415图形的分割与拼接题库教师版.docx

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415图形的分割与拼接题库教师版

例题精讲

本讲主要学习三大图形处理方法：

1．理解掌握图形的分割；

2．理解掌握图形的拼合；

3．理解图形的剪拼．

本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．

把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．

反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．

将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．

我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．

如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．

图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．

如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．

如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．

板块一图形的分割

【例1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？

【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？

这就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能力．

这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这点给出如下分法（如右图）：

⑴做长方形的两条对角线，设交点为

⑵过

点任作一条直线

，直线

将长方形平均分割成两块．

可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．

【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．

【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．

【例2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．

【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法．又因为

，所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1，那么

就可以视为把三角形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而

可以视为先把原三角形分成两等份，再把每一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法．

【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．

【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．

【例3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．

→

【解析】⑴分成8块的方法是：

先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，

然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．

⑵分成9块的方法是：

先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图形．

【例4】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．

【解析】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，

边长正好为3，所以

边分成两段，找到

的三等分点

，现在，

，

，

，所以还要找到

的中点

，连接

，就把梯形

分成完全相同的两部分．如右上图．

【例5】在一块长方形的地里有一形的水池（如下图）．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．

【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和形水池的中心A．过O、A画一条直线，这条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块（如右上图）．

【例6】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪形外，你还有别的方法吗？

【解析】先把图形分成

相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．

【例7】下图是一个

的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．

【解析】分成的两块每块有

（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．

【巩固】右图是一个

的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．

【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有

（个）小格，所以分成的两块每块有

（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进．（建议教师同时呈现六幅空的

格图，不同的变化在不同的图上同时呈现）如下图：

【例8】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小形的大形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．

【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份．考虑先把阴影部分分成12个小形再分成四份，这样每份正好有3个小形．再看形状，三个小形只能排成“－”形或者“∟”形．答案如下图．

【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小形的大形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？

【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案．答案如右上图．

【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？

【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图．

【例9】下图是由五个形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？

【解析】如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多形．我们把每个形各分成四个面积相等的小形，分成的每块图形应有五个这样的小形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如右上图的分法．也可以将中间的形分成四个小形，如右上图．

【例10】已知左下图是由同样大小的5个形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．

【解析】已知图形是由同样大小的5个形组成的，要分成4块同样大小的图形，则每块图形是

个形．由此想到，若把每个形都分成4等份，则分割成的每一块中应包含5份．再稍经试验，即得右上图的解（图部的实线为分割线）．

【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？

作出分出的小图形．

【解析】总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小形，根据平均一个小图形的格数作图，如右图．

【例11】下图是由18个小形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．

【解析】通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小形组成，三个形有两种形式：

与

，

通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个

，再由6结合染色法，如下图．

【例12】一个正三角形形状的土地上有四棵大树（如下图所示），现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？

【解析】由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示．

【总结】本题若死守三角形面积等于底

高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．

【例13】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．

【解析】图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：

（块），而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是

，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右下图的三部分．

【例14】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？

【解析】图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是

的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如下图所示．

答案不唯一．

【例15】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛）请把下面的图形分成形状、大小都相同的

块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”

个字．

【解析】如下图所示：

答案不唯一．

【例16】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？

【解析】看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小形组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的围．根据原题中各个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角

的形重叠，其中“考”字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉．现在，再固定某一角上的一个小形，按其中的字来考虑．如固定右上角写有“考”的小形来分析，只有下列4种可能出现的情况：

【例17】如下图所示，请将这个形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．

→

图1图2

【解析】图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开（图1），因此，首先要在它们之间划出切分线．因为要将这个形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转

必定与另一块重合．要是把切分线也绕中心点旋转180°就可得到一些新的切分线（图2）．这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示．

【巩固】如下图所示的形是由36个小格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使