数值分析第一章绪论习题答案.docx

1、数值分析第一章绪论习题答案第一章绪论而InX的误差为e In X* =In x* -Inx ：丄e*X*进而有；(In x*):2.设X的相对误差为2% ,求Xn的相对误差。解：设f(Z ,则函数的条件数为Cp=lfX+n _1X n I Xn n又；r(X*) n) CP 7(x*)且 er (*)为 2.7(*)n) 0.02 n3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指* * * * *出它们是几位有效数字： X1 =1.1021, 2 =0.031, 3 =385.6, 4 = 56.430,x5 = 7.0. *解：XI -1.1021是五位有效

2、数字；X2 = 0.031是二位有效数字；X3 =385.6是四位有效数字；X4 =56.430是五位有效数字；X5 =7 1.0.是二位有效数字。4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X1 X2 X4,(2) X1 X2X3 ,(3) X2 /X4 .其中l ,x2,x3,X4均为第3题所给的数。解：*1 4；(x1) 102*1 3;(x2) 102*1 1；(x3) 10*1 3；(x4) 102*1 1；(x5) 102(1)；(x； x； x*)* * *=；(%) ；(x2) *x4)1 A 1 2 1 j310 10 102 2 2 -1.05 10j3* *

3、 *(2)S(XIX2X3)* * * * * * * * =X1X2 (X3)+ X2X3 (XJ + X1X3 E(X2):0.215；(x2/x；)* Il * * I *X2 E(X4) + X4 &(X2)全 2X41-3 1 30.031 10 56.430 10= 256.430X56.430-10 54 3解：球体体积为V R3则何种函数的条件数为： CP “(R*) 9(R*)又 (V*) -11故度量半径R时允许的相对误差限为 ；r(R*) 1 ： 0.3331 6.设 Y0 =28,按递推公式 Yn =Ynd- ： 783 (n=1,2,)100计算到Yoo。若取J783

4、 27.982 ( 5位有效数字)，试问计算Yoo将有多大误差?A解：丁 Yn-YnJ- 丿7831001 丫98 =询7 783100YI=Yi-7831001依次代入后，有 Y100 =Y) -100： -:783100即 Y0=Y)-砲,若取 783 肚 27.982,: Y00 =Y027.982* 1 _3二欽丫。)n(Y) 7(27.982)=汇1021 Y100的误差限为 10 。27.求方程2 -56x，1 =0的两个根，使它至少具有 4位有效数字(、783 = 27.982)。解: X2 -56x 1 =0 ,故方程的根应为 x1,2=28J屈故 = 28 783 28 27

5、.982 = 55.982X1具有5位有效数字1 1 1X2 =28-、783 0.01786328 ,783 28 27.982 55.982X?具有5位有效数字n4t 1&当N充分大时，怎样求 2 dx ?IN 1+2N +解N2 dx =arctan(N +1) arctanN1 X设：=arctan(N 1), ： = arctanN 。则 tan ： =N 1,tan ： =N.N 12dx N 1 x2= CL-=arcta n(ta n(：-) tan -tan B=arcta n1 tan 3tan LN +1 N=arcta n1 +(N +1)N1=arcta n 厂N +

6、N +129.正方形的边长大约为了 100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过 Icm ?解：正方形的面积函数为 A(X)-X2.；(A*) =2A7(x*).当 x* =100时，若；(A*) gf 二(t* )当t*增加时，S *的绝对误差增加；(S*)2 gt -(t*)1 * 2-g(t)2t当t*增加时，；(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。11序列 S满足递推关系yn=ly丄-1 (n=1,2,)，若y0 = 2 1.41 (三位有效数字)，计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗?解：；y = 、2 Z-1.411 2 ；(y。*) W2又 yn =10ym -1y1O

7、yo -1S =10(y*)又 y2 =10y1 OC =10；(y)；5*)刊02 ；(y。*)几 E(y10*)= 11 y(0 *)=100 1 1022二丄 10821计算到y10时误差为 108 ,这个计算过程不稳定。212.计算 f =( V-1)6 ,取 2 ,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?解：设 y = (x -1)6,若 X=、一 2 , X =1.4 ,则 X = 10*。2若通过W./计算y值，则7(X 1)6 * *7 y X (X 1)=二迟 y* X*若通过(3 -2迈)3计算y值，则y )= Jx 2 (3 2X )琴(X )6 * * *y _一 X3

8、-2X=Si- y X若通过 3计算y值，则(3 2.2)= 空 r(3+2x )4 r 1 *7 y X (3 2x )7y* X*1通过13.1 3计算后得到的结果最好。(3 2 2)3f (X)= In(X - X X2 -1),求f (30)的值。若开平方用 6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。 In(x -x2 -1) = - In(x2 T)计算，求对数时误差有多大？解丁 f(x)=ln(x_ Jx2 _1),二 f(30)=ln(307895)设 u 855, y = f (30)则 u* = U* 1 A ； U 42故P 产-一 f（u*）30-U1 *U0.0167丄J若改用等价公式In （X - ： X!） = -1 n（ X . Xi）则 f （30） = -In（30、. 899）此时，y = - I U30 +u1U59.9833：宀:.1 F 7