专题12人教版八年级数学上册全等三角形章末重难点题型.docx

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专题12人教版八年级数学上册全等三角形章末重难点题型

专题1.2全等三角形章末重难点题型

【人教版】

【考点1全等形的概念】

【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.

【例1】（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【变式1-1】（2020春•山亭区期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）

A．③和④B．②和③C．①和③D．①②

【变式1-2】（2020秋•苏州期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　）

A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④

【变式1-3】（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．

【考点2全等形的应用（网格图中求角度）】

【方法点拨】解决此类问题要善于找出网格图中的全等形，利用角度之间的等量代换即可求解。

【例2】（2020春•平阴县期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）

A．150°B．180°C．210°D．225°

【变式2-1】（2020春•玉门市期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1﹣∠2+∠3＝　　．

【变式2-2】（2019秋•江汉区期末）如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　　．

【变式2-3】（2019秋•莆田期末）如图，在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝　　．

【考点3全等三角形的性质（线段的和差）】

【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.

【例3】（2020春•万州区期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（　　）

A．12B．7C．2D．14

【变式3-1】（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2B．3C．5D．7

【变式3-2】（2019秋•邳州市期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）

A．4B．5C．6D．7

【变式3-3】（2019秋•拱墅区校级期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（　　）

A．3B．4C．1或3D．3或5

【考点4全等三角形的性质（角的计算）】

【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解.

【例4】（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（　　）

A．20°B．30°C．40°D．50°

【变式4-1】（2020春•南岗区校级期中）如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（　　）

A．40°B．50°C．55°D．60°

【变式4-2】（2019秋•洛阳期中）如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（　　）

A．54°B．63°C．64°D．68°

【变式4-3】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为　　．

【考点5判断全等三角形的对数】

【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．

【例5】（2019秋•海港区期末）如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

【变式5-1】（2020春•高新区期末）如图，在AB、AC上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（　　）

A．5对B．6对C．7对D．8对

【变式5-2】（2020春•碑林区校级期末）如图，已知A、B、C、D四点共线，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，则图中全等三角形有（　　）

A．4对B．6对C．8对D．10对

【变式5-3】（2020春•碑林区校级期末）如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（　　）对全等三角形．

A．5B．6C．7D．8

【考点6网格中全等三角形个数问题】

【方法点拨】认真观察图形，利用SSS判断即可．

【例6】（2019秋•沙河口区期末）如图，在4×4方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【变式6-1】（2020春•太仓市期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF全等（重合的除外）的三角形个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式6-2】（2019秋•睢宁县校级月考）如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（　　）个．

A．9B．10C．11D．12

【变式6-3】（2020秋•南充期中）如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC）共有（　　）个．

A．4B．16C．23D．24

【考点7全等三角形的判定（选择条件）】

【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【例7】（2020春•常熟市期末）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠BB．AC＝BDC．∠ADE＝∠BCED．AD＝BC

【变式7-1】（2020春•崇川区期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DC

C．∠B＝∠E，∠A＝∠DD．BC＝DC，∠A＝∠D

【变式7-2】（2020春•竞秀区校级期末）如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：

①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（　　）

A．①③B．①②C．①②③D．①②③④

【变式7-3】（2020春•金牛区期末）如图，已知：

在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（　　）组．

A．4B．3C．2D．1

【考点8全等三角形的判定（判定依据）】

【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【例8】（2019秋•广安期末）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（　　）

A．SSSB．SASC．AASD．HL

【变式8-1】（2019秋•江津区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：

如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSSB．SASC．ASAD．AAS

【变式8-2】（2019秋•西宁期末）如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（　　）

A．SSSB．SASC．AASD．HL

【变式8-3】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（　　）

A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了

C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可

【考点9全等三角形的判定与性质（基础证明）】

【方法点拨】全等三角形的判定：

全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

【例9】（2020春•工业园区期末）已知：

如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：

BE＝DE．

【变式9-1】（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：

CB＝CD．

【变式9-2】（2020春•雨花区期末）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．

（1）求证：

△ABH≌△DEG；

（2）求证：

CE＝FB．

【变式9-3】（2020春•历下区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：

∠ABE＝∠ACE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G．求证：

EF＝EG．

【考点10全等三角形的判定与性质（推理论证）】

【例10】（2020春•高明区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：

①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（　　）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

【变式10-1】（2019秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：

①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）　　．

【变式10-2】（2020春•平阴县期末）如图，EB交AC于点M，交C于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：

①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正确的结论有　　．（填序号）

【变式10-3】（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　　．（填写正确的序号）

①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．

【考点11全等三角形的判定与性质（动点问题）】

【例11】（2019春•平阴县期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

（1）用含t的式子表示PC的长为　　；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；

（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？

【变式11-1】（2019秋•德惠市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：

（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；

（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．

【变式11-2】（2019秋•花都区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图

（1），当t＝　

或

　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；

（2）如图

（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．

【变式11-3】（2019秋•内乡县期末）如图

（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

【考点12全等三角形的判定与性质（添辅助线）】

【例12】（2020•黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：

CD＝2BF+DE．

【变式12-1】（2020春•青羊区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═

∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．

（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：

EF＝BE+CF．

（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：

CF＝BF+2BE．

【变式12-2】（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．

（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；

（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

【变式12-3】（2019春•成都期末）已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC．

（1）如图1，连接BD，若∠ABD＝∠CBD，则AB与AD有什么位置关系，请说明理由？

（2）如图2，若P，Q两点分别在线段AD，DC上，且满足PQ＝AP+CQ，请猜想∠PBQ与∠ABP+∠QBC是否相等，并说明理由．

（3）如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，且仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并加以说明．

【考点13角平分线的性质】

【方法点拨】角平分线的性质：

角平分线上的点到角两边的距离相等，解决此类问题的关键在于作垂线.

【例13】（2019秋•大名县期中）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝　　cm．

【变式13-1】（2019秋•永嘉县校级期中）如图，AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD＝8，则点C到AE，BF的距离之和为　　．

【变式13-2】（2019秋•长沙月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝24，BC＝12，则DE等于（　　）

A．10B．7C．5D．4

【变式13-3】（2020春•碑林区校级期末）如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）

A．64B．48C．32D．42

【考点14角平分线的性质与判定综合】

【方法点拨】掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解决此类问题的关键.

【例14】（2020秋•兴隆县期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）

A．70°B．120°C．125°D．130°

【变式14-1】（2019春•福田区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（　　）

①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°

③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝AC

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式14-2】（2020春•龙岗区期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：

①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

【变式14-3】（2020秋•渑池县期末）

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为　　；

（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．

（1）中的结论是否仍然成立？

若不成立，试说明理由；若成立，请证明．

【考点15角平分线的性质与全等综合】

【例15】（2019秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．

【变式15-1】（2019秋•东湖区校级期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E点，∠ADC+∠B＝180°．

（1）求证：

BC＝CD；

（2）2AE＝AB+AD．

【变式15-2】（2020春•薛城区期中）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝4，G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F交AC的延长线于F．

（1）求证：

BE＝CF；

（2）求AE的长．

【变式15-3】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，BC＝CD．有下列结论：

①∠ABC+∠ADC＝180°；②∠CBD＝∠CAB；③AB+AD＝2AE；④AD﹣AB＝2DE．其中正确结论的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【考点16角平分线与截长补短】

【例16】（2020秋•郾城区期末）在数学课外活动中，某学习小组在讨论“导学案”上的一个问题：

如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，探求FE与FD之间的数量关系，并证明．

同学甲说：

要作辅助线；

同学乙说：

要应用角平分线性质来解决；

同学丙说：

要应用全等三角形的判定和性质来解决．

如果你是这个学习小组的成员，请你结合同学们的讨论写出证明过程．

【变式16-1】（2019秋•江阴市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，

（1）求∠AOE的度数；

（2）试说明：

AC＝AE+CD．

【变式16-2】（2019秋•黄陂区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA．

（1）求证：

AE⊥BE：

（2）求证：

AB＝AD+BC；

（3）若AE＝4，BE＝6，则四边形ABCD的面积为　　（直接写出结果）．

【变式16-3】（2019秋•洪山区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．

（1）如图，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是　　

（2）问题解决：

如图，求证AD＝CD；

（3）问题拓展：

如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：

BD+AD＝BC．

专题1.2全等三角形章末重难点题型

【人教版】

【考点1全等形的概念】

【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.

【例1】（2019秋•新乐市期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．

【答案】解：

如图所示：

图形分割成两个全等的图形，

．

故选：

B．

【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．

【变式1-1】（2020春•山亭区期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（　　）

A．③和④B．②和③C．①和③D．①②

【分析】根据全等形的概念：

能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．

【答案】解：

①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．

故选：

D．

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．

【变式1-2】（2020秋•苏州期末）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　）

A．①和②B．①和③C．②和④D．③和④

【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．

【答案】解：

全等的两个图形是①和③，

故选：

B．

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．

【变式1-3】（2019秋•孝义市校级月考）如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．

【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．

【答案】解：

如图所示：

．

【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．

【考点2全等形的应用（网格图中求角度）】

【方法点拨】解决此类问题要善于找出网格图中的全等形，利用角度之间的等量代换即可求解。

【例2