第二章误差的基本性质与处理
2-6测量某电路电流共5次，测得数据（单位为mA）为168.41，168.54，
168.59，168.40，168.50。
试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
x=168.41+168.54+168.59+168.40+168.50
5
=168.488（mA）
==0.082（mA）
===0.037（mA）
或然误差：
R=0.6745=0.6745⨯0.037=0.025（mA）
平均误差：
T=0.7979=0.7979⨯0.037=0.030（mA）
2-7在立式测长仪上测量某校对量具，重量测量5次，测得数据（单位为mm）为20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。
若测量值服从正态分布，试以99%的置信概率确定测量结果。
x=20.0015+20.0016+20.0018+20.0015+20.0011
5
=20.0015（mm）
==0.00025
正态分布p=99%时，t=2.58
=±t
limxx
=±2.58⨯0.00025
=±0.0003（mm）
测量结果：
X=x+=（20.0015±0.0003）mm
2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差
=0.004mm，若要求测量结果的置信限为±0.005mm，当置信概率为
99%时，试求必要的测量次数。
正态分布p=99%时，t=2.58
limx
=2.58⨯0.004=2.064
0.005
n=4.26
取n=5
2－9用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？
解：
根据极限误差的意义，有
±tx
根据题目给定得已知条件，有
=±t
≤0.0015
查教材附录表3有
≤0.0015=1.5
0.001
若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78，
==2.78
2.236
=1.24
若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18，
==3.18=1.59
2
即要达题意要求，必须至少测量5次。
2-12某时某地由气压表得到的读数（单位为Pa）为102523.85，102391.30，
102257.97，102124.65，101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，
8
其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差。
∑pixi
8
x=i=1=102028.34（Pa）
∑pi
i=1
≈86.95（Pa）
2-13测量某角度共两次，测得值为1=2413'36''，2=2413'24''，其标准差分别为1=3.1'',2=13.8''，试求加权算术平均值及其标准差。
p1:
p2=
11=19044:
961
12
x=2413'20''+19044⨯16''+961⨯4''=2413'35''
19044+961
=
xxi
=3.1''⨯
≈3.0''
2-14甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次，测得值如下：
甲:
72'20'',73'0'',72'35'',72'20'',72'15'';
乙:
72'25'',72'25'',72'20'',72'50'',72'45'';
试求其测量结果。
甲：
x甲=72'+20"+60"+35"+20"+15"=72'30"
5
甲=
=
=18.4"
=甲==8.23"
乙：
x乙=72'+25"+25"+20"+50"+45"=72'33"
5
乙==
=13.5"
=乙==6.04"
1
p甲:
p乙2
1
:
2
=1
8.232
:
1
6.042
=3648:
6773
x甲x乙
x=p甲x甲+p乙x乙=3648⨯30"+6773⨯33"+72'=72'32"
=
p甲+p乙
p甲
3648+6773
=8.23'⨯
=4.87'
xx甲
p甲+p乙
X=x±3=72'32''±15''
2-16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s2、标准差为
0.014m/s2。
另外30次测量具有平均值为9.802m/s2，标准差为
0.022m/s2。
假设这两组测量属于同一正态总体。
试求此50次测量的平均值和标准差。
p1:
p2=2:
2
12
=1
⎛0.014⎫2
ç⎪
:
1
⎛0.022⎫2
ç⎪
=242:
147
⎝20⎭⎝30⎭
x=242⨯9.811+147⨯9.802≈9.808（m/s2）242+147
=0.014⨯
≈0.002（5
m/s2）
2-19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，
14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。
x=14.96
按贝塞尔公式
1=0.2633
10
vi
按别捷尔斯法2=1.253⨯i=1≈0.2642
由2
1
=1+u
得u=2-1=0.0034
1
u<2=0.67
所以测量列中无系差存在。
2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6
次是和另一个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位为mH）：
50.82，50.83，50.87，50.89；
50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。
试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。
使用秩和检验法：
排序：
序号
1
2
3
4
5
第一组
第二组
50.75
50.78
50.78
50.81
50.82
序号
6
7
8
9
10
第一组
50.82
50.83
50.87
50.89
第二组
50.85
T=5.5+7+9+10=31.5查表
T-=14
T+=30
T>T+
所以两组间存在系差
2－21对某量进行两组测量，测得数据如下：
x
i
0.62
0.86
1.13
1.13
1.16
1.18
1.20
1.21
1.22
1.30
1.34
1.39
1.41
1.57
y
i
0.99
1.12
1.21
1.25
1.31
1.31
1.38
1.41
1.48
1.59
1.60
1.60
1.84
1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
解：
按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成下表：
T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
0.62
0.86
1.13
1.13
1.16
1.18
1.20
yi
0.99
1.12
1.21
T
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
xi
1.21
1.22
1.30
1.34
1.39
1.41
yi
1.25
1.31
1.31
1.38
T
21
22
23
24
25
26
27
28
xi
1.57
yi
1.41
1.48
1.59
1.60
1.60
1.84
1.95
现nx＝14，ny＝14，取xi的数据计算T，得T＝154。
由
a=（n1（n1+n2+1））=203；=（n1n2（n1+n2+1））=474求出：
212
t=T-a=-0.1
s
现取概率2（t）=0.95，即（t）=0.475，查教材附表1有t=1.96。
由于
t≤t，因此，可以认为两组数据间没有系统误差。
第三章误差的合成与分配
3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸为l1=40mm，l2=12mm，l3=1.25mm，l4=1.005mm。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为
∆l1=-0.7m,∆l2=+0.5m,∆l3=-0.3m,
∆l4=+0.1m,liml1=±0.35m,liml2=±0.25m,liml3=±0.20m,
liml4=±0.20m。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
修正值=-（∆l1+∆l2+∆l3+∆l4）
=-（-0.7+0.5-0.3+0.1）
=0.4（m）
测量误差:
l=±
=±
=±0.51（m）
3-2为求长方体体积V，直接测量其各边长为a=161.6mm，
b=44.5mm,c=11.2mm,已知测量的系统误差为∆a=1.2mm，
∆b=-0.8mm，∆c=0.5mm，测量的极限误差为a
=±0.8mm，
b=±0.5mm，c=±0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
V=abcV=f（a,b,c）
V0=abc=161.6⨯44.5⨯11.2
=80541.44（mm3）
体积V系统误差∆V为：
∆V=bc∆a+ac∆b+ab∆c
=2745.744（mm3）≈2745.74（mm3）
0
立方体体积实际大小为：
V=V-∆V=77795.70（mm3）
limV=±
=±
=±3729.11（mm3）
测量体积最后结果表示为:
V=V0
-
∆V+limV
=（77795.70±3729.11）mm3
3-4测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V，测量的标准差分别为I=0.5mA，U=0.1V，求所耗功率P=UI及其标准差P。
P=UI=12.6⨯22.5=283.5（mw）
P=f（U,I）U、I成线性关系∴UI=1
P=
=∂f
+∂f
=I
+U
=22.5⨯0.1+12.6⨯0.5
∂UU
∂IIUI
=8.55（mw）
3—12按公式V=πr2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积的相对误差等于1％，试问r和h测量时误差应为多少?
解：
若不考虑测量误差，圆柱体积为
V=⋅r2⋅h=3.14⨯22⨯20=251.2cm3
根据题意，体积测量的相对误差为1％，即测定体积的相对误差为：
=1%
V
即=V⋅1%=251.2⨯1%=2.51现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应为：
=
1=2.511
=0.007cm
r
测定h的误差应为：
1.412hr
=
1=2.511
=0.142cm
h1.41⋅r2
3-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位g）为428.6，429.2，
426.5，430.8。
已知测量的已定系统误差∆=-2.6g,测量的各极限误差分
序号
极限误差／g
误差传递系数
随机误差
未定系统误差
1
2.1
－
1
2
－
1.5
1
3
－
1.0
1
量及其相应的传递系数如下表所示。
若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。
4
－
0.5
1
5
4.5
－
1
6
－
2.2
1.4
7
1.0
－
2.2
8
－
1.8
1
x=428.6+429.2+426.5+430.8
4
=428.775（g）≈428.8（g）
最可信赖值
x=x-∆=428.8+2.6=431.4（g）
x=±
≈±4.9（g）
测量结果表示为:
x=x-∆+x=（431.4±4.9）g
第四章测量不确定度
4—1某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±σr=（3.132±0.005）cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。
解：
①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：
D=2⋅r
其标准不确定度应为：
u==
=
＝0.0314cm
确定包含因子。
查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25
故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：
U＝Ku＝3.25×0.0314＝0.102
②求圆球的体积的测量不确定度
圆球体积为：
V=4⋅⋅r3
3
其标准不确定度应为：
u==
（4⋅⋅r2）22=16⨯3.141592⨯3.1324⨯0.0052
=0.616
确定包含因子。
查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25
最后确定的圆球的体积的测量不确定度为
U＝Ku＝3.25×0.616＝2.002
4-4某校准证书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R在20C时为
10.000742Ω±129Ω（P=99%），求该电阻器的标准不确定度，并说明属
于哪一类评定的不确定度。
由校准证书说明给定
∴属于B类评定的不确定度
R在[10.000742Ω-129Ω，10.000742Ω+129Ω]范围内概率为
99%，不为100%
∴不属于均匀分布，属于正态分布
a=129当p=99%时，Kp=2.58
∴UR=
p
=129
2.58
=50（Ω）
4-5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由
三块量块研合而成，其尺寸分别是：
l1=40mm，
l2=10mm，
l3=2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过
±0.45m、±0.30m、±0.25m（取置信概率P=99.73%的正态分布），
求该量块组引起的测量不确定度。
L=52.5mm
l1=40mm
l2=10mml3=2.5mm
∴L=l1+l2+l3
p=99.73%
∴Kp=3
Ul1=
p
Ul3=
p
=0.45=0.15（m）3
=0.25=0.08（m）3
Ul2=
p
=0.30=0.10（m）3
UL==
=0.20（m）
第五章线性参数的最小二乘法处理
⎧3x+y=2.9
5-1测量方程为⎪x-2y=0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。
⎪2x-3y=1.9
⎧v1=2.9-（3x+y）
误差方程为⎪v=0.9-（x-2y）
⎨2
⎪v=1.9-（2x-3y）
⎩3
⎧∑n
aax+∑
aay=∑al
⎪i=1
列正规方程⎨
i1i1
i=1
i1i2
i=1
i1i
代入数据得
⎪∑n
aax+∑
aay=∑al
⎪⎩i=1
i2i1
i=1
i2i2
i=1
i2i
⎧14x-5y=13.4
⎨-5x+14y=-4.6解得
⎧x=0.962
⎨y=0.015
⎩⎩
⎧v1=2.9-（3⨯0.962+0.015）=-0.001
将x、y代入误差方程式⎪v=0.9-（0.962-2⨯0.015）=-0.032
⎨2
⎪v=1.9-（2⨯0.962-3⨯0.015）=0.021
⎩3
测量数据的标准差为===0.038
⎧14d11-5d12=1
⎡dd
⎤⎨-5d+14d=0
1112⎩
1112
求解不定乘数
⎢dd⎥⎧14d
-5d=0
⎣2122⎦⎨2122
⎩-5d21+14d22=1
解得d11=d22=0.082
x、y的精度分别为x=
d11=0.01
y=
d22=0.01
⎧x-3y=-5.6,p1=1
5-7不等精度测量的方程组如下：
⎪4x+y=8.1,p=2
⎨2
⎪2x-y=0.5,p=3
⎩3
试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。
⎧v1=-5.6-（x-3y）,p1=1
列误差方程⎪v=8.1-（4x+y）,p=2
⎨22
⎪v=0.5-（2x-y）,p=3
⎩33
⎧∑3
paax+∑
paay=∑
pal
⎪i=1
正规方程为⎨
ii1i1
i=1
ii1i2
i=1
ii1i
⎪∑3
paax+∑
paay=∑
pal
⎪⎩i=1
ii2i1
i=1
ii2i2
i=1
ii2i
代入数据得
⎧45x-y=62.2
⎨-x+14y=31.5解得
⎧x=1.434
⎨y=2.352
⎩⎩
⎪
⎧v1=0.022
将x、y代入误差方程可得⎨v2=0.012
⎪=-0.016
则测量数据单位权标准差为==0.039
⎧45d11-d12=1
⎡dd
⎤⎨-d+14d=0
1112⎩1112
求解不定乘数
⎢dd⎥⎧45d-d=0
⎣2122⎦⎨2122
⎩-d21
升级会员 