（4）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）.（ ）
【答案】
（1）√
（2）× （3）× （4）×
（4）若f（x）＝x，f（x）在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f（x）的单调递增区间可以是R.
2.函数的最值
1.最大值：
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么，我们称是函数的最大值.
2.最小值：
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
那么，我们称是函数的最小值.
对点练习
【xx·厦门质检】函数f（x）＝
x－log2（x＋2）在区间[－1,1]上的最大值为________．
【答案】3
【解析】由于在R上单调递减，在[－1,1]上递增，所以f（x）在[－1,1]上单调递减，故f（x）在[－1,1]上的最大值为f（－1）＝3.
【考点深度剖析】
函数的单调性与最值是高考考查的重点、热点.常常以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围）、研究函数的最值等，有时与导数综合考查，题型涉及选择题、填空题及解答题多种．
【重点难点突破】
考点1单调性的判定和证明
【1-1】【xx·阜阳模拟】给定函数①，②，③，④.其中在区间（0,1）上单调递减的函数序号是（ ）
A．①② B．②③
C．③④D．①④
【答案】B
（0,1）上递增．故在区间（0,1）上单调递减的函数序号是②③.
【1-2】已知函数，则（）
A.在上单调递增 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递减
【答案】B
【解析】解法一：
，定义域为，且函数在区间及上均为单调递增函数，且，故函数在区间上单调递增，故选B.
解法二：
函数的定义域为，且
在定义域上恒成立，且，因此函数在区间上单调递增，故选B.
【1-3】【xx天津模拟】若函数f（x）满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”，则f（x）的解析式可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
对于D，在（0，＋∞）上单调递增，排除D.
【领悟技法】
1.利用基本初等函数的单调性与图像：
只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；
2.性质法：
（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
（2）函数与函数的单调性相反；
（3）时，函数与的单调性相反（）；
时，函数与的单调性相同（）.
2.导数法：
在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减.
4.定义法：
作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.
【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.
【触类旁通】
【变式一】【xx安徽合肥调研】下列函数中，在区间（0，＋∞）内单调递减的是（ ）
A.y＝
－xB.y＝x2－x
C.y＝lnx－xD.y＝ex－x
【答案】A
【解析】对于A，在（0，＋∞）内是减函数，在（0，＋∞）内是增函数，则在（0，＋∞）内是减函数；B，C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，，而当x∈（0，＋∞）时，y′＞0，所以函数在（0，＋∞）上是增函数.
【变式二】【xx山西孝义二模】函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（）
A．-3B．13C.7D．5
【答案】B
【解析】由题意知函数的对称轴，所以，所以，故选B．
考点2函数的单调区间
【2-1】求函数的单调区间
【答案】单调递增区间为和；单调递减区间为和.
【2-2】的递增区间是（）
A.B.C.D.
【答案】A
是，故选A.
【领悟技法】
1.基本初等函数的单调区间：
函数
图象
参数范围
单调区间或单调性
一次函数
单调递增区间
单调递减区间
二次函数
单调递减区间为
；
单调递增区间为
.
单调递增区间为
；
单调递减区间为
.
反比例函数
单调递减区间为
和
单调递增区间为
和
指数函数
（且）
单调递减区间为
单调递增区间为
对数函数
（且）
单调递减区间为
单调递增区间为
幂函数
在上递减
没有单调性
在上递增
正弦函数
单调递增区间
单调递减区间
余弦函数
单调递减区间
；
单调递增区间
正切函数
单调递增区间
2.图象法：
对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3.复合函数法：
对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.
4.导数法：
不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.
【触类旁通】
【变式一】）函数f（x）＝log
（x2－4）的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞）B.（－∞，0）
C.（2，＋∞）D.（－∞，－2）
【答案】D
上是增函数，即f（x）单调递增区间为（－∞，－2）.
【变式二】函数的单调递增区间为.
【答案】和.
【解析】作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，函数的单调递增区间为和.
考点3利用单调性确定参数取值范围
【3-1】【xx山东济南模拟】若函数f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝（a＋1）1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（－1,0）B．（－1,0）∪（0,1]
C．（0,1）D．（0,1]
【答案】D
【解析】∵
在上是减函数，∴.①
又在上是减函数．
∴，∴.②
由①②知，.
【3-2】【xx浙江“超级全能生”3月联考】已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】B
【3-3】已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围.
【答案】
【解析】函数：
，由复合函数的增减性可知，若在（-2，+∞）为增函数，∴1-2a＜0，
【领悟技法】
1.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数，则；若函数为减函数，则.
2.在比较、、、的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、、、通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.
【触类旁通】
【变式一】【xx浙江金华十校联考】已知函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，若f（a2－a）>f（a＋3），则实数a的取值范围为________．
【答案】（－3，－1）∪（3，＋∞）
【变式二】【xx河北保定一模】已知函数
，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是
A.（1,3）B.C.（2,3）D.
【答案】C
【解析】因为是递增数列,所以
解得
即,故选C.
考点4函数的单调性和最值及其综合应用
【4-1】函数f（x）＝
在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是
，则a＋b＝________.
【答案】6
【解析】易知f（x）在[a，b]上为减函数，
∴
即
∴
∴a＋b＝6.
【4-2】【xx浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【领悟技法】
函数最值的求解方法：
1.单调性法：
考查函数的单调性，确定函数的最值点，便可求出函数相应的最值.
2.图象法：
对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
3.分段函数的最值：
将每段函数的最值求出，比较大小确定函数的最值.
4.导数法：
对于一般的可导函数，可以利用导数求出函数的极值，并与端点值进行大小比较，从而确定函数的最值.
【触类旁通】
【变式一】【xx贵州贵阳检测】定义新运算⊕：
当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1B．1
C．6D．12
【答案】C
【解析】 由已知得当时，，当时，，∵，在定义域内都为增函数，且1－2＝13－2＝－1.∴的最大值为f
（2）＝23－2＝6.
【变式二】【xx北京西城区5月模拟】函数，若存在，使得，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】A
，解得，即则的取值范围是，故答案为.
【易错试题常警惕】
易错典例：
函数的单调递减区间为.
易错分析：
求单调区间时，只顾及到内层二次函数的单调区间，而忽视了函数定义域的重要性.
正确解析：
自变量满足，解得或，
令，，
则内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
而外层函数在上是减函数，
由复合函数单调性可知，函数的单调递减区间为.
【规范解答】 因为f（xy）＝f（x）＋f（y），且f（3）＝1，所以2＝2f（3）＝f（3）＋f（3）＝f（9）.2分
又f（a）>f（a－1）＋2，所以f（a）>f（a－1）＋f（9），再由f（xy）＝f（x）＋f（y），可知f（a）>f（9（a－1））.4分
从而有
8分
解得1.11分
故所求实数a的取值范围为
.12分
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:
"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.
【典例】求出f（x）＝|x2－4x＋3|的单调区间.
【答案】f（x）的增区间为[1,2]，[3，＋∞），减区间为（－∞，1]，[2,3]．
【解析】
[3，＋∞），减区间为（－∞，1]，[2,3]．
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