突发环境事件应急预案.docx
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突发环境事件应急预案
空间几何体的表面积和体积预习提纲
1．平面展开图
2．概念：
直棱柱：
正棱柱：
正棱锥：
正棱台：
3．面积公式：
S直棱柱侧＝S正棱锥侧＝
S正棱台侧＝S圆柱侧＝＝
S圆锥侧＝＝S圆台侧＝＝
S球面＝
相互间的关系：
4．体积公式：
V长方体＝＝V柱体＝
V锥体＝V台体＝
V球＝
相互间的关系：
空间几何体的表面积和体积教案
例1：
已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16，全面积为14402，求底面各边之长.
例2：
正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.
例3：
从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—，求它的体积是正方体体积的几分之几？
例4：
假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.
例5：
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的
例6：
有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.
例7：
已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.
练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.
例8：
求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
例9：
半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
空间几何体的表面积和体积教案
例1：
已知直三棱柱底面各边的比为17∶10∶9，侧棱长为16，全面积为14402，求底面各边之长.
分析：
这是一道跟直棱柱侧面积有关的问题，从结论出发，欲
求底面各边之长，而各边之比已知，可分别设为17a、10a、
9a，故只须求出参数a即可，那么如何利用已知条件去求
a呢？
［生］设底面三边长分别是17a、10a、9a,
S侧＝（17a＋10a＋9a）·16＝576a
设17a所对三角形内角α，
则α＝＝－，α＝
S底＝·10a·9a·＝36a2
∴576a＋72a2＝1440解得：
a＝2
∴三边长分别为34，20，18.
［师］此题中先设出参数a，再消去参数，很有特色.
例2：
正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积与全面积.
分析：
可根据正棱锥的侧面积与全面积公式求得.
解：
如图所示，设正三棱锥S—的高为，斜高为，
在△中，∴＝·45°
∵＝＝a∴＝a
在△中
＝
∴S侧＝·3a·＝a2.∵S底＝a2
∴S全＝（＋）a2
例3：
从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—，求它的体积是正方体体积的几分之几？
分析：
在准确识图的基础上，求出所截得的每个三棱锥的
体积和正三棱锥A—的体积即可.
解：
设正方体体积为,则每个截去的三棱锥的体积
为·＝.
∵三棱锥A—的体积为
－4·＝.
∴正三棱锥A—的体积是正方体体积的.
例4：
假设正棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，求对角面的面积和侧面积.
解：
如图所示，在正四棱锥P—中，＝a，＝2a，
作⊥底面于O.连结，则O∈，且⊥，
由＝a，得＝a，在△中，
2＝2－2＝（2a）2－（a）2
∴＝a，S对角面＝·＝a2.
又作⊥于E，这时E是的中点
∴2＝2－2＝（2a）2－（a）2
∴＝a∴S侧＝4×
·＝a2
∴对角面面积为a2,侧面积为a2.
例5：
如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；
（2）球的表面积等于圆柱全面积的
证明：
（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
高为2R，得
S球＝4πR2，S圆柱侧＝2πR·2R＝4πR2∴S球＝S圆柱侧
（2）∵S圆柱全＝4πR2+2πR2＝6πR2S球＝4πR2
∴S球＝S圆柱全
例6：
有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各顶点，求这三个球的表面积之比.
解：
设正方体的棱长为a，则第一个球的半径为，第二个球的半径是a，第三个球的半径为a.
∴r1∶r2∶r3＝1∶∶∴S1∶S2∶S3＝1∶2∶3
例7：
已知圆锥的全面积是它内切球表面积的2倍，求圆锥侧面积与底面积之比.
解：
过圆锥的轴作截面截圆锥和内切球分别得轴截面和球的大圆⊙O，且⊙O为
△的内切圆.
设圆锥底面半径为r,母线长为l;内切圆半径为R，则
S锥全＝πr2＋π，S球＝4πR2，∴r2＋＝8R2①
又∵△∽△1
∴
②
由②得：
R2＝r2·
代入①得：
r2＋＝8r2·
，得：
l＝3r
∴
∴圆锥侧面积与底面积之比为3∶1.
练习：
1.已知球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且2，求球的体积.
2.一个体积为8的正方体的各个顶点都在球面上，求此球的体积.
例8：
求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
解：
如图所示，等边△为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C11，截球面得球的大圆圆O1.
设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有
＝O1O·30°＝R
＝·60°＝R·＝3R
∴V球＝πR3柱＝πR2·2R＝2πR3
V锥＝π（R）2·3R＝3πR3
∴V球∶V柱∶V锥＝4∶6∶9
［师］以上题目，通过作球及外切圆柱、等边圆锥的公共截面暴露这些几何体之间的相互关系.
让我们继续体会有关球的相接切问题.
例9：
半径为R的球的内接四面体内有一内切球，求这两球的体积比？
解：
如图所示，大球O的半径为R；设正四面体
A—的棱长为a，它的内切球半径为r，依题意
1＝a＝a，
1＝＝＝a
又∵2＝12＋12，
∴R2＝（
∴a＝
R
连结，，，，内切球球心到正四面体各面距离为r,
—＝—＋—＋—＋—
∴
∴r＝
∴r＝
∴V小球∶V大球＝
π·（
R）3∶
π·R3＝1∶27
∴内切球与外接球的体积比为1∶27.
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