行列式的计算方法研究毕业论文.docx

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行列式的计算方法研究毕业论文

昆明学院

2010届毕业设计（论文）

设计（论文）题目行列式的计算方法研究

姓名

学号S006054127

所属系数学系

专业年级数学与应用数学2006级数学<1>班

指导教师

2010年5月

摘要

在线性代数中，行列式是个函数。

在本质上，行列式描述的是在

维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。

行列式的概念出现的根源是解线性方程组。

本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。

其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。

最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。

关健词：

行列式计算方法方法举例

Abstract

Inlinearalgebra,thedeterminantisafunction.Inessence,thedeterminantdimensionalspacedescribedinalineartransformation.Theformationof"parallelpolyhedron"and"volume".Theconceptoftherootofthedeterminantthereissolutionoflinearequations.Thepaperonthesummaryofthecalculationofthedeterminantandthecalculationmethodforexample.n-orderdeterminanthavemanythecalculationmethods,Fewernon-zeroelementsCanbecalculatedusingthedefinition（1.Inaccordancewiththestartofacolumnorarow.2.Fullexpansion.）.Moredeterminantofthenatureofthecalculationistouse.Inparticular,observethecharacteristicsofthesubjectrequest,FlexibleSelectionMethod.ItistobenotedthatInthesamedeterminantsometimeswillhavedifferentmethodsforsolving.Herearesomecommonlyusedmethodsandillustratewithexamples.

Keywords:

DeterminantCalculationmothedsillustratewithexamples

前言…………………………………………………………………………1

第一章普遍法求行列式

1.1利用行列式的定义直接计算…………….……………………………………….2

1.2利用行列式的性质计算…………….…………………………………………….2

1.3化为三角形行列式…………….………………………………………………….3

1.3.1直接化为阶梯型…………….……………………………………………….3

1.3.2相同去项化上三角形….…………………………………………………..4

第二章特殊法求行列式

2.1降阶法（按行（列）展开法）….……………………………………………..5

2.1.1先简后展….……………………………….………………………………5

2.1.2按第一行（列）展开….…………………………………………………….6

2.2递（逆）推公式法….…………………………………………………………….7

2.2.1等差数列递推….…………………………………………………………….7

2.2.2“一路直推”….………………………………………………………………9

2.2.3对角递推….………………………………………………………………….9

2.3利用德蒙行列式….…………………………………………………………….11

2.3.1变形德蒙行列式….……………………………………………………….11

2.3.2系数德蒙行列式….……………………………………………………….12

2.3.3利用行列式性质凑德蒙行列式….…………………………………………13

第三章其他方法求行列式

3.1加边法（升阶法）….………………………………………………………………14

3.1.1“0”和“字母”加边….………………………………………………………14

3.1.2“0”和“1”加边….…………………………………………………………14

3.2数学归纳法….…………………………………………………………………….16

3.2.1第一数学归纳法….………………………………………………………….16

3.2.2第二数学归纳法….………………………………………………………….17

3.2.3猜测归纳法….………………………………………………………………17

3.3拆开法….………………………………………………………………………….19

3.3.1对角拆开….…………………………………………………………………….19

3.3.2按行（列）拆….……………………………………………………………….19

参考文献……………………………….………………………………………………..21.

辞…………………………….…………………………………………………………22

前言

在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵

，值域为一个标量，写作

。

在本质上，行列式描述的是在

维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。

行列式无论是在微积分中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用.如判断矩阵

的可逆性,行列式的一个主要应用是解线性方程组。

当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。

对一个有

个方程和

个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。

这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。

这也是行列式概念出现的根源。

　　当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。

但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。

行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。

随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。

于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。

行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。

　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。

行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：

求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。

第一章普通法求行列式

1.1利用行列式定义直接计算

例1计算行列式

解

中不为零的项用一般形式表示为

该项列标排列的逆序数

等于

，

故

.

总结：

对上面的例题，可以看出，行列式中0元素比较多的，那么用定义法计算比较简略。

对于这一类型行列式形状，我们为了方便计算逆序数，最好把它的个数做成等差或等比数列。

1.2利用行列式的性质计算

例1：

，一个n阶行列式

的元素满足

则称Dn为反对称行列式。

证明：

奇数阶反对称行列式为零.

证明：

由

知

，即

故行列式

可表示为

，由行列式的性质

，

当

为奇数时，得

，因而得

1.3化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化为三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

这是计算行列式的基本方法重要方法之一。

因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。

但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

1.3.1直接化为阶梯形

例1计算行列式

．

解：

这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

1.3.2相同去项化上三角形

例题2：

计算n阶行列式

．

解：

这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．

第二章特殊法求行列式阶法

2.1按行（列）展开法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

2.1.1先简再展

例1:

计算20阶行列式

[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！

*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。

但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

　　注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

2.1.2按第一行（列）展开

例2：

计算n阶行列式

解将

按第1行展开

.

例3：

计算n（n≥2）阶行列式

．

解按第一行展开，得

．

再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到

．

2.2递（逆）推公式法

递推法是根据行列式的构造特点，建立起

与

的递推关系式，逐步推下去，从而求出

的值。

有时也可以找到

与

的递推关系，最后利用

...

得到

的值。

注意:

用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

2.2.1等差数列递推

例1:

计算行列式

.

解：

将行列式按第

列展开,有

得

。

同理得

例2：

计算

解：

同理

联立解得

当

时,

2.2.2“一路直推”

例1:

计算

阶行列式

．

解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：

这里

与

有相同的结构，但阶数是

的行列式．

现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：

因

，故

．

最后，用数学归纳法证