空间直角坐标系空间向量高考历年真题docx.docx

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【考点25】空间直角坐标系、空间向量

2009年考题

1.（2009安徽高考）在空间直角坐标系中，已知点A（1,0,2）,B（l,・3,1）,点M在y轴上，且M

到A与到B的距离相等，则M的坐标是o

【解析】设M（0,y,0）由『+y2+4=l+（_3-y）2+l可得y=-l故M（0,—l,0）

答案:

（0,-1,0）

2.（2009安徽高考）如图，四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线

AC=2,BD=a/2,AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1,CF=2・

（I）求二面角B-AF-D的大小；

（II）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积.

【解析】（D（综合法〉连结AC、BD交于菱形的中心0,过0作0G丄AF,

G为垂足。

连接BG、DG。

由BD丄AC,BD丄CF得BD丄平面ACF,故BD丄AF。

于是AF丄平面BGD,所以BG丄AF,DG丄AF,ZBGD为二面角B-AF-D的平面角。

FC=AC=2，得FAC――,

4

系（如图〉

半+尸0

2y+2z=0

设平面ABF的法向量斤=（兀,y,z）,则由~°得＜

I•AF=0

2”，斤=（_Q_1,1）

y=T

同理，可求得平面ADF的法向量石=（血,一1,1）。

由q•刃

〜71

0=0知，平面ABF与平面ADF垂直，二面角B-AF-D的大小等于一。

・2

（II）连EB、EC、ED,设直线AF与直线CE相交于点H,则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公

共

部分为四棱锥H-ABCDo过H作HP丄平面ABCD,P为垂足。

因为EA丄平面ABCD,FC丄平面ABCD,,所以平面ACFE丄平面ABCD,从而PeAC,HP丄AC.

由竺+竺二兰+空得心。

CFAEACAC3

又因为S菱形朋CD=^ACBD=^2,故四棱锥H・ABCD的体积S菱形初⑵

3.（2009福建高考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，

MD丄平面ABCD,NB丄平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2）在线段AN±是否存在点S,使得ES丄平面AMN?

若存在，求线段

AS的长；若不存在，请说明理由

【解析】

（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标D-xyz

依题意得0（0,0,0）4（1,0,0）M（0,0,1）,C（0,1,0）,B（1丄0）,N（l,1,1）,E（|,1,0）。

.•./VE=（-|,0,-l）,AM=（-1,0,1）

\NE\x\AM|10

（2）假设在线段AN上存在点S,使得ES丄平面AMN.

•・・AN=（0丄1）,可设AS=AAN=（0,入2）,

由ES丄平面AMN,得俨“°，

[ESCAN=0,

一护=0,

（久一1）+2二0.

故2=p此时线段巫=（0,*,*）,|石|=半・

经检验，当AS=—时，ES丄平面AMN.

2

故线段AN上存在点S,使得ES丄平面AMW,此时线段AS=—・

2

4.（2009广东高考）如图6,已知正方体ABCD-A&CQ的棱长为2,点E是正方形BCC}B}的中心,点F、G分别是棱ClDl,AAl的中点.设点分别是点E,G在平面DCGQ内的正投影.

（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCCp内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（2）证明：

直线FG丄平面FEE】；

（3）求异面直线Qq与E4所成角的正弦值.

【解析】（1〉依题作点、E、G在平面DCC}D}内的正投影酉、q,

则耳、G】分别为CCn的中点，连结EQ、EG】、ED、DE、,

则所求为四棱锥E-DE'FG、的体积，其底面DE{FGl面积为

DE、FG\~vRi'EJ'Gi1RtADG}E}

=lxV2xV2+丄xlx2=2,

22

=jSDE\FG\.EE\=—

又EEX丄面DE\FG],EE】=1,：

•匕一眄^_◊de、fg\

（2）以£）为坐标原点，DA>DC>£）£）］所在直线分别作x轴，y轴，z轴,

得目（0,2,1）、G（0,0,l）,又G⑵0,1）,F（0,l,2）,E（l,2,l）,FG}=（0-1-1）,FE=（1,1-1）,

FEX=（0,1-1）,

・••亦•丘=0+（—1）+1二0,亦耳=0+（—1）+1二0,即FG]丄FE,FG、丄FE、,又

FE、cFE=F,:

.FG丨丄平面FEE,

•—*——♦FCt■FA

（3）E}G}=（0-2,0）,EA=（1-2-1）,则cos=11EQ网

2

爲，设异面直线qq与EA

所成角为&,则sin&=J1—彳5・（2009海南宁夏高考）如图，四棱锥&/BCD的底面是正方形，每条侧棱的长

都是底面边长的4倍，P为侧棱SD上的点。

/

（I）求证：

/1C丄SD；//

/>

（II）若SD丄平面PAC,求二面角的大小/

>£.—

（III）在（II）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,

使得BE〃平面PAC。

若存在，求SE：

EC的值；

若不存在，试说明理由。

【解析】方法一：

（I）连BD,设AC交BD于O,由题意知SO丄AC.在正方形ABCD中,

AC丄BD,所以AC丄平面SBD,则AC丄SD.

（II）设正方形边长Q,则SZ）=JLz。

久OD=—af所以ZSDO=60°,

2

连OP,由（I）知AC丄平面SBD,所以AC丄OP,

且AC丄0£>,所以APOD是二面角P-AC-D的平面角。

由SD丄平面PAC^SD丄OP,所以ZPOQ=30°,即二面角P-AC-D的大小为30°。

（in）在棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC

由（II）可得PD=—af故可在SP上取一点N,使=",过N作PC的平行线与SC的交点即为

E。

连BN。

在DBDN中知3N//P0,又由于NE//PC,故平面BEN//平面PAC,得3E//平面PAC,由于SMNP=2：

\,故SE：

EC=2：

1.

方法二：

（I）;连BD,设AC艾于BD于O,由题意知SO丄平面ABCDSAO为坐标原点，OB,OC,OS

分别为兀轴.y轴.z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图。

设底面边长为d于是S（0,0,〒d）,D（—亍q,0,0）C（0,〒q,0）

故OC丄SD,从而AC丄SD

（II）由题设知，平面PAC的一个法向量DS=（^aA

2

厉=（0,0,竺Q）,设所求二面角为&,则COS&==¥，所求二面角的大小为30°

（m）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.由（II）知厉是平面PAC的一个法向量,

且瓦二呼小半。

用=（0,-¥°，¥。

）设尿履，则旋庞+丟就+厲（-密乎

（一）,绑）

■■II•I•

而BEDC=0ot=一即当SE:

EC=2:

1时，BE丄DS3

而BE不在平面PAC内，故3£〃平面PAC

6.（2009山东高考）如图，在直四棱柱ABCD・A]B]C]D]中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA】=2,

E、E]、F分别是棱AD、AA]、AB的中点。

（1）证明：

直线EE』/平面FCC】；

（2）求二面角B-FC!

-C的余弦值。

【解析】方法一：

（1）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取A】B】的中点F〔，

连结A]D,C】Fi,CFi,因为AB=4,CD=2,且AB//CD,所以CDAiF】，AiF】CD为平行四边形，所以CF//A1D,又因为E、E|分别是棱AD、AA]的中点，所以EEi〃A[D,

所以CF//EE1,又因为（Z平面FCC|,C存U平面FCC）,所以直线EE（//平面FCC）.

（2）因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF,ABCF为正三角形，取CF的中点O,则OB丄CF,又因为直四棱柱ABCD・A]B]C|D丨中,CCi丄平面ABCD,所以CC】丄BO,所以OB丄平面CCjF,

过O在平面CCjF内作OP丄GF,垂足为P,连接BP,则ZOPB为二面角B・FC】・C的一个平面角，在正三角

形Z\BCF中,03=巧，在RtACCiF中，△ACCiF,V/.OP=-.1X2=—,

CC.CXFVFTF2

在RtAOPF中,BP=VOP2+OB2

所以二面角B-FC.-C的余弦值为二一・

7

方法二：

（1〉因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF,ABCF为正三角形，因为ABCD为等腰梯形，所以ZBAD=ZABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM丄AB,所以DM丄CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DDi为z轴建立空间直角坐标系,

，则D（0,0,0）,A（a/3,-1,0）,F（a/3,1,0）,C（0,2,0）,

所以,--,i）,CF=（V3,-i,o）,cq=（o,o,2）rq=（-V3丄2）设平面cgf的法向量为

以斤丄EE），所以直线EE】//平面FCC]・

（2）而=（0,2,0）,设平面BFG的法向量为斤=（石则]（•竺二。

所以]}1~°

[q•FC]=0[一丁3兀]++2z】=0

取n}=（2,0,V§），则n•q=2x1—V3x04-0xV3=2,

|h|=71+（V3）2=2,|^|=722+0+（V3）2=a/7,

所以cos〈仏q〉

77由图可知二面角B-FC,-C为锐角，所以二面角B-FC,-C的余弦值为>—・

7

设法向量〃与BM的夹角为0，二面角的大小为&,显然&为锐角

・・・二面角BX-\C-CX的大小为彳.

8.（2009天津高考）如图，在五面体ABCDEF中，FA丄平面ABCD,AD//BC//FE,

AB丄AD,M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=-AD2

（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；

（II）证明平面AMD丄平面CDE；

（III）求二面角A-CDE的余弦值。

【解析】方法一：

（I）由题设知，BF//CE,所以ZCED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。

设P为AD的中点，连结EP,PCo因为FE//AP,所以FA//EP,同理AB//PC。

又FA丄平面ABCD,

所以EP丄平面ABCDo而PC,AD都在平面ABCD内，故EP丄PC,EP丄AD。

由AB丄AD,可得PC丄AD

设FA=a,则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=屈，故ZCED=60°o所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°

（II）因为DC=DE且M为CE的中点，所以DM丄CE•连结MP，则MP丄CE.

又MPADM=故CE丄平面AMD.而CEu平面CDE,所以平面AMD丄平面CDE.（III）

（III）设Q为CD的中点，连结PQ,EQ•因为CE=DE,所以EQ丄CD•因为

PC=PD，所以PQ丄CD,故ZEQP为二面角A-CD-E的平面角.

[7&

由⑴可得，EP丄PQ,EQ二冷-d,PQ=^-a.

于是在RUEPQ中,c"呼鈴拿

方法二：

如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点。

设AB=1,依题意得B（1,O,O）,C（1,1,O）,

1£＞（0,2,0）,E（0,l,l）,F（0,0,l）,M-,1,-

122

（I）解:

BF=（一1,0,1）,DE=（0,一1,1）,

BFDE

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°・

（1［、

（II）由AM=-,1,-,

U2）

CE・AD=0.因此，CE丄AM,CE丄AD.乂AMAAD=A,故CE丄平面AMD.

而CE（=平面CDE,所以平面AMD丄平面CDE.

（Ill）设平面CDE的法向量为u=（兀，y,z）,则]"匸=°‘

[u•DE=0.

J-是]'令x=l,可得u=（1,1,1）.

[-y+z=0.

又由题设，平面ACD的一个法向量为v=（0,0,1）・

所以cos仏沪丽=齐厂亍

9.（2009天津高考）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD丄平面ABCD,AD丄CD,且DB平分ZADC,

E为PC的中点，AD=CD=\,DB=2近

（I）证明PA//平面BDE

（II）证明AC丄平面

（IH）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值

【解析】设ACCBD=H,连结EH,在AADC中，因为AD=CD,且DB平分ZADC9

所以H为AC的中点，又由题设知，E为PC的中点，故EH//P4,又

HEu平面BDE,PAU平面BDE,所以PA//平面BDE

（2）因为PD丄平面ABCDfACu平面ABCD,所以PD丄AC

由

（1）知,BQ丄AC,PDcBD二D,故4C丄平面

⑶由AC丄平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以ZCBH为直线与平面

PBD所成的角。

由AD丄CD,AD=CD=\,DB=2厲,可得=CH

CH11

在RtABHC中，tanZCBH=—二-，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为一。

BH33

10.（2009浙江高考）如图，平面PAC丄平面ABCf\ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,0分别为P4,

PB,AC的中点，AC=16,PA=PC=\0・

（I）设G是OC的中点，证明：

FG//平面BOE；

（II）证明：

在AABO内存在一点M,使FM丄平面BOE,

并求点M到04,的距离.

【解析】（I）如图，连结OP,以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为X轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系O—兀yz,

则O（0,0,0）,A（0,-&0）,B（&0,0）,C（0,8,0）,

P（0,0,6）,E（0,—4,3）,F（4,0,3）,由题意得，G（0,4,0）,

因亦=（&0,0）,OE=（0,-4,3）,因此平面BOE的法向量为方=（0,3,4）,

FG=（-4,4,-3得：

•而=0,又直线FG不在平面BOE内，

因此有FGH平面

（II）设点M的坐标为（兀,％,0）,则FA7=（x0-4,y0,-3）,

因为FM丄平面BOE,所以有~FM//nf因此有x0=4,y0

兀〉0

即点M的坐标为I4,--,0

在平面直角坐标系xoy中，MOB的内部区域满足不等式组｛y<0

x-y

经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在MBO内存在一点M,使FM丄平面BOE,9

由点M的坐标得点M到Q4,OB的距离分别为4,一・

4

11.（2009浙江高考）如图，DC丄平面ABCfEB//DC,

AC=BC=EB=2DC=29ZACB=\20°fP,Q分别为AE,AB的中点.

（I）证明：

PQH平面ACD；

（ID求AD与平面ABE所成角的正弦值.

【解析】（I〉连结DP,CQ,在44BE中，P,Q分别是AE.AB的中点，所

以PQ/[-BEf又DC/[-BE9所以PQ//_DC,又PQ（Z平面ACD,

=2=2=

DCu平面ACD,所以PQ〃平面ACD

（II）在\ABC中，AC=BC=2,AQ=BQf所以CQ丄AB

而DC丄平面ABC,EB//DC9所以EB丄平面ABC

而EBu平面ABE,所以平面ABE丄平面ABC,所以CQ丄平面ABE

由（I）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ

所以DP丄平面ABE,所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,

所以直线AD与平面ABE所成角是ZDAP

在Rt\APD中，AD=7AC2+PC2=a/22+12=V5,DP=CQ=2sinZCAQ=\

所以sinZDAP==-}==

AD^55

12.（2007辽宁高考）如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M,N分别为AB,DF的中点。

（I）若平面ABCD丄平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值;

（II）用反证法证明：

直线ME与BN是两条异面直线。

A

【解析】（I）方法一：

取CD的中点G,连接MG,NGo

设正方形ABCD,DCEF的边长为2,

则MG丄CD,MG=2,NG=a/2.

因为平面ABCD丄平面DCED,MGU平面ABCD,

平面ABCDPIDCEF=CD・

所以MG丄平面DCEF,

可得ZMNG是MN与平面DCEF所成的角。

因为MN=J&所以si—NG半为MN与平面DCEF所成角的正弦值方法二：

设正方形ABCD,DCEF的边长为2,以D为坐标原点,

分别以射线DC,DF,DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.

则M（1,0,2）,N（0,1,0）,可得MN=（—1,1,2）.

又£=（0,0,2）为平面DCEF的法向量，

MN^DAV6

可得cos（MN,DA）=■~~—=.•

\MN\\DA\3

所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为

（II）假设直线ME与BN共面，8分

则ABU平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故ABQ平面DCEF。

又AB//CD,所以AB//平面DCEFoEN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB//EN。

又AB//CD//EF,所以EN//EF,这与ENAEF=E矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线.12分13.（2009全国U）如图，直三棱柱ABC—AdG中，如5丄AC.D.E分

别为A£、的中点，DE丄平面BCC\

（I）证明：

AB=AC

（II）设二面角A-BD-C为60。

，求妨C与平面BCD所成的角的大小。

【解析】⑴连结BE,vABC-^B.C.为直三棱柱，/.ZB,BC=90°,

•・•E为B、C的中点、,・・・BE=EC。

又DE丄平面BCC、,

/.BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而D4丄平面ABC,

:

.AB=AC（相等的斜线段的射影相等〉。

（II〉作AG丄BD于G,连GC,则GC丄BD,ZAGC为二面角A-BD-C的平面角，ZAGC=60°.不妨设AC=2品,则AG=2,GC=4・在

RlDABD中，由ADAB=BDAGf易得AD=y[6.

设点到面BDC的距离为力，EC与平面3CD所成的角为Q。

利用-S坐bcDE」S、bcd小,可求得h=2壬，又可求得B,C=4^3

・h1“°

•••sina-—:

.a-30•

B、C2

即冋C与平面BCD所成的角为30°.

14.（2009北京高考）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形,

PD丄底面ABCDf点E在棱PB上.

（I）求证：

平面AEC丄平面

（II）当PD=y/2AB且E为PB的中点时，求AE与

平面PDB所成的角的大小.

【解析】方法一：

（I）・・•四边形ABCD是正方形，AAC丄BD,

VPD丄底面ABCD9・・・PD丄AC,AAC丄平面PDB,

・・・平面AEC丄平面PDB・

（II）设ACCIBD=O,连接OE,由（I）知AC丄平面PDB于O,

AZAEO为AE与平面PDB所的角，AO,E分别为DB、PB的中点，

AOE//PD,OE=-PDf又VPD丄底面ABCD,AOE丄底面ABCD,OE丄AO,

2

1R

在RtAAOE中，OE=—PD=「AB=AO,:

.ZAOE=45,即AE与平面PDB所成的角的大小

22

为45°.

方法二：

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,

fl1V2

——a,——a二ci

[222

设AB=a,PD=h,

则A（a,0,0）,3（a40）,C（0,a,0）,£）（0,0,0）,P（0,0M）,

（I）*.*AC=（一q,q,0）,DP=（0,0,/z）,DB=（d,d,0）,

:

.ACDP=0.ACDB=09

••AC丄DP,AC±DB,AAC丄平面PDB,

•••平面AEC1平面PDB.

（II）当PD=y/2AB且E为PB的中点时，P（0,0,JL/）,E

设ACABD=O,连接OE,

由（I）知AC丄平面PDB于O,AZAEO为AE与平面PDB所的角,

TEA=——ciy

22

[o.o,4；

：

•cosZAEO=

EAEO_V2

E4|-|e5|-2

・・・ZAOE=45",即AE与平面PDB所成的角的大小为45"・

15.（2009湖南高考）如图3,在正三棱柱ABC—ABC中,

AB=4f*，点D是BC的中点，

点£在/C上，且DE丄AE・

（I）证明：

平面AQE丄平面ACC/J

（II）求直线力。

和平面所成角的正弦值。

【解析】（I〉如图所示，由正三棱柱ABC-A}B}C}的性质知丄平面ABC.

又0£u平面ABC,所以DE丄马•而DE丄AA,E=A1,

所以丄平面ACC】人•又DEu平面A}DEf故平面A,DE丄平面ACQA・

（II）方法一：

过点力作力尸垂直人丘于点尸，

连接。

尺由（I）知，平面\DE丄平面ACC}A},所以/F丄平面A\DE,故ZADF是直线/D和平面A.DE所成的角。

因为DE丄平面ACC}A},所以DE丄力（7・而4ABC是边长为4的正三角形，于是AD=2^3,

AE=4-CE=4—CD=3・

2

又因为小=护,所以也=』AAj+AF=J（"）2+32=4,

“AEAA,3".AFV21

AF=L=,sin乙ADF二二•

A}E4AD8

即直线AD和平面A.DE所成角的正弦值为七一

方法二：

如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系,则相关各点的坐标分别是A（2,0,0,）,£（2,0,