数值分析第一章绪论习题答案.docx
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数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论
而InX的误差为
eInX*=Inx*-Inx:
丄e*
X*
进而有;(Inx*):
2.设X的相对误差为2%,求Xn的相对误差。
解:
设f(χZ,则函数的条件数为Cp=lfX+
n_1
XnχIXnn
又;r((X*)n)CP7(x*)
且er(χ*)为2
.7((χ*)n)0.02n
3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指
*****
出它们是几位有效数字:
X1=1.1021,χ2=0.031,χ3=385.6,χ4=56.430,x5=7".0.
.*
解:
XI-1.1021是五位有效数字;
X2=0.031是二位有效数字;
X3=385.6是四位有效数字;
X4=56.430是五位有效数字;
X5=71.0.是二位有效数字。
4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:
(1)X1X2X4,
(2)X1X2X3,(3)X2/X4.
其中χl,x2,x3,X4均为第3题所给的数。
解:
*14
;(x1)10
2
*13
;(x2)10
2
*11
;(x3)10
*13
;(x4)10
2
*11
;(x5)10
2
(1);(x;x;x*)
***
=;(%);(x2)*x4)
1A121j3
101010
222-1.0510j3
***
(2)S(XIX2X3)
*********=X1X2£(X3)+X2X3^(XJ+X1X3E(X2)
:
0.215
⑶;(x2/x;)
*Il**I*
X2E(X4)+X4&(X2)
全Γ"2
X4
1-313
0.0311056.43010
=2
56.430X56.430
-105
43
解:
球体体积为VR
3
则何种函数的条件数为
:
CP“(R*)9(R*)
又γ(V*)-1
1
故度量半径R时允许的相对误差限为;r(R*)1:
0.33
3
1
6.设Y0=28,按递推公式Yn=Ynd-:
783(n=1,2,…)
100
计算到Yoo。
若取J783^27.982(5位有效数字),试问计算Yoo将有多大误差?
A
解:
丁Yn-YnJ-丿783
100
1
丫98=询7783
100
YI=Yi--√783
100
1
依次代入后,有Y100=Y)-100':
——-:
783
100
即Y°0=Y)-砲,
若取√783肚27.982,:
Y00=Y0—27.982
*1_3
二欽丫°。
)n(Y°)7(27.982)=—汇10
2
1」
■Y100的误差限为10。
2
7.求方程χ2-56x,1=0的两个根,使它至少具有4位有效数字(•、783=27.982)。
解:
X2-56x1=0,
故方程的根应为x1,2=28±J屈
故%=287832827.982=55.982
■X1具有5位有效数字
111
X2=28-、、7830.017863
28,7832827.98255.982
X?
具有5位有效数字
n4t1
&当N充分大时,怎样求2dx?
IN1+χ2
N+
解∙N
2dx=arctan(N+1)—arctanN
1X
设:
=arctan(N1),:
=arctanN。
则tan:
=N1,tan:
=N.
N1
2dxN1x2
=CL-^
=arctan(tan(:
--))tanα-tanB
=arctan
1tan3∙tanL
N+1—N
=arctan
1+(N+1)N
1
=arctan厂
N+N+1
2
9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过Icm?
解:
正方形的面积函数为A(X)-X2
.;(A*)=2A7(x*).
当x*=100时,若;(A*)<1,
则;(x*)乞110N
2
故测量中边长误差限不超过0.005cm时,才能使其面积误差不超过1cm2
12
10•设Sgt2,假定g是准确的,而对t的测量有-0.1秒的误差,证明当t增加时S的
2
绝对误差增加,而相对误差却减少。
12
解:
Sgt2,t0
2y
(S*>gf二(t*)
当t*增加时,S*的绝对误差增加
;(S*)
2
gt-(t*)
1*2
-g(t)
2
t
当t*增加时,;(t*)保持不变,则S*的相对误差减少。
11•序列S满足递推关系yn=lθy∏丄-1(n=1,2,…),
若y0=λ21.41(三位有效数字),计算到y10时误差有多大?
这个计算过程稳定吗?
解:
;y°='、2Z-1.41
12;(y。
*)W
2
又yn=10ym-1
y^1Oyo-1
S=10(y°*)
又y2=10y1τ
OC=10;(y「)
;5*)刊02;(y。
*)
几E(y10*)=11⅛y(0*)
=1001102
2
二丄108
2
1
计算到y10时误差为108,这个计算过程不稳定。
2
12.计算f=(V-1)6,取2<,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
解:
设y=(x-1)6,
若X=、一2,X=1.4,则X=—10*。
2
若通过
W./计算y值,则
7
(X1)
6**
7yX(X1)
=二迟y*X*
若通过(3-2迈)3计算y值,则
y)=Jx2×(3—2X)琴(X)
6***y_一X
3-2X
=Si-yX
若通过3计算y值,则
(32.2)
)=空'r
(3+2x)4r1*
7yX(32x)7
y*X*
1
通过
13.
——13计算后得到的结果最好。
(322)3
f(X)=In(X-XX2-1),求f(30)的值。
若开平方用6位函数表,问求对数时误差有多
大?
若改用另一等价公式。
In(x-⅛x2-1)=-In(xχ2T)
计算,求对数时误差有多大?
解
丁f(x)=ln(x_Jx2_1),二f(30)=ln(30—7895)
设u855,y=f(30)
则u*=∖U
*1A
•;U4
2
故
P"产-一f(u*)
30-U
1*
U
0.0167
…丄J
若改用等价公式
In(X-:
:
:
X^!
)=-1n(X.X^i)
则f(30)=-In(30、.899)
此时,
y=-——IU
30+u
1
U
59.9833
:
:
:
宀:
.1F7