波动方程偏移中的成像条件研究进展.docx

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波动方程偏移中的成像条件研究进展

波动方程偏移中的成像条件研究进展

论文提要

基于波动方程的叠前深度偏移由于其对速度剧烈变化的强适应性而受到重视，成像条件在波动方程偏移中起着非常重要的作用。

分别从成像条件计算稳定性的提高、成像条件在角度域共成像点道集提取中的应用以及其在改善成像效果和提高计算效率3个方面进行了系统的阐述，并介绍了成像条件研究的最近进展以及具体的应用效果，理论模型的处理效果表明了其有效性和实用性。

最后分析了当前阶段主要存在的问题以及将来的发展方向。

正文

在介质的速度参数已知的条件下，确定反射图像的任务就是求反射点的空间位置及其反射系数。

传统的叠前深度偏移方法无法求出确切的反射系数值，成像的反射系数实际上是用能反映该反射点反射系数相对值的反射波振幅来表示的。

因此，传播归位到产生它的反射点上，能做到这一点就是实现了成像。

为了实现地震偏移成像，首先要进行上行波场的反向外推。

因此，在波动方程叠前深度偏移过程中，成像和延拓是同等重要的两个主要部分。

波场的延拓主要通过宏观模型来实现，并且不同类型的偏移算子运用不同类型大地算法。

如果延拓方法准确而成像做得不恰当，也可能产生不好的成像效果。

通常情况下的成像条件是延拓后的震源波场和接收记录波场做互相关，这种互相关成像条件的效率高、计算稳定，但不具备保幅偏移必须基于反褶积的成像条件才能达到保幅的目的，但是这种反褶积条件存在明显的缺陷，就是当分母项很小时，会出现计算不稳定现象，严重地影响了成像质量。

为了消除这种不稳定现象，许多学者进行了大量的研究：

2003年，Valenciano等提出了二维反褶积型成像条件，他们在分母项中加入了一个随具体情况变化的阻尼因子来提高稳定性，不过这种方法由于阻尼因子的选取使得应用比较复杂；2006年，Guitton等为改善成像条件的稳定性，提出了应用平滑窗函数对反褶积成像条件中的分母项进行平滑，消除了奇异值，提高了计算的稳定性；2007年，Schleicher对各种成像条件的方法进行了对比分析，并对影响因素进行了一系列的讨论。

近年来，针对角度域的研究备受重视，一些学者已经研究了几种角度域共成像点道集的求取方法。

成像条件存在空变和时变两个方向上的变化。

2003年，Sava等通过成像条件的空变得到了局部角度域的共成像点道集，可以通过单平方根或双平方根的波动方程波场延拓来获取这种道集。

时变成像条件也称时移型成像条件，由于其在抽取共成像点道集的高效性方面有优势，所以最近几年有了较多的研究。

时移成像条件是通过在成像条件中加入时移扰动，并将这种扰动和波场局部入射角度和反射角度建立一定的关系来得到共成像点道集。

2006年，Sava等从理论上推导了通过时移成像条件来求取角度域共成像点道集的可行性，并将之推广到了转换波中。

成像条件的改进能提高计算效率、提高成像质量。

2007年，Ng等应用时移成像条件求取成像值来代替传统的内差，在成倍提高计算效率的同时，得到了较好的成像效果。

Sava在成像条件中，引入了限制性条件，也就是在互相关过程中，加入了由局部构造确定的参数，通过约束成像条件消除一些相关干扰对成像的影响。

总体来说，当前阶段，成像条件主要有3个方面进展：

①自身稳定性的提高以及优化；②在成像条件中进行空变和时移来进行角度域的分解，得到角度域共成像点道集，用于速度分析和角度域叠加；③加入多参数来约束相关成像条件，压制相关干扰，改善成像质量，提高计算效率。

1在成像条件稳定性方面的改进

1.1传统成像条件及其缺陷

传统构造成像中应用的相关成像条件忽略了公式中的分母实数项，因此它只能保证正确的相位（式（la））。

这种成像条件不能用于保幅偏移。

动力学的保幅成像条件如式（1b）所示，很明显，当分母项趋于零的时候，成像值出现不稳定现象。

虽然加入阻尼因子σ（式（lc））一定程度上会减少这种不稳定性，但是阻尼值的选取和它给成像带来的噪声都影响了成像效果。

1.2稳定性改进的成像条件

成像条件的改进主要是通过对反褶积成像条件中的分母项进行平滑来消除奇异值的影响，平滑窗的类型和长度在此过程中起着重要作用。

1.2.1平滑窗

平滑过程中可以被看作是一个褶积过程。

对一维函数f（x）的平滑可以表示为

一个平滑算子的核函数具有正态性、非负性、单调性和频谱单调收敛。

平滑算子比较多，一般都是基于它所应用的窗函数来命名，如矩形窗平滑算子、三角窗平滑算子和Gaussian窗平滑算子等。

下面主要介绍应用效果比较好的Gaussian窗平滑算子，平滑算子的核函数为

1.2.2应用平滑窗函数的成像条件

每延拓至某一深度层时，对于一个特定的频率w，将Us（x,z,w）Us*（x,z,w）看作是横向位置x的函数，以Gaussian窗中点处为中点，在窗宽α范围内，对该点处的值进行平滑处理。

图1a和图1b分别是应用互相关和平滑函数成像条件对BP模型进行的叠前深度偏移结果。

从图中可以明显看到，在8km以下的弱照明区域，应用平滑函数成像条件成像效果得到了明显的改善。

2空变和时移成像条件在角度域共成像点道集提取中的应用

2.1空变成像条件在角度域共成像点道集提取中的应用

角度域共成像点道集越来越多地被应用到速度分析方面。

2002年，Rickett等首先引入空变成像条件得到了角度域的共成像点道集。

将传统的成像条件改写为与局部偏移距和入射反射角度有关的成像条件，即

式中：

m是中心点；h是半炮检距。

通过一系列复杂的公式推导可以得到局部角度与半偏移距波数的关系

式中：

γ是局部入射角；kh和kz分别为炮检距波数与垂直波数。

在波动方程偏移中，随着波动方程波场延拓，地面波场逐步向地下成像点移动，相应的成像空间偏移距（称为局部偏移距）也在逐步减小。

当波场延拓到成像点附近时，局部偏移距也分布在成像点附近很小的范围之内，在该范围内，可以认为是常速的。

具体几何关系如图2所示，基于式（6）成像条件得到成像点处不同偏移距的成像贡献值，应用式（7）的对应关系，通过倾斜叠加或映射插值的方法得到角度域的共成像点道集。

Rickett等应用该成像条件对Marmousi模型进行了角度域共成像点道集的提取，并证实了其对速度误差的敏感影响。

图3是应用空变成像条件，在同一位置处用不同速度场得到的偏移距域共成像点道集。

图4是由图3所示的偏移距道集转换的角度域共成像点道集。

由图可见，随着速度的增大或减小，角度域共成像点道集都有不同程度的上弯和下翘。

我们可以通过这种变化，来进行角度域的速度分析。

图3同一位置处用不同速度得到的偏移距域共成像点道集

a真实速度；b速度高于真实速度；c速度低于真实速度

2.2时移成像条件在角度域共成像点道集提取方面的应用

对应于空变成像条件，Sava等引入了时移成像条件来抽取共成像点道集。

将传统的成像条件进行一定的时移，有

式中：

τ是震源和记录波场的时移量。

该成像条件可以在频率域通过时移完成。

局部角度和局部速度之间存在的关系为

式中：

s为局部位置的慢度值；pm是成像点位置方向上的射线参数。

通过式（9）所建立的对应关系可以得到时移成像条件下的角度域共成像点道集。

Sava等基于Sigsbee2A模型进行了试算分析。

图5是在x=7km位置处的角道集提取过程，图5a是该位置处由炮域偏移得到的共成像点道集，图5b是应用时移成像条件得到的时移道集，图5c是倾斜叠加后的时移道集，图5d是最后得到的角度域共成像点道集。

图4图3所示的偏移距域共成像点道集转换的角度域共成像点道集

a正确速度；b速度高于真实速度；c速度低于真实速度

图5时移角度域共成像点道集的求取

ax=7km位置处的成像结果；b时移道集；c倾斜叠加后的时移道集；d角度域共成像点道集

3成像条件在改善成像质量和提高效率方面的进展

3.1改善成像质量方面

传统的互相关成像条件基于Claerbout的反射波成像原则，即：

反射面上的点，其入射波的初至与反射波的产生时间相同。

这样做的缺陷是忽视了反射同相轴的局部空间相干性，完全依赖了反射波传播时间，这就使得一些本身不相干的同相轴也进行了叠加增强，使得干扰波增多。

为解决这个问题，有种想法是修改成像条件，通过多个参数来约束震源波场和记录波场。

2007年，基于“立体成像”的概念，Sava提出了一种新的立体成像条件，将波场分解为时间和斜率的函数，将震源和记录波场写为

式中：

p是局部位置的斜率函数（通过局部扫描得到）。

基于这样的分解，成像条件可以改写为

图6是对一单层模型应用不同的成像条件得到的叠前深度偏移结果。

可以明显看出应用立体成像条件（图6b）得到的结果干扰噪声要明显少于传统成像条件得到的偏移结果（图6a）。

图6应用不同成像条件得到的单层模型偏移结果

a应用传统的互相关成像条件；b应用立体成像条件

3.2提高计算效率方面

通常情况下，在提高波动方程叠前深度偏移计算效率方面，一般考虑在波场延拓过程中减少计算量来提高计算效率。

Ng通过时移成像条件在不失精度的情况下成倍地提高了计算效率。

他的基本思想是应用延拓层上的成像值通过时移成像条件得到未延拓到的层位上的成像值。

延拓层z1上的成像值可以表示为

对该成像值做逆傅里叶变换，得到各个延迟时间上的成像值

未延拓到的层位z上的成像值可以通过式（13）求得，其中

基于时移成像条件来求取大延拓步长间的层位成像值，成像值求取中只是多了一次逆傅里叶变换，对计算时间的影响很小。

该方法在成倍地提高计算效率的同时，能够得到与小步长效果相当的成像结果。

3.3举例

为了验证时移成像方法的正确性和有效性，对Marmousi模型进行了叠前深度偏移测试。

模型的速度场是IFP基于Cuanza盆地的地质构造剖面给出的（图1），单炮记录用二维声波有限差分法模拟，横向497个采样点，纵向750个采样点，速度场水平采样间隔12.5m，最大深度是300m，深度间隔为4m。

数据采样点数是750，采样率是4ms，总采样长度3000ms，总共240炮，每炮96道。

通过单平方根保幅偏移进行成像（图2），可以看出，成像效果比较好，但效率较低。

图1速度场

图2常规保幅偏移结果

为了验证时移成像的精确性，对隔一步偏移的Marmousi模型中间步长进行成像数据的线性内插，成像结果如图3所示。

可以看出一般的线性内插并不能很好地弥补大步长延拓带来的不足（如图椭圆型窗所示）。

图3步长间成像值线性内插结果

我们采用时移成像条件进行成像。

同样对Marmousi模型每隔一步进行延拓成像，中间步长通过时移成像条件进行成像（图4），得到了与每步延拓的保幅深度偏移结果（图2）相当的偏移效果，同时效率提高了近一倍。

图4应用时移成像条件成像结果

4讨论与展望

地震成像可以定义为这样一个反问题：

给定地震记录和一个背景速度，重构地下的反射系数。

如果把反射系数看成一个复函数，由相位和振幅两部分组成。

传统的偏移技术是定性的，只满足于得到地下的反射位置，即相位信息。

当前阶段，解释人员越来越多地需要能够表现一定物理意义的保幅偏移，这就使得成像条件的发展也要满足于这种保幅偏移的需求。

当前阶段，基于单程波的保幅偏移主要需要研究提高反褶积型成像条件的稳定性。

Sava博士进行了一系列通过成像条件的空变和时移来抽取角度域共成像点道集的研究，为角度域的速度分析奠定了基础。

传统成像条件只是通过单参数就是激发时间等于接收时间来确定反射点的成像，这样会不可避免地引入一些相干干扰，今后的研究趋于应用多参数同时进行约束成像条件来减少成像干扰。

成像条件的研究和应用体现在偏移技术的各个方面，并发挥着其应用价值。

但在实际应用中仍存在较多问题，需要研究的进一步深入和方法的进一步改进。

参考文献

1张宇，振幅保真的单程波方程偏移理论［J］，地球物理学报，2006，49（5）：

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2程玖兵，王华忠，马在田，偏移距域/角度域共成像点道集与偏移速度的关系［J］，地球科学——中国地质大学学报，2007，32（4）：

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〔学位论文〕［D］，上海：

同济大学，2003

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2004

5陆基孟，地震勘探原理：

2004