人教版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试福建省厦门一中.docx

人教版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试福建省厦门一中.docx

《人教版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试福建省厦门一中.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版八年级数学下册《第16章 二次根式》单元测试福建省厦门一中.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

人教版八年级数学下册《第16章二次根式》单元测试福建省厦门一中

初中数学试卷

人教版八年级下册《第16章二次根式》单元测试（福建省厦门一中）

一、精心选一选，慧眼识金！

1．若Rt△ABC中，∠C=90°且c=13，a=12，则b=（　　）

A．11B．8C．5D．3

2．下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）

A．a=2，b=3，c=4B．a=5，b=12，c=13

C．a=6，b=8，c=10D．a=3，b=4，c=5

3．如图：

a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（　　）

A．a2+b2=c2B．ab=cC．a+b=cD．a+b=c2

4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．3

5．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（　　）

A．6B．7C．8D．9

6．已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（　　）

A．13B．

C．13或

D．不能确定

7．下列命题：

①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；

③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：

b2：

c2=2：

1：

1．

其中正确的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．②④

8．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（　　）

A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形

9．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（　　）

A．14B．4C．14或4D．以上都不对

10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里

二、耐心填一填，一锤定音！

11．若一个三角形的三边满足c2﹣a2=b2，则这个三角形是　　．

12．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面　　（填“合格”或“不合格”）．

13．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　　，逆命题是　　命题（填“真”或“假”）．

14．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为　　．

15．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=　　．

16．一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是　　cm．

17．如图所示，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露出在杯子外面的部分长为hcm，则h的取值范围是　　．

三、用心做一做，马到成功！

（共49分）

18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，

（1）求AB的长；

（2）求CD的长．

19．如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°．求四边形ABCD的面积．

20．如图，在数轴上画出表示

的点（不写作法，但要保留画图痕迹）．

21．三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？

说明理由．

22．观察下列各式，你有什么发现？

32=4+5，52=12+13，72=24+2592=40+41…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？

（1）填空：

132=　　+　　；

（2）请写出你发现的规律；

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．

23．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅”

请用学过的数学知识回答这个问题．

24．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：

图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

人教版八年级下册《第16章二次根式》单元测试（福建省厦门一中）

参考答案与试题解析

一、精心选一选，慧眼识金！

1．若Rt△ABC中，∠C=90°且c=13，a=12，则b=（　　）

A．11B．8C．5D．3

【考点】勾股定理．

【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理可得b=

，代入数据可得出b的长度．

【解答】解：

∵三角形ABC是直角三角形，∠C=90°，

∴AC=

，即b=

=

=5，

故选C．

【点评】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理在解直角三角形中的运用．

2．下列各组数中以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）

A．a=2，b=3，c=4B．a=5，b=12，c=13

C．a=6，b=8，c=10D．a=3，b=4，c=5

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理：

如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

【解答】解：

A选项中，∵22+32=42，∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长；

B、C、D选项的三个数都满足这种关系，能作为直角三角形的三边长．

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

3．如图：

a，b，c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，则下列结论正确的是（　　）

A．a2+b2=c2B．ab=cC．a+b=cD．a+b=c2

【考点】勾股定理．

【分析】由于三角形是直角三角形，而它们的旁边是正方形，根据勾股定理即可解答．

【解答】解：

∵a、b、c表示以直角三角形三边为边长的正方形的面积，

∴a=AC2，b=BC2，c=AB2．

又∵在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2．

∴a+b=c．

故选C．

【点评】此题首先要确定中间三角形为直角三角形，再求出三边，用勾股定理来求三边之间的关系．

4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．3

【考点】等边三角形的性质．

【专题】计算题．

【分析】如图，作CD⊥AB，则CD是等边△ABC底边AB上的高，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD的长，代入面积计算公式，解答出即可；

【解答】解：

作CD⊥AB，

∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，

∴AD=1，

∴在直角△ADC中，

CD=

=

=

，

∴S△ABC=

×2×

=

；

故选C．

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想．

5．若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（　　）

A．6B．7C．8D．9

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．

【解答】解：

作底边上的高并设此高的长度为x，则根据勾股定理得：

62+x2=102；

解得：

x=8，

故选C．

【点评】本题考点：

等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．然后根据勾股定理即可求出底边上高的长度．

6．已知直角三角形的两边长分别是5和12，则第三边为（　　）

A．13B．

C．13或

D．不能确定

【考点】勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

【解答】解：

当12是斜边时，第三边长=

=

；

当12是直角边时，第三边长=

=13；

故第三边的长为：

或13．

故选C．

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．

7．下列命题：

①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；

③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：

b2：

c2=2：

1：

1．

其中正确的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．②④

【考点】命题与定理．

【分析】根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆定理对③进行判断；根据等腰直角三角形的性质对④进行判断．

【解答】解：

如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数，所以①正确；

如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边是13或

，所以②错误；

如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形不是直角三角形，所以③错误；

一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：

b2：

c2=2：

1：

1，所以④正确．

故选C．

【点评】本题考查了命题与定理：

判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．

8．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（　　）

A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】对等式进行整理，再判断其形状．

【解答】解：

化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，

故选：

C．

【点评】本题考查了直角三角形的判定：

可用勾股定理的逆定理判定．

9．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（　　）

A．14B．4C．14或4D．以上都不对

【考点】勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】分两种情况讨论：

锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．

【解答】解：

（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，

则BD=5，

在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，

则CD=9，

故BC=BD+DC=9+5=14；

（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，

则BD=5，

在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，

则CD=9，

故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．

故选：

C．

【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．

10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）

A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里

【考点】勾股定理的应用；方向角．

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．

【解答】解：

∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，

∴∠BAC=90°，

两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，

根据勾股定理得：

=40（海里）．

故选D．

【点评】熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．

二、耐心填一填，一锤定音！

11．若一个三角形的三边满足c2﹣a2=b2，则这个三角形是　直角三角形　．

【考点】勾股定理的逆定理．

【专题】推理填空题．

【分析】对原式变形，利用勾股定理的逆定理，从而确定三角形的形状．

【解答】解：

∵c2﹣a2=b2，

∴a2+b2=c2，

∴此三角形是直角三角形．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

12．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面　合格　（填“合格”或“不合格”）．

【考点】矩形的判定；勾股定理的应用．

【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：

有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．

【解答】解：

∵802+602=10000=1002，

即：

AD2+DC2=AC2，

∴∠D=90°，

同理：

∠B=∠BCD=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴这个桌面合格．

故答案为：

合格．

【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：

在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：

①矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．

13．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　两个角相等三角形是等腰三角形　，逆命题是　真　命题（填“真”或“假”）．

【考点】命题与定理．

【专题】常规题型．

【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假．

【解答】解：

因为原命题的题设是：

“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，

所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题．

故答案为：

两个角相等三角形是等腰三角形，真．

【点评】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．

14．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为　25　．

【考点】正方形的性质；勾股定理．

【专题】转化思想．

【分析】根据题意仔细观察可得到正方形A，B，C，D的面积的和等于最大的正方形的面积，已知最大的正方形的边长则不难求得其面积．

【解答】解：

由图可看出，A，B的面积和等于其相邻的直角三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形上方的三角形的一个直角边的平方；

C，D的面积和等于与其相邻的三角形的斜边的平方，

即等于最大正方形的另一直角边的平方，

则A，B，C，D四个正方形的面积和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜边的平方即等于最大的正方形的面积，

因为最大的正方形的边长为5，则其面积是25，即正方形A，B，C，D的面积的和为25．

故答案为25．

【点评】此题结合正方形的面积公式以及勾股定理发现各正方形的面积之间的关系．

15．如图将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3，AB=8，则BF=　6　．

【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．

【分析】设BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根据勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立关于x的方程，即可得出BF的长．

【解答】解：

由折叠的性质知：

AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；

在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：

CF=4，

若设AD=AF=x，则BC=x，BF=x﹣4；

在Rt△ABF中，由勾股定理可得：

82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，

故BF=x﹣4=6．

故答案为：

6．

【点评】考查了勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．

16．一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是　

　cm．

【考点】平面展开﹣最短路径问题．

【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可．

【解答】

解：

将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=

=

cm；

如图2所示，

=4

cm，

∵

＜4

，

∴蚂蚁所行的最短路线为

cm．

故答案为：

【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．

17．如图所示，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为9cm，高为12cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露出在杯子外面的部分长为hcm，则h的取值范围是　9≤h≤12cm　．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h的取值范围．

【解答】解：

当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，

此时，在杯子内部分=

=15cm，

故h=24﹣15=9cm．

故h的取值范围是9≤h≤12cm．

故答案为：

9≤h≤12cm．

【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．

三、用心做一做，马到成功！

（共49分）

18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，

（1）求AB的长；

（2）求CD的长．

【考点】勾股定理．

【分析】

（1）用勾股定理求出斜边AB的长度；

（2）用面积就可以求出斜边上的高．

【解答】解：

（1）在Rt△ABC中

由勾股定理得：

AB=

=10；

（2）由面积公式得：

S△ABC=

AC•BC=

AB•CD

∴CD=6×8÷2×2÷10=4.8．

【点评】考查了勾股定理，利用勾股定理和直角三角形的面积相结合，求解斜边上的高是解直角三角形的重要题型之一，也是中考的热点．

19．如图，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°．求四边形ABCD的面积．

【考点】勾股定理；三角形的面积；勾股定理的逆定理．

【分析】连接AC，得到直角三角形△ABC，利用勾股定理可以求出AC，根据数据特点，再利用勾股定理逆定理可以得到△ACD也是直角三角形，这样四边形的面积就被分解成了两个直角三角形的面积，代入面积公式就可以求出答案．

【解答】解：

连接AC，

∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，

∴根据勾股定理AC=

=5（cm），

又∵CD=12cm，AD=13cm，

∴AC2+DC2=52+122=169，

AD2=132=169，

根据勾股定理的逆定理：

∠ACD=90°．

∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=

×3×4+

×5×12=36（cm2）．

【点评】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理．

20．如图，在数轴上画出表示

的点（不写作法，但要保留画图痕迹）．

【考点】勾股定理；实数与数轴．

【专题】作图题．

【分析】根据勾股定理，作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是

；再以原点为圆心，以

为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．

【解答】解：

所画图形如下所示，其中点A即为所求．

【点评】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．

21．三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？

说明理由．

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据S1、S2、S3，可得出AC2，BC2及AB2，根据勾股定理的逆定理可得出三角形是直角三角形．

【解答】解：

∵S1=

π（

）2=4.5π，S2=

π（

）2=8π，S3=

π（

）2=12.5π，

∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，

又∵AC2+BC2=AB2，

∴△ABC一定是直角三角形．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，关键是根据面积表示出AC2，BC2及AB2，要求熟练掌握勾股定理的逆定理．

22．观察下列各式，你有什么发现？

32=4+5，52=12+13，72=24+2592=40+41…这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？

（1）填空：

132=　84　+　85　；

（2）请写出你发现的规律；

（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．

【考点】勾股定理；规律型：

数字的变化类．

【分析】认真观察三个数之间的关系可得出规律：

第n组数为（2n+1），（

），（

）由此规律解决问题．

【解答】解：

（1）132=b+c，这是第6个式子，

故132=

+

=84+85；

（2）规律为：

（2n+1）2=（

）+（

）．

（3）（

）2﹣（

）2

=[（

）+（

）][（

）﹣（

）]

=（2n+1）2．

即三个数是勾股数．

【点评】本题考查了勾股定理的知识及数字的规律变化，解答本题的关键是仔细观察所给式子，要求同学们能有一般得出特殊规律．

23．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅”

请用学过的数学知识回答这个问题．

【考点】勾股定理的应用．

【专题】数形结合．

【分析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出．

【解答】解：

设湖水深为x尺，则红莲总长为（x+0.5）尺，

根据勾股定理得：

在Rt△ABC中，有：

x2+s2=（x+0.5）2，

在Rt△ADC中，有：

0.52+s2=2