高一数学《二次函数》试题.docx

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高一数学《二次函数》试题

二次函数

1．解析式、待定系数法

若

，且

，

，求

的值．

变式1：

若二次函数

的图像的顶点坐标为

，与y轴的交点坐标为（0,11），则

A．

B．

C．

D．

变式2：

若

的图像x=1对称，则c=_______．

变式3：

若二次函数

的图像与x轴有两个不同的交点

、

，且

，试问该二次函数的图像由

的图像向上平移几个单位得到？

2．图像特征

将函数

配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．

变式1：

已知二次函数

，如果

（其中

），则

A．

B．

C．

D．

变式2：

函数

对任意的x均有

，那么

、

、

的大小关系是

A．

B．

C．

D．

变式3：

已知函数

的图像如右图所示，

请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________．

3．）单调性

已知函数

，

．

（1）求

，

的单调区间；

（2）求

，

的最小值．

变式1：

已知函数

在区间

内单调递减，则a的取值范围是

A．

B．

C．

D．

变式2：

已知函数

在区间（

1）上为增函数，那么

的取值范围是_________．

变式3：

已知函数

在

上是单调函数，求实数

的取值范围．

4．最值

已知函数

，

．

（1）求

，

的单调区间；

（2）求

，

的最小值．

变式1：

已知函数

在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

A．

B．

C．

D．

变式2：

若函数

的最大值为M，最小值为m，则M+m的值等于________．

变式3：

已知函数

在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．

5．奇偶性

已知函数

是定义在R上的奇函数，当

≥0时，

．画出函数

的图像，并求出函数的解析式．

变式1：

若函数

是偶函数，则在区间

上

是

A．增函数B．减函数C．常数D．可能是增函数，也可能是常数

变式2：

若函数

是偶函数，则点

的坐标是________．

变式3：

设

为实数，函数

，

．

（

）讨论

的奇偶性；（

）求

的最小值．

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

已知

．

（1）画出函数的图象；

（2）求函数的单调区间；（3）求函数的最大值和最小值．

变式1：

指出函数

的单调区间．

变式2：

已知函数

．

给下列命题：

①

必是偶函数；

②当

时，

的图像必关于直线x=1对称；

③若

，则

在区间[a，＋∞

上是增函数；

④

有最大值

．

　　其中正确的序号是________．③

变式3：

设函数

给出下列4个命题：

①当c=0时，

是奇函数；

②当b=0，c>0时，方程

只有一个实根；

③

的图象关于点（0，c）对称；

④方程

至多有两个实根．

上述命题中正确的序号为．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

求二次函数

在下列定义域上的值域：

（1）定义域为

；

（2）定义域为

．

变式1：

函数

的值域是

A．

B．

C．

D．

变式2：

函数y=cos2x+sinx的值域是__________．

变式3：

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a、b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1－x），且方程f（x）=x有等根．

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在实数m、n（m

存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

当

具有什么关系时，二次函数

的函数值恒大于零？

恒小于零？

变式1：

已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）．

（I）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（II）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．

变式2：

已知函数

，若

时，有

恒成立，求

的取值范围．

变式3：

若f（x）=x2+bx+c，不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．

（I）求证：

b+c=－1；

（II）求证：

c≥3；

（III）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

右图是二次函数

的图像，它与x轴交于点

和

，试确定

以及

，

的符号．

变式1：

二次函数

与一次函数

在同一个直角坐标系的图像为

变式2：

直线

与抛物线

中至少有一条相交，则m的取值范围是．

变式3：

对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=ax2+bx+1（a>0）有两个相异的不动点x1、x2．

（

）若x1<1

；

（

）若|x1|<2且|x1－x2|=2，求b的取值范围．

10．（北师大版第52页例3）应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：

销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：

在抛物线

与x轴所围成图形的内接矩形（一边在x轴上）中（如图），求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

变式2：

某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：

利润和投资单位：

万元）

（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：

怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？

其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：

设a为实数，记函数

的最大值为g（a）．

（Ⅰ）求g（a）；（Ⅱ）试求满足

的所有实数a．

二次函数答案

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法

变式1：

解：

由题意可知

，解得

，故选D．

变式2：

解：

由题意可知

，解得b=0，∴

，解得c=2．

变式3：

解：

由题意可设所求二次函数的解析式为

，

展开得

，

∴

，

∴

，即

，解得

．

所以，该二次函数的图像是由

的图像向上平移

单位得到的，它的解析式是

，即

．

2．（北师大版第52页例2）图像特征

变式1：

解：

根据题意可知

，∴

，故选D．

变式2：

解：

∵

，∴抛物线

的对称轴是

，

∴

即

，

∴

，∴

、

、

，

故有

，选C．

变式3：

解：

观察函数图像可得：

1a>0（开口方向）；②c=1（和y轴的交点）；

③

（和x轴的交点）；④

（

）；

⑤

（判别式）；⑥

（对称轴）．

3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

变式1：

解：

函数

图像是开口向上的抛物线，其对称轴是

，

由已知函数在区间

内单调递减可知区间

应在直线

的左侧，

∴

，解得

，故选D．

变式2：

解：

函数

在区间（

1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开口向上，所以其对称轴

或与直线

重合或位于直线

的左侧，即应有

，解得

，

∴

，即

．

变式3：

解：

函数

的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是

，

∵已知函数在

上是单调函数，∴区间

应在直线

的左侧或右侧，

即有

或

，解得

或

．

4．（人教A版第43页B组第1题）最值

变式1：

解：

作出函数

的图像，

开口向上，对称轴上x=1，顶点是（1，2），和y轴的交点是（0，3），

∴m的取值范围是

，故选C．

变式2：

解：

函数有意义，应有

，解得

，

∴

⇒

⇒

，

∴M=6，m=0，故M+m=6．

变式3：

解：

函数

的表达式可化为

．

①当

，即

时，

有最小值

，依题意应有

，解得

，这个值与

相矛盾．

②当

，即

时，

是最小值，依题意应有

，解得

，又∵

，∴

为所求．

③当

，即

时，

是最小值，

依题意应有

，解得

，又∵

，∴

为所求．

综上所述，

或

．

5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

变式1：

解：

函数

是偶函数⇒

⇒

，

当

时，

是常数；当

时，

，在区间

上

是增函数，故选D．

变式2：

解：

根据题意可知应有

且

，即

且

，∴点

的坐标是

．

变式3：

解：

（

）当

时，函数

，此时，

为偶函数；

当

时，

，

，

，

，此时

既不是奇函数，也不是偶函数．

（

）（

）当

时，

，

若

，则函数

在

上单调递减，从而函数

在

上的最小值为

．

若

，则函数

在

上的最小值为

，且

．

（

）当

时，函数

，

若

，则函数

在

上的最小值为

，且

，

若

，则函数

在

上单调递增，从而函数

在

上的最小值为

．

综上，当

时，函数

的最小值为

；

当

时，函数

的最小值为

；

当

时，函数

的最小值为

．

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

变式1：

解：

函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．

当

时，

，

当

时，

．

作出函数图像，由图像可得单调区间．

在

和

上，函数是增函数；在

和

上，函数是减函数．

变式2：

解：

若

则

，显然不是偶函数，所以①是不正确的；

若

则

，满足

，但

的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；

若

，则

，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是

，∴

在区间[a，＋∞

上是增函数，即③是正确的；

显然函数

没有最大值，所以④是不正确的．

变式3：

解：

，

（1）当c=0时，

，满足

，是奇函数，所以①是正确的；

（2）当b=0，c>0时，

，

方程

即

或

，

显然方程

无解；方程

的唯一解是

，所以②是正确的；

（3）设

是函数

图像上的任一点，应有

，

而该点关于（0，c）对称的点是

，代入检验

即

，也即

，所以

也是函数

图像上的点，所以③是正确的；

（4）若

，则

，显然方程

有三个根，所以④是不正确的．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

变式1：

解：

作出函数

的图象，容易发现在

上是增函数，在

上是减函数，求出

，

，

，注意到函数定义不包含

，所以函数值域是

．

变式2：

解：

∵y=cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t=sinx∈[－1,1]，

则y=－2t2+t+1