数值分析第一章绪论习题答案.docx
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数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论
而InX的误差为
eInX*=Inx*-Inx：
丄e*
X*
进而有；（Inx*）:
2.设X的相对误差为2%,求Xn的相对误差。
解：
设f（χZ,则函数的条件数为Cp=lfX+
n_1
XnχIXnn
又；r（（X*）n）CP7（x*）
且er（χ*）为2
.7（（χ*）n）0.02n
3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指
*****
出它们是几位有效数字：
X1=1.1021,χ2=0.031,χ3=385.6,χ4=56.430,x5=7".0.
.*
解：
XI-1.1021是五位有效数字；
X2=0.031是二位有效数字；
X3=385.6是四位有效数字；
X4=56.430是五位有效数字；
X5=71.0.是二位有效数字。
4.利用公式（2.3）求下列各近似值的误差限：
（1）X1X2X4,
（2）X1X2X3,（3）X2/X4.
其中χl,x2,x3,X4均为第3题所给的数。
解：
*14
；（x1）10
2
*13
;（x2）10
2
*11
；（x3）10
*13
；（x4）10
2
*11
；（x5）10
2
（1）；（x；x；x*）
***
=；（%）；（x2）*x4）
1A121j3
101010
222-1.0510j3
***
（2）S（XIX2X3）
*********=X1X2£（X3）+X2X3^（XJ+X1X3E（X2）
:
0.215
⑶；（x2/x；）
*Il**I*
X2E（X4）+X4&（X2）
全Γ"2
X4
1-313
0.0311056.43010
=2
56.430X56.430
-105
43
解：
球体体积为VR
3
则何种函数的条件数为
：
CP“（R*）9（R*）
又γ（V*）-1
1
故度量半径R时允许的相对误差限为；r（R*）1：
0.33
3
1
6.设Y0=28,按递推公式Yn=Ynd-：
783（n=1,2,…）
100
计算到Yoo。
若取J783^27.982（5位有效数字），试问计算Yoo将有多大误差?
A
解：
丁Yn-YnJ-丿783
100
1
丫98=询7783
100
YI=Yi--√783
100
1
依次代入后，有Y100=Y）-100'：
——-:
783
100
即Y°0=Y）-砲,
若取√783肚27.982,:
Y00=Y0—27.982
*1_3
二欽丫°。
）n（Y°）7（27.982）=—汇10
2
1」
■Y100的误差限为10。
2
7.求方程χ2-56x，1=0的两个根，使它至少具有4位有效数字（•、783=27.982）。
解:
X2-56x1=0,
故方程的根应为x1,2=28±J屈
故％=287832827.982=55.982
■X1具有5位有效数字
111
X2=28-、、7830.017863
28,7832827.98255.982
X?
具有5位有效数字
n4t1
&当N充分大时，怎样求2dx?
IN1+χ2
N+
解∙N
2dx=arctan（N+1）—arctanN
1X
设：
=arctan（N1）,：
=arctanN。
则tan：
=N1,tan：
=N.
N1
2dxN1x2
=CL-^
=arctan（tan（：
--））tanα-tanB
=arctan
1tan3∙tanL
N+1—N
=arctan
1+（N+1）N
1
=arctan厂
N+N+1
2
9.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过Icm?
解：
正方形的面积函数为A（X）-X2
.；（A*）=2A7（x*）.
当x*=100时，若；（A*）<1,
则；（x*）乞110N
2
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm2
12
10•设Sgt2,假定g是准确的，而对t的测量有-0.1秒的误差，证明当t增加时S的
2
绝对误差增加，而相对误差却减少。
12
解：
Sgt2,t0
2y
（S*>gf二（t*）
当t*增加时，S*的绝对误差增加
；（S*）
2
gt-（t*）
1*2
-g（t）
2
t
当t*增加时，；（t*）保持不变，则S*的相对误差减少。
11•序列S满足递推关系yn=lθy∏丄-1（n=1,2,…），
若y0=λ21.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？
这个计算过程稳定吗?
解：
；y°='、2Z-1.41
12；（y。
*）W
2
又yn=10ym-1
y^1Oyo-1
S=10（y°*）
又y2=10y1τ
OC=10；（y「）
；5*）刊02；（y。
*）
几E（y10*）=11⅛y（0*）
=1001102
2
二丄108
2
1
计算到y10时误差为108,这个计算过程不稳定。
2
12.计算f=（V-1）6,取2<,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?
解：
设y=（x-1）6,
若X=、一2,X=1.4,则X=—10*。
2
若通过
W./计算y值，则
7
（X1）
6**
7yX（X1）
=二迟y*X*
若通过（3-2迈）3计算y值，则
y）=Jx2×（3—2X）琴（X）
6***y_一X
3-2X
=Si-yX
若通过3计算y值，则
（32.2）
）=空'r
（3+2x）4r1*
7yX（32x）7
y*X*
1
通过
13.
——13计算后得到的结果最好。
（322）3
f（X）=In（X-XX2-1）,求f（30）的值。
若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多
大？
若改用另一等价公式。
In（x-⅛x2-1）=-In（xχ2T）
计算，求对数时误差有多大？
解
丁f（x）=ln（x_Jx2_1）,二f（30）=ln（30—7895）
设u855,y=f（30）
则u*=∖U
*1A
•；U4
2
故
P"产-一f（u*）
30-U
1*
U
0.0167
…丄J
若改用等价公式
In（X-：
：
：
X^!
）=-1n（X.X^i）
则f（30）=-In（30、.899）
此时，
y=-——IU
30+u
1
U
59.9833
：
：
：
宀:
.1F7
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