三维列向量.已知与线性相关,则 . 【考点】矩阵的乘法和向量组线性相关的概念. 解 . 【注意】两个向量线性相关的它们对应的分量成比例. 47.(2002)设矩阵,则 . 【考点】矩阵的运算. 解 . 48.(2002)设向量组线性无关,则必满足关系式 . 【考点】向量组线性无关的判别定理. 解 . 【注】维向量组线性相关. 49.(2003)从的基到基的过渡矩阵为 . 【考点】过渡矩阵的概念. 解 设为所求的过渡矩阵,则 . 【注】设由基到基的过渡矩阵,则 ,即将向量组由线性表示的系数矩阵. 50.(2003)设为3维列向量,是的转置,若,则 . 【考

13、点】矩阵的乘法. 解 设. 51.(2003)设三阶方阵满足,其中为三阶单位矩阵,若,则 . 【考点】矩阵的运算. 解 . 52.(2003,)设维向量;为阶单位矩阵,矩阵,其中的逆矩阵为,则 . 【考点】可逆矩阵的概念及矩阵运算的性质. 解 . 53.(2003)设均为三阶方阵,为三阶单位矩阵,已知,则 . 【考点】矩阵的运算. 解 . 54.(2004,)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则 . 【考点】矩阵的运算. 解 55.(2004)二次型的秩为 . 【考点】二次型秩的概念. 解 方法一:二次型的矩阵. 【注】二次型的秩等于二次型矩阵的秩. 方法二:作可逆线性变换,则.

14、 【注】可逆线性变换不改变二次型的秩. 56.(2004)设,其中为三阶可逆矩阵,则 . 【考点】矩阵的运算. 解 ,则 . 57.(2004)设是实正交矩阵,且,则线性方程组的解是 . 【考点】正交矩阵的性质及非齐次线性方程组解的理论. 解 线性方程组有惟一解.设,由,得 ,则为线性方程组的解,故,所以线性方程组的解为. 58（20XX年）设均为三维列向量，记矩阵.如果，那么 .59（20XX年）设行向量组线性相关，且，则 .60（20XX年）设矩阵为二阶单位矩阵，矩阵满足，则 .61（20XX年）已知为二维列向量，矩阵.若行列式，则 .62（20XX年）设矩阵为二阶单位矩阵，矩阵满足则 .63（2