双曲方程基于matlab的数值解法.docx
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双曲方程基于matlab的数值解法
双曲型方程基于MATLAB的数值解法
（数学1201,陈晓云,41262022）
一：
一阶双曲型微分方程的初边值问题
精确解为
二：
数值解法思想和步骤
2.1:
网格剖分
为了用差分方法求解上述问题，将求解区域
作剖分。
将空间区间
作
等分，将时间
区间作
等分，并记
。
分别称
和
为空间和时间步长。
用两簇平行直线
将
分割成矩形网格。
2.2：
差分格式的建立
2.2.1：
Lax-Friedrichs方法
对时间、空间采用中心差分使得
则由上式得到Lax-Friedrichs格式
截断误差为
所以Lax-Friedrichs格式的截断误差的阶式
令
：
则可得差分格式为
其传播因子为：
化简可得：
所以当
时，
格式稳定。
*2.2.2：
LaxWendroff方法
用牛顿二次插值公式可以得到LaxWendroff的差分格式，在此不详细分析，它的截断误差为
，是二阶精度；当
时，
，格式稳定。
在这里主要用它与上面一阶精度的Lax-Friedrichs方法进行简单对比。
2.3差分格式的求解
因为
时格式稳定，不妨取
，则s=0.9
差分格式
写成如下矩阵形式：
则需要通过对k时间层进行矩阵作用求出k+1时间层。
对上面的矩阵形式通过matlab编出如附录的程序求出数值解、真实解和误差。
2.5算法以及结果
function[PUExt]=PDEHyperbolic（uX,uT,M,N,C,type）
formatlong
%一阶双曲型方程的差分格式
%[PUExt]=PDEHyperbolic（uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type）
%方程:
u_t+C*u_x=00<=t<=uT,0<=x<=uX
%初值条件:
u（x,0）=phi（x）
%输出参数:
U-解矩阵
%x-横坐标
%t-纵坐标，时间
%输入参数:
uX-变量x的上界
%uT-变量t的上界
%M-变量x的等分区间数
%N-变量t的等分区间数
%C-系数
%phi-初值条件函数，定义为内联函数
%psi1,psi2-边值条件函数，定义为内联函数
%type-差分格式，从下列值中选取
%-type='LaxFriedrichs'，采用Lax-Friedrichs差分格式求解
%-type='LaxWendroff'，采用Lax-Wendroff差分格式求解
h=uX/M;%变量x的步长
k=uT/N;%变量t的步长
r=k/h;%步长比
x=（0:
M）*h;t=（0:
N）*k;
U=zeros（M+1,N+1）;
%初值条件
fori=1:
M+1
U（i,1）=cos（pi*x（i））;
P（i,1）=cos（pi*x（i））;
E（i,1）=0;
end
%边值条件
forj=1:
N+1
U（1,j）=cos（pi*t（j））;
E（1,j）=0;
P（1,j）=cos（pi*t（j））;
U（M+1,j）=-cos（pi*t（j））;
P（M+1,j）=-cos（pi*t（j））;
E（M+1,j）=0;
end
switchtype
case'LaxFriedrichs'
ifabs（C*r）>1
disp（'|C*r|>1，Lax-Friedrichs差分格式不稳定！
'）
end
%逐层求解
forj=1:
N
fori=2:
M
U（i,j+1）=（U（i+1,j）+U（i-1,j））/2-C*r*（U（i+1,j）-U（i-1,j））/2;
P（i,j+1）=cos（pi*（x（i）+t（j+1）））;
E（i,j+1）=abs（U（i,j+1）-cos（pi*（x（i）+t（j+1））））;
end
end
%Lax-Wendroff差分格式
case'LaxWendroff'
ifabs（C*r）>1
disp（'|C*r|>1，Lax-Wendroff差分格式不稳定！
'）
end
%逐层求解
forj=1:
N
fori=2:
M
U（i,j+1）=U（i,j）-C*r*（U（i+1,j）-U（i-1,j））/2+C^2*r^2*（U（i+1,j）-2*U（i,j）+U（i-1,j））/2;
P（i,j+1）=cos（pi*（x（i）+t（j+1）））;
E（i,j+1）=abs（U（i,j+1）-cos（pi*（x（i）+t（j+1））））;
end
end
otherwise
disp（'差分格式类型输入有误！
'）
return;
end
U=U';
P=P';
E=E';
%作出图形精确解
mesh（x,t,P）;
title（'一阶双曲型方程的精确解图像'）;
xlabel（'空间变量x'）;ylabel（'时间变量t'）;zlabel（'一阶双曲型方程的解P'）
%作出图形数值解
mesh（x,t,U）;
title（[type'格式求解一阶双曲型方程的解的图像']）;
xlabel（'空间变量x'）;ylabel（'时间变量t'）;zlabel（'一阶双曲型方程的解U'）
return;
命令窗口输入：
>>uX=1;uT=1;M=90;N=100;C=-1;phi=inline（'cos（pi*x）'）;psi1=inline（'cos（pi*t）'）;psi2=inline（'-cos（pi*t）'）;type='LaxFriedrichs'或type='LaxWendroff';
>>[PUExt]=PDEHyperbolic（uX,uT,M,N,C,type）
从matlab的数值解法结果中抽出一部分数据进行比较
表1
LaxFriedrichs
格式
j
k
（x,t）
数值解
真实解
误差
46
11
（0.5,0.1）
-0.308981
-0.309017
0.000036
46
21
（0.5,0.2）
-0.587647
-0.587785
0.000138
46
31
（0.5,0.3）
-0.808731
-0.809017
0.000286
46
41
（0.5,0.4）
-0.950609
-0.951056
0.000448
46
51
（0.5,0.5）
-0.999409
-1.000000
0.000591
46
61
（0.5,0.6）
-0.950496
-0.951057
0.000560
46
71
（0.5,0.7）
-0.808539
-0.809017
0.000478
46
81
（0.5,0.8）
-0.587437
-0.587785
0.000348
46
91
（0.5,0.9）
-0.308833
-0.309017
0.000184
46
101
（0.5,1.0）
-0.000002
-0.000000
0.000002
表2
LaxWendroff
格式
j
k
（x,t）
数值解
真实解
误差
46
11
（0.5,0.1）
-0.309005
-0.309017
0.000012
46
21
（0.5,0.2）
-0.587765
-0.587785
0.000020
46
31
（0.5,0.3）
-0.808995
-0.809017
0.000022
46
41
（0.5,0.4）
-0.951040
-0.951056
0.000016
46
51
（0.5,0.5）
-0.999999
-1.000000
0.000001
46
61
（0.5,0.6）
-0.951074
-0.951057
0.000017
46
71
（0.5,0.7）
-0.809051
-0.809017
0.000034
46
81
（0.5,0.8）
-0.587833
-0.587785
0.000048
46
91
（0.5,0.9）
-0.309074
-0.309017
0.000057
46
101
（0.5,1.0）
-0.000006
-0.000000
0.000006
备注：
本来
，但是由于matlab中下标必须从大于0开始，所以在程序中
图像分析:
结果分析：
从表1和表2可以看出LaxFriedrichs格式和LaxWendroff格式的
真值得误差都比较小，而LaxWendroff格式虽然精度比LaxFriedrichs
的精度高，但是在网格点划分比较细的情况下，二者的差别不大。
从三个图像的结果看出，二者都拟合的相当好，并且结果都稳定。
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