完整版北京市西城区学探诊八年级数学第22章一元二次方程.docx
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完整版北京市西城区学探诊八年级数学第22章一元二次方程
第二十二章一元二次方程
测试 1一元二次方程的有关概念及直接开平方法
一、填空题：
1．只含有__________个未知数，并且未知数的__________次数是 2 的方程，叫做一元
二次方程，它的一般形式为______________________________．
2．把 2x2－1＝6x 化一般形式为 ________，二次项系数为 ________，一次项系数为
________，常数项为________．
b
3．若（k＋4）x2－3x－2＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 的取值范围是________．
4．把（x＋3）（2x＋5）－x（3x－1）＝15 化成一般形式为________a＝________，＝________，
c＝________．
2
5．若（m－2）xm2－＋x－3＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是________．
6．方程 y2－12＝0 的根是________．
二、选择题：
7．下列方程中一元二次方程的个数为（）
（1）2x2－3＝0；
（2）x2＋y2＝5；（3） x 2 - 4 = 5;（4） x 2 +
1
x 2
= 2.
（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个
8．ax2＋bx＋c＝0 是关于 x 的一元二次方程的条件是（）．
（A）a、b、c 为任意实数（B）a、b 不同时为零
（C）a 不为零（D）b、c 不同时为零
9．x2－16＝0 的根是（）．
（A）只有 4（B）只有－4（C）±4（D）±8
10．3x2＋27＝0 的根是（）．
（A）x1＝3，x2＝－3（B）x＝3
（C）无实数根（D）以上均不正确
三、解答题：
用直接开平方法解一元二次方程：
11． 2 y 2 = 8 ．12． （ x + 3） 2 = 2
1
15 ．把方程3 - 2 x 2 =2 x + x 化为一元二次方程的一般形式 （ 二次项系数为正 ）是
___________，一次项系数是_____________．
16．把关于 x 的一元二次方程（2－n）x2－n（3－x）＋1＝0 化为一般形式为___________，
1
二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________．
17．关于 x 的方程（m2－9）x2＋（m＋3）x＋5m－1＝0，当 m＝___________时，方程为一元
二次方程；当 m___________时，方程为一元一次方程．
二、选择题：
18．若 x＝－2 是方程 x2－2ax＋8＝0 的一个根．则 a 的值为（）．
（A）－1（B）1（C）－3（D）3
19．若 x＝b 是方程 x2＋ax＋b＝0 的一个根，b≠0，则 a＋b 的值是（）．
（A）－1（B）1（C）－3（D）3
20．若（m－1）x2＋ mx ＝4 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（）．
（A）m≠1（B）m＞1
三、解答题：
（用直接开平方法解下列方程）
21．（3x－2）（3x＋2）＝8．
（C）m≥0 且 m≠1 （D）任何实数
22．（5－2x）2＝9（x＋3）2．
23．
2（ x - 4） 2
3
- 6 = 0.
24．（x－m）2＝n．（n 为正数）
25．如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两根 1 和－1，那么 a＋b＋c＝_______，
a－b＋c＝_______．
26．如果（m－2）x|m|＋mx－1＝0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（）．
（A）2 或－2（B）2（C）－2（D）以上都不正确
27．已知关于 x 的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋m2－1＝0 有一个根是 0，求 m 的值．
28．已知 m 是方程 x2－x－1＝0 的一个根，求代数式 5m2－5m＋2004 的值．
2
测试 2配方法解一元二次方程
一、填上适当的数使下面各等式成立：
1．x2－8x＋_______＝（x－_______）2．
2．x2＋3x＋_______＝（x＋_______）2．
3． x 2 - 3 x ＋_______＝（x－_______）2．
2
4． x 2 + 3
5． x 2 - px + _______＝（x－_______）2．
6． x 2 - b
二、选择题：
7．用配方法解方程 x 2 - 2
（ ）
1818
（A） （ x - ）2 =
339
1102
（C） （ x - ）2 =
33
8．把 x2－4x 配成完全平方式需加上（）．
（A）4（B）16（C）8（D）1
9． x 2 - 1
（ ）．
4（C）
1
8
10．若 x2＋px＋16 是一个完全平方式，则 p 的值为（）．
（A）±2（B）±4（C）±8（D）±16
三、解答题：
（用配方法解一元二次方程）
11．x2－2x－1＝0．12．y2－6y＋6＝0．
13．4x2－4x＝3．14．3x2－4x＝2．
一、用适当的数填入空内，使等式成立：
15．3x2－6x＋1＝3（x－_________）2－_________．
16．2x2＋5x－1＝2（x＋_________）2－_________．
17．6x2－5x＋3＝6（x－_________）2＋_________．
18． 2x 2 - 2 x - 3 = 2 （x－_________）2－_________．
二、选择题：
19．若关于 x 的二次三项式 x2－ax＋2a－3 是一个完全平方式，则 a 的值为（
3
）．
（A）－2（B）－4（C）－6（D）2 或 6
20．将 4x2＋49y2 配成完全平方式应加上（）
（A）14xy（B）－14xy（C）±28xy（D）0
21．用配方法解方程 x2＋px＋q＝0，其配方正确的是（）．
（A） （ x +）2p 2 - 4q
24
（C） （ x +）24q - p 2
24
（B） （ x - ）2 p 2 - 4q
2 4
（D） （ x - ）2 4q - p 2
2 4
三、解答题：
（用配方法解一元二次方程）
22．3x2－4x＝2．23． 2 x 2 + 1 x = 2.
33
24． 6 y 2 - y - 2 6 = 0.25．x2＋2mx＝n．（n＋m2≥0）
26．用配方法说明：
无论 x 取何值，代数式 x2－4x＋5 的值总大于 0，再求出当 x 取何
值时，代数式 x2－4x＋5 的值最小？
最小值是多少？
4
测试 3公式法解一元二次方程
一、填空题：
1．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根是________．
2．用公式法解一元二次方程 3x2－8x＋2＝0，它的两根是________．
3．一元二次方程（2x＋1）2－（x－3）（2x－1）＝3x 中的二次项系数是________，一次项系数
是________，常数项是________．
1
2
二、选择题：
5．方程 x2－2x－2＝0 的两根为（）．
（A）x1＝1，x2＝－2（B）x1＝－1，x2＝2
（C） x = 1 + 3, x = 1 - 3
12
6．用公式法解一元二次方程 x 2 -
1
4
（D） x = 3 - 1, x = 3 + 1
1 2
= 2x, 它的根正确的应是 （ ）．
（A） x
- 2 ± 5
2
（B） x
2 ± 5
2
（C） x
1 ± 5 1 ± 3
2 2
7．方程 mx2－4x＋1＝0（m≠0）的根是（）．
（A） x = x =
12
1
4
（B） x
2 ± 4 - m
m
（C） x
1,2
=
2 ± 2 4 - m
m
（D） x
2 ± m 4 - m
m
8．若代数式 x2－6x＋5 的值等于 12，则 x 的值应为（）．
（A）1 或 5（B）7 或－1（C）－1 或－5（D）－7 或 1
三、解答题：
（用公式法解一元二次方程）
9．x2＋4x－3＝0．10．3x2－8x＋2＝0．
11． 3x 2 - x - 2 3 = 0 ．12．4x2－3＝11x．
一、填空题：
13．若关于 x 的方程 x2＋mx－6＝0 的一个根是 2，则 m＝________，另一根是________．
二、选择题：
14．关于 x 的一元二次方程 2 x 2 + 2a 2 = 3ax 的两根应为（）．
（A） x
5
1 2
2
2
a
（C） x
2 ± 2a
4
（D） x
三、解答题：
（用公式法解下列一元二次方程）
15．2x－1＝－2x2．
16． 3x 2 + 1 = 2 3x.
17． x 2 - （ 3 + 2 ） x + 6 = 0.
18． （ x + 1）（ x - 1） = 2 2 x.
19．用公式法解方程：
（1）x2＋mx＋2＝mx2＋3x．（m≠1）
（2）x2 十 4ax 十 3a2＋2a－1＝0．
20．解关于 x 的方程：
mx2－（m2－1）x－m＝0．
6
测试 4一元二次方程根的判别式
一、填空题：
1．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式为△＝b2－4ac，
当 b2－4ac________0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 b2－4ac________0 时，方程有两个相等的实数根；
当 b2－4ac________0 时，方程没有实数根．
2．若关于 x 的方程 x2－2x－m＝0 有两个不相等的实数根，则 m________．
3．若关于 x 的方程 x2－2x－k＋1＝0 有两个实数根，则 k________．
4．若方程 2x2－（2m＋1）x＋m＝0 根的判别式的值是 9，则 m＝________．
二、选择题：
5．方程 x2－3x＝4 根的判别式的值是（）．
（A）－7（B）25（C）±5（D）5
6．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个实数根，则根的判别式的值应是（）．
（A）正数（B）负数（C）非负数（D）零
7．下列方程中有两个相等实数根的是（）．
（A）7x2－x－1＝0（B）9x2＝4（3x－1）
（C）x2＋7x＋15＝0
（D） 2 x 2 - 3x - 2 = 0
8．方程 x2＋2 3 x＋3＝0（）．
（A）有两个不相等的实数根（B）有两个相等的有理根
（C）没有实数根（D）有两个相等的无理根
三、解答题：
9．k 为何值时，一元二次方程 kx2－6x＋9＝0①有不相等的两个实数根；②有相等的两
个实数根；③没有实数根．
10．若方程（a－1）x2＋2（a＋1）x＋a＋5＝0 有两个实数根，求正整数 a 的值．
11．求证：
不论 m 取任何实数，方程 x 2 - （m + 1） x +
m
2
= 0 都有两个不相等的实数根．
一、选择题：
12．方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式是（）．
（A）
- b ± b 2 - 4ac
2
（B） b 2 - 4ac
（C）b2－4ac（D）a、b、c
13．若关于 x 的方程（x＋1）2＝1－k 没有实数根，则 k 的取值范围是（）
7
（A）k＜1（B）k＜－1（C）k≥1（D）k＞1
14．若关于 x 的方程 3kx2＋12x＋k＋1＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为（）．
（A）－4（B）3（C）－4 或 3（D）
1 2
2 3
15．若关于 x 的一元二次方程（m－1）x2＋2mx＋m＋3＝0 有两个不相等的实数根，则 m
值的范围是（）．
（A） m <
3
2 （B） m <
3
2
且 m≠1
（C） m ≤
3 3
且 m≠1 （D） m >
2 2
16．如果关于 x 的二次方程 a（1＋x2）＋2bx＝c（1－x2）有两个相等的实数根，那么以正数
a、b、c 为边长的三角形是（）．
（A）锐角三角形（B）钝角三角形
（C）直角三角形（D）任意三角形
二、解答题：
17．已知方程 mx2＋mx＋5＝m 有两个相等的实数根，求方程的解．
18．m 为何值时，关于 x 的方程（m2－1）x2＋2（m＋1）x＋1＝0 有实数根？
19．求证：
不论 k 取何实数，方程（k2＋1）x2－2kx＋（k2＋4）＝0 都没有实根．
（三）拓广、探究、思考
20．已知方程 x2＋2x－m＋1＝0 没有实数根，求证：
方程 x2＋mx＝1－2m 一定有两个
不相等的实数根．
21．已知 12＜m＜60，且关于 x 的二次方程 x2－2（m＋1）x＋m2＝0 有两个整数根，求整
数 m 的值，并求此时方程的根．
8
测试 5因式分解法解一元二次方程
（1）
一、写出下列一元二次方程的根：
1．x（x－3）＝0
2．（2x－7）（x＋2）＝0 _______．
3．3x2＝2x
4．x2＋6x＋9＝0
_______．
_______．
_______．
5． 2 x 2 - 2 3x = 0 _______．
6． （1 +2 ） x 2 = （1 -2 ） x_______．
7．（x－1）2－2（x－1）＝0_______．
8．（x－1）2－2（x－1）＝－1_______．
二、选择题：
9．方程（x－a）（x－b）＝0 的两根是（）．
（A）x1＝a，x2＝b（B）x1＝a，x2＝－b
（C）x1＝－a，x2＝b（D）x1＝－a，x2＝－b
10．在下列解方程过程中正确的是（）．
（A）x2＝x，两边同除以 x，得 x＝1．
（B）x2＋4＝0，直接开平方法可得，x＝±2．
（C）（x－2）（x＋1）＝3×2∵x－2＝3，x＋1＝2，∴x1＝5，x2＝1．
2
12
三、用因式分解法解下列方程（*题用十字相乘法因式分解解方程）
11．3x（x－2）＝2（x－2）12．x2－4x＋4＝（2－3x）2．
*13．x2－3x－28＝0．*14．x2－6x＋8＝0．
*15．（2x－1）2－2（2x－1）＝3．*16．x（x－3）＝3x－9．
一、写出下列一元二次方程的根：
17． 2 x2－2 6 x＝0．_________________________．
18．（x＋1）（x－1）＝2．_________________________．
19．（x－2）2＝（2x＋5）2．_________________________．
20．2x2－x－15＝0．_________________________．
9
二、选择题：
21．方程 x（x－2）＝2（2－x）的根为（）．
（A）x＝－2（B）x＝2
（C）x1＝2，x2＝－2（D）x1＝x2＝2
22．方程（x－1）2＝1－x 的根为（）．
（A）0（B）－1 和 0（C）1（D）1 和 0
23．若实数 x、y 满足（x－y）（x－y＋3）＝0，则 x－y 的值是（）
（A）－1 或－2（B）－1 或 2
三、用因式分解法解下列关于 x 的方程：
（C）0 或 3 （D）0 或－3
24．x2＋2mx＋m2－n2＝0．
26．x2－bx－2b2＝0．
25． x 2 - ax +
a 2
4 - b 2 = 0.
10
*测试 6因式分解法解一元二次方程
（2）
（一）课堂学习检测
一、填空题：
1．方程 x2＋（ 2 3 ＋1）x＋ 2 3 ＝0 的根是____________．
2．方程 y（y＋5）＝24 的根是____________．
3．解方程（x2－x）2－4（2x2－2x－3）＝0，可将方程变形为 ____________，原方程的解为
____________．
4．若（m2＋n2）（m2＋n2－2）－3＝0，则 m2＋n2＝____________．
二、选择题：
5．下列一元二次方程的解法中，正确的是（）．
（A）（x－3）（x－5）＝10×2．（B）（2－5x）＋（5x－2）2＝0．
x－3＝10，∴x1＝13．整理得（5x－2）（5x－3）＝0．
x－5＝2，∴x2＝7．
∴ x =
1
2 3
2
（C）（x＋2）2＋4x＝0．
整理得 x2＋4＝0．
∴x1＝2，x2＝－2．
三、用因式分解法解下列方程：
6． 3x 2 = x.
（D）x2＝x．
两边同除以 x，得 x＝1．
7． （ x - 2） 2 = 5（ 2 - x）.
8． 4（ p - 3） 2 - 48 = 0.9． 2 x 2 - 2 5 x = 15 - 3x.
四、解答题：
10．x 取什么值时，代数式 x2－8x＋12 的值等于－4？
11．x 取什么值时，代数式 x2＋8x－12 的值等于 2x2＋x 的值？
12．x 为何值时，最简二次根式 x 2 + 2 x 与 2 x 2 + 24 是同类二次根式？
11
（二）综合运用诊断
一、选择题：
13． 5 x 2 = x 的解是（）．
5
（C） x = -
5
5
（D） x = 0, x = 5
二、解关于 x 的方程：
16．ax（a－x）－ab2＝b（b2－x2）（a≠b）．
17．abx2－（1＋a2b2）x＋ab＝0（ab≠0）．
三、解答题：
18．解关于 x 的方程：
x2－2x 十 1－k（x2－1）＝0．
19．已知（2m－3）≤1，且 m 为正整数，试解关于 x 的方程：
3mx（x＋1）－5（x＋1）（x－1）＝x2．
（三）拓广、探究、思考
解下列方程：
20．2p2－5p＋3＝0．21．3y2＋5y－2＝0．
22．6x2－5x－21＝0．
测试 7一元二次方程解法综合训练
学习要求：
会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．
（一）课堂学习检测
一、写出下列一元二次方程的根：
1．3（x－1）2－1＝0．______________________．
2．（2x＋1）2－2（2x＋1）＝3．______________________．
12
3．3x2－5x＋2＝0．______________________．
4．x2－4x－6＝0．______________________．
二、选择题：
5．方程 x2－4x＋4＝0 的根是（）．
（A）x＝2（B）x1＝x2＝2（C）x＝4（D）x1＝x2＝4
1
5
（A）x＝3（B）x＝±3（C）x＝±9（D） x = ± 3
7． 7 x 2 - x = 0 的根是（）
7（B）x1＝0， x2 =
7
7
（C） x = 0, x =7
12
8．（x－1）2＝x－1 的根是（）．
（D） x =
7
（A）x＝2
（C）x＝1
三、用适当方法解下列方程：
9．6x2－x－2＝0．
（B）x＝0 或 x＝1
（D）x＝1 或 x＝2
10．（x＋3）（x－3）＝3．
四、解关于 x 的方程：
11．4x2－4mx＋m2－n2＝0．
12．2a2x2－5ax＋2＝0（a≠0）．
（二）综合运用诊断
一、填空题：
13．若分式的值是 0，则 x＝________________．
x + 1
14．x2＋2ax＋a2－b2＝0 的根是________________．
二、选择题：
15．关于方程 3x2＝0 和方程 5x2＝6x 的根，下列结论正确的是（）．
（A）它们的根都是 x＝0（B）它们有一个相同根 x＝0
（C）它们的根都不相同（D）以上结论都不正确
16．关于 x 的方程 abx2－（a2＋b2）x＋ab＝0（ab≠0）的根是（）．
121
x =
2a
b a
x =
2
a 2 + b2
1ab2
三、解下列方程：
17．（2x＋1）2＝9（x－3）2．
（D）以上都不正确．
18．（y－5）（y＋3）＋（y－2）（y＋4）＝26．
13
19．x2＋5x＋k2＝2kx＋5k－6．
20． x 2 - （2 2 + 3 3） x + 6 6 = 0.
四、解答题：
21．已知：
x2＋3xy－4y2＝0（y≠0），求 x - y 的值．
x + y
22．求证：
关于 x 的方程（a－b）x2＋（b－c）x＋c－a＝0（a≠b）有一根为 1．
（三）拓广、探究、思考
23．已知一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中的两根为 x1，x2＝
- b ± b2 - 4ac
2a
，请你
计算 x1＋x2＝________，x1x2＝________．
并由此结论，解决下面的问题：
（1）方程 2x2＋3x－5＝0 的两根之和为______，两根之积为______；
（2）若方程 2x2＋mx＋n＝0 的两根之和为 4，两根之积为－3，则 m＝______，n＝
______；
（3）若方程 x2－4x＋3k＝0 的一个根为 2，则另一根为________，k 为______；
（4）已知 x1，x2 是方程 3x2－2x－2＝0 的两根，求下列各式的值：
11
12
2
③（x1－x2）2；
⑤（x1－2）（x2－2）．
④ x x 2 + x 2 x ；
1 2 1 2
测试 8实际问题与一元二次方程
（1）
学习要求．
会应用一元二次方程处理常见的各类实际问题．
一、填空题：
1．实际问题中常见的基本等量关系：
（1）工作效率＝________；
（2）距离＝________；
2．某工厂 1993 年的年产量为 a（a＞0），如果每年递增 10％，那么 1994 年年产量
14
是________，1995 年年产量是________，这三年的总产量是________．
3．某商品连续两
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