（2）当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；
（3）当a>c时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1（a>0，b>0）
－＝1（a>0，b>0）
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：
坐标轴 对称中心：
原点
顶点
A1（－a,0），A2（a,0）
A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈（1，＋∞），其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）
1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）平面内到点F1（0,4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．（ × ）
（2）方程－＝1（mn>0）表示焦点在x轴上的双曲线．（ × ）
（3）双曲线方程－＝λ（m>0，n>0，λ≠0）的渐近线方程是－＝0，即±＝0.（ √ ）
（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.（ √ ）
（5）若双曲线－＝1（a>0，b>0）与－＝1（a>0，b>0）的离心率分别是e1，e2，则＋＝1（此结论中两条双曲线为共轭双曲线）．（ √ ）
2．若双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A.B．5C.D．2
答案 A
解析 焦点（c,0）到渐近线y＝x的距离为＝2a，解得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.
3．（2013·福建）双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 双曲线的顶点（2,0）到渐近线y＝±x的距离d＝＝.
4．（2012·天津）已知双曲线C1：
－＝1（a>0，b>0）与双曲线C2：
－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0），则a＝________，b＝________.
答案 1 2
解析 与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，即－＝1.
由题意知c＝，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝，则a2＝1，b2＝4.又a>0，b>0，故a＝1，b＝2.
5．（2012·辽宁）已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
答案 2
解析 设P在双曲线的右支上，|PF2|＝x（x>0），|PF1|＝2＋x，因为PF1⊥PF2，所以（x＋2）2＋x2＝（2c）2＝8，
所以x＝－1，x＋2＝＋1，
所以|PF2|＋|PF1|＝2.
题型一 双曲线的定义及标准方程
例1
（1）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
（2）与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M（2，－2）的双曲线方程为__________．
（3）已知圆C1：
（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：
（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
思维启迪 设双曲线方程为－＝1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c；根据双曲线的定义求轨迹方程．
答案
（1）－＝1
（2）－＝1
（3）x2－＝1（x≤－1）
解析
（1）椭圆＋＝1的焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），离心率为e＝.由于双曲线－＝1与椭圆＋＝1有相同的焦点，因此a2＋b2＝7.
又双曲线的离心率e＝＝，所以＝，
所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，
故双曲线的方程为－＝1.
（2）设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点（2，－2）代入得k＝－（－2）2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
（3）
如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小），
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）．
思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法．待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ（λ≠0），再由条件求出λ的值即可．利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支．
（1）（2012·湖南）已知双曲线C：
－＝1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
（2）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
答案
（1）A
（2）A
解析
（1）根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵－＝1的焦距为10，
∴c＝5＝.①
又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P（2,1）在渐近线上，
∴＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2，b＝，
则C的方程为－＝1，
故应选A.
（2）由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1（－5,0），F2（5,0），
设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知：
a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
题型二 双曲线的几何性质
例2
（1）（2013·浙江）如图，F1，
F2是椭圆C1：
＋y2＝1与双曲线C2
的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若
四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（ ）
A.B.C.D.
（2）若点O和点F（－2,0）分别为双曲线－y2＝1（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为（ ）
A．[3－2，＋∞）B．[3＋2，＋∞）
C．[－，＋∞）D．[，＋∞）
思维启迪
（1）求圆锥曲线的离心率e，可以求出a，c的关系式，进而求出e.
（2）在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x，y的取值范围．
答案
（1）D
（2）B
解析
（1）|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.
∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，
∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.
在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
即（2－a）2＋（2＋a）2＝
（2）2，
∴a＝，∴e＝＝＝.故选D.
（2）由条件知a2＋1＝22＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1，
设P点坐标为（x，y），则＝（x，y），＝（x＋2，y），
∵y2＝－1，
∴·＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋－1
＝x2＋2x－1＝（x＋）2－.
又∵x≥（P为右支上任意一点），
∴·≥3＋2.故选B.
思维升华 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题．
（1）（2013·课标全国Ⅰ）已知双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±xB．y＝±x
C．y＝±xD．y＝±x
（2）过双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为（ ）
A.B.C．2D.
答案
（1）C
（2）C
解析
（1）由e＝＝知，a＝2k，c＝k（k∈R＋），
由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.所以＝.
即渐近线方程为y＝±x.故选C.
（2）
如图，∵＝2，
∴A为线段BF的中点，
∴∠2＝∠3.
又∠1＝∠2，∴∠2＝60°，
∴＝tan60°＝，
∴e2＝1＋（）2＝4，∴e＝2.
题型三 直线与双曲线的位置关系
例3
已知双曲线C：
x2－y2＝1及直线l：
y＝kx－1.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解．
解
（1）双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程组有两个不同的实数根，
整理得（1－k2）x2＋2kx－2＝0.
∴
解得－双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是（－，－1）∪（－1,1）∪（1，）．
（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），
直线l与y轴交于点D（0，－1），
由
（1）知，C与l联立的方程为（1－k2）x2＋2kx－2＝0.
∴
当A，B在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时，
S△OAB＝S△OAD－S△OBD＝（|x1|－|x2|）＝|x1－x2|；
当A，B在双曲线的两支上且x1>x2时，
S△OAB＝S△ODA＋S△OBD＝（|x1|＋|x2|）＝|x1－x2|.
∴S△OAB＝|x1－x2|＝，∴（x1－x2）2＝
（2）2，
即（）2＋＝8，解得k＝0或k＝±.
又∵－∴当k＝0或k＝±时，△AOB的面积为.
思维升华
（1）研究直线与双曲线位置关系问题的通法：
将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
（2）用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0），实轴长为2.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：
y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，m），求m的取值范围．
解
（1）设双曲线C的方程为－＝1（a>0，b>0）．
由已知得：
a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
∴双曲线C的方程为－y2＝1.
（2）设A（xA，yA）、B（xB，yB），
将y＝kx＋代入－y2＝1，
得，（1－3k2）x2－6kx－9＝0.
由题意知解得∴当（3）由
（2）得：
xA＋xB＝，
∴yA＋yB＝（kxA＋）＋（kxB＋）
＝k（xA＋xB）＋2＝.
∴AB的中点P的坐标为（，）．
设直线l0的方程为y＝－x＋m，
将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.
∵∴m<－2.∴m的取值范围为（－∞，－2）．
忽视“判别式”致误
典例：
（12分）已知双曲线x2－＝1，过点P（1,1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误．
规范解答
解 设点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为（x0，y0），
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意．[2分]
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k（x－1），
即y＝kx＋1－k.[3分]
由
得（2－k2）x2－2k（1－k）x－（1－k）2－2＝0（2－k2≠0）．① [6分]
∴x0＝＝.
由题意，得＝1，解得k＝2.[8分]
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0.
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．[11分]
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P（1,1）是线段AB的中点．[12分]
温馨提醒
（1）本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．
（2）本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．
（3）求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．
方法与技巧
1．与双曲线－＝1（a>0，b>0）有公共渐近线的双曲线的方程可设为－＝t（t≠0）．
2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线－＝1（a>0，b>0）的两条渐近线方程．
失误与防范
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率e∈（1，＋∞），而椭圆的离心率e∈（0,1）．
3．双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝±x，－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程是y＝±x.
4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：
当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
A组 专项基础训练
（时间：
40分钟）
一、选择题
1．（2013·北京）若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y＝±x
C．y＝±xD．y＝±x
答案 B
解析 由e＝，知c＝a，得b＝a.
∴渐近线方程为y＝±x，y＝±x.
2．（2013·湖北）已知0<θ<，则双曲线C1：
－＝1与C2：
－＝1的（ ）
A．实轴长相等
B．虚轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
答案 D
解析 双曲线C1、C2的焦距均为sin2θ＋cos2θ＝1.
3．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）
A.B.
C．2D．3
答案 B
解析 设双曲线的标准方程为－＝1（a>0，b>0），
由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，
代入－＝1得y2＝b2（－1）＝，
∴y＝±，故|AB|＝，
依题意＝4a，∴＝2，
∴＝e2－1＝2，∴e＝.
4．以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是
（ ）
A．x2＋y2－10x＋9＝0B．x2＋y2－10x－9＝0
C．x2＋y2＋10x＋9＝0D．x2＋y2＋10x－9＝0
答案 A
解析 由于右焦点（5,0）到渐近线4x－3y＝0的距离d＝＝4，
所以所求的圆是圆心坐标为（5,0），半径为4的圆．即圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.
5．已知点F是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（1,2）
C．（1,1＋）D．（2,1＋）
答案 B
解析 由题意易知，F（－c,0），A（－c，），B（－c，－），E（a,0），
因为△ABE是锐角三角形，所以·>0，
即·＝（－c－a，）·（－c－a，－）>0，
整理得3e2＋2e>e4，∴e（e3－3e－3＋1）<0，
∴e（e＋1）2（e－2）<0，解得e∈（0,2），又e>1，
∴e∈（1,2），故选B.
二、填空题
6．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点M（4，），则双曲线的方程为________．
答案 －y2＝1
解析 ∵双曲线过点M（4，），M在y＝下方，
∴双曲线焦点在x轴上，
设双曲线方程为－＝1，又＝，
因此设a＝2k，b＝k（k>0），∴－＝1，
代入M（4，）解得k＝1，a＝2，b＝1，
∴方程为－y2＝1.
7．已知双曲线－＝1的离心率是，则n＝________.
答案 4
解析 根据双曲线方程得n（12－n）>0，∴0∴a2＝n，b2＝12－n，c2＝a2＋b2＝12，
则双曲线的离心率e＝＝＝，∴n＝4.
8．（2013·湖南）设F1，F2是双曲线C：
－＝1（a>0，b>0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 不妨设|PF1|>|PF2|，
则|PF1|－|PF2|＝2a，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
又在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，
由正弦定理得，∠PF2F1＝90°，∴|F1F2|＝2a，
∴双曲线C的离心率e＝＝.
三、解答题
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
点M在以F1F2为直径的圆上；
（3）在
（2）的条件下求△F1MF2的面积．
（1）解 ∵离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，
可设其方程为x2－y2＝λ（λ≠0），
则由点（4，－）在双曲线上，
可得λ＝42－（－）2＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
（2）证明 ∵点M（3，m）在双曲线上，
∴32－m2＝6，∴m2＝3，
又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1（－2，0），F2（2，0），
∴·＝（－2－3，－m）·（2－3，－m）
＝（－3）2－
（2）2＋m2＝9－12＋3＝0，
∴MF1⊥MF2，∴点M在以F1F2为直径的圆上．
（3）解 S△F1MF2＝×4×|m|＝6.
10．直线l：
y＝kx＋1与双曲线C：
2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？
若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
解
（1）将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程
2x2－y2＝1后，整理得（k2－2）x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故
解得k的取值范围是－2（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）．
则由FA⊥FB得：
（x1－c）（x2－c）＋y1y2＝0.
即（x1－c）（x2－c）＋（kx1＋1）（kx2＋1）＝0.
整理得（k2＋1）x1x2＋（k－c）（x1＋x2）＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝∉（－2，－）（舍去），
可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
B组 专项能力提升
（时间：
30分钟）
1．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析
设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），如图所示，双曲
线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，
∴·（－）＝－1，
整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝（舍去），故选D.
2．（2013·重庆）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y轴）对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan30°<≤tan60°，∴<≤3.又e2＝（）2＝＝1＋，∴3．已知F1，F2是双曲线－＝1（a>0，b>0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．4＋2B.－1C.D.＋1
答案 D
解析 因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，
△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1，故选D.
4．（2013·辽宁）已知F为双曲线C：
－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5,0）在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
答案 44
解析 由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，
∴点A（5,0）是双曲线C的右焦点，
且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，
由双曲线定义，得|PF|－|P
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