完整版一元二次方程综合培优含参考答案.docx
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完整版一元二次方程综合培优含参考答案
成都七中近几年考试真题一览（参考答案）
2
1、已知x
5x
2000
x2
0,则一
3
x
x
2
2
11的值是（D）
A、2001
B、2002
C、2003
D、2004
答案：
D
解析：
由x2
5x
2000
0得：
x2
4x
x
2000
3
2
2
2
x2x
1
1
2x
1
1
2
x2x
一x
2
x
4x4
x2004x2004
x2x2x2
归纳：
本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
2
2、已知a2004a
10,则2a2
4007a
2004
2a
1
答案：
2002
解析:
由a22004a
10得：
a2
12004a,
21
a2004a1,a2004
a
原式
22004a1
2004
4007a
a2
1
2002
气UUtci
2004a
a
归纳：
本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。
22a
3、若ab1，且5a2005a70，7b2005b50，则卫
b
答案：
-
5
2
211
解析：
由7b2005b50得：
5-2005—70
bb
tab1，即a-
b
1
•••把a和1作为一元二次方程5x22005x70的两根
b
1a7
…a
bb5
归纳：
本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
4、已知方程2x22ax3a40没有实数根，则代数式Va28a162a
答案：
2
考点：
根的判别式。
分析：
由方程2x2ax3a
4
0没有实数根，得
0,求的a的范围，然后根据此范围
化简代数式。
解答：
解：
•••已知方程2x2
2ax
3a40没有实数根
0，即4a2423a
4
2
0,a6a80,
得2a4
则代数式Va28a16|2a||a4||a2|4aa22
归纳：
本题考查了一元二次方程根的判别式。
当0时，方程没有实数根。
同时考查了
元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。
5、已知y2x,6x，贝Uy的最大值为.
答案:
97
8
考点:
二次函数的最值。
专题:
计算题；换兀法.
分析:
此题只需先令6xt
0,用
x表示t,代入求
y关于t的二次函数的最值即可。
解答:
令..6xt0,x6
2t
则y
2x6x122t2t
2t2
1t122t
2
1
12-
48
1
又t0,且y关于t的二次函数开口向下，则在t-处取得最大值
4
即y最大值为伐1，即97
88
归纳：
本题考查了二次函数的最值，关键是采用换元法，将.6x用t来表示进行解题比较
简便。
6、已知abe
0,
abe2,
e
0,则（
）
A、ab0
B、a
b
2
C、ab
3D、ab4
答案：
B
考点：
根的判别式。
专题：
综合题。
分析：
由abe
0,
abe2,
e
0，得到a,
b两个负数，
2
再由abe,ab-，这
e
样可以把a,b看作方程x2ex-0的两根，根据根的判别式得到c24-0,解得c2,
e
e
然后由a
b
e得到ab
2.
解答:
abe0,
abe
2,
e
0
a
0,
b0,e0
二a
b
2e,ab
e
•可以把
a,b看作方程
2x
ex
2
e
0
2e
2
420,解得e
e
2
•e
a
b2，即a
b
2
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式：
如方程有两个实数根，则0•也考查了元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。
2
7、已知ab8,abc160，贝Uabe
答案：
0
考点：
因式分解的应用；非负数的性质：
偶次方。
分析：
本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变
形后，即可找到本题的突破口。
由ab8可得ab8;将其代入abc2160得：
b28bc2160;此时可发现b28b16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求
出b、c的值，
进而可求得
a的值；
然后代值运算即可。
解答：
•/
ab8
•ab
8
又tab
c2160
•-b28b
ic216
0，即b
22
4c20
二b4,c0
a4
abc0
归纳：
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.
232
8、已知mm10，贝Um2m2006
答案：
2005
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
分析：
根据已知条件可得到m2m1，然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：
tm2m10
•2…m
m1
•原式
mm2mm2006m2
m200612006
2005
点评：
这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
2
9、已知ab4,abc40，则ab
答案：
0
考点：
拆项、添项、配方、待定系数法。
专题：
计算题.
分析：
先将字母b表示字母a，代入abc240，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出a、b、c的值，从而得到ab的值。
解答：
tab4
•ab4
代入abc240，可得（b4bc240，即b22c20
•••ab42
二ab0
归纳：
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。
解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。
一2_
10、若方程xpxq0的二根为Xi，x2，且Xi1，pq30，则x2（）
A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定
答案:
A
考点:
根与系数的关系.
专题:
计算题.
分析:
方程X2
pxq
0的二根为X1,X2，根据根与系数的关系及已知条件即可求解。
解答:
•••方程X2
px
q0的二根为X1,X2
•x1
X2P,
X1X2
q
•••X1
1,pq
3
•X1
X2X1x2
3
•X2
Xx23
X12
•X2
X12
•••x112
•x21
归纳：
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1,x2是方程x2pxq0的
两根时，x1x2p,x1x2
11、已知是方程X2X
q-
31
—一1的值为
1
4
0的一个根，则-
答案：
5
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
分析：
根据已知条件可得到
2
1
-0，即
21
2-然后整体代入代数式求值计算即
4
4
可。
解答：
•/是方程
2
XX
1
0的一个根
4
•2
10,
即2
1
4
4
•原式
12
1
2
141
5
1
1
2
1
4
点评：
这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，
根据已知条件，整体代值计算。
2432
12、若3xx1，则9x12x2x7x2008（）
A、2011B、2010C、2009D、2008
答案：
B
考点：
因式分解的应用.
专题：
计算题；整体思想.
分析：
将3x2x1化简为3x2x10,整体代入9x412x32x27x2008变形的式
子3x23x2x15x3x2x123x2x12010，计算即可求解.
解答：
T3x2x1，即3x2x10
•••9x412x32x27x2008
2222
3x3xx15x3xx123xx12010
2010
归纳：
本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解。
13、方程3x23x22的解为.
答案：
2
3
考点：
利用方程的同解原理解答。
专题：
计算题。
解答：
3x23x22
两边同时平方得：
3x23x22.9x244
整理得：
..9x243x2
再平方得：
12x8
解得：
x-
3
归纳：
本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。
22
14、已知2x6xy
22
0，则xy
2x的最大值疋（
）
A、14
B、15
C、16
D、18
答案：
B
考点：
完全平方公式。
分析：
由2x26xy2
0得y22x2
6x代入x2y2
2x，通过二次函数的最值，求出
它的最大值。
解答：
2x26xy20化为y22x26x,0y—,0x3
2
故x2y22x8xx2
二次函数开口向下，当x4时表达式取得最大值
由于0x3
所以x3时此时y0,表达式取得最大值：
15
点评：
本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦，利用转化思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。
15、方程x22|x|2m恰有3个实根，则m（）
答案:
专题：
换兀法。
分析：
设x2
3x
3
7y，原方程化成y空2，再整理成整式方程求解即可。
y
解答：
设x2
3x
7y，则y卫2
y
•2
…y
2y3
0,
解得y11,y23
当％
1时，
2
3V33
nv74布邳彳曰v
x
3x/1,解得x2
当y2
3时，
2x
3x73，解得x2或5
3
、33
3
、33
v0cah
2
2560
2
考点:
换元法解分式方程。
归纳：
本题考查了用换元法解分式方程，解次题的关键是把x23x7看成一个整体来计算,
即换元法思想。
17、关于x的一元二次方程2x25xa0（a为常数）的两根之比洛：
x?
2:
3，则x洛
A、1
B、2
答案:
C
考点:
一元一
.次方程根与系数的关系及求解。
解答:
设2x2
5x
a
0的两根分别为2k
2k
3k?
2k
3k
a
2
2
二k
1
a
3
3k,
c、
由根与系数的关系得:
D、
2
答案:
根与系数的关系；代数式求值；完全平方公式。
计算题。
归纳:
本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。
难度中等。
关键是
利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。
19、
若关于x的方程公亠
ax_1只有一解，求a的值。
x1xx
x
答案
:
a0或a—
2
考点
:
解分式方程。
分析
:
先将分式方程转化为整式方程，
把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，
“只
有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出a的值。
解答：
原方程化为ax223ax10①
（1）当a0时，原方程有一个解,
（2）当a0时，方程①
22
5a4a10，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个
根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故x1，得a-.
2
11
综上可知当a0时，原方程有一个解，x1,a-时，x2.
22
归纳：
本题考查了解分式方程。
注意：
分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能
产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的
整式方程有两个解，而其中一个是原方
立，求fX
ax2bxca0的解析式。
2
考点：
函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质。
专题：
综合题。
分析：
取x1，由1f111，能够求出f11的值；由f1
_a
0，知
b
c1
2
a
b
c0
所以ac
12
b，由xfx,对一切实数恒成立，知axbxcx,即
2
2
axb
1x
c0对
一切实数恒成立，由此能求出fx的表达式。
解答：
解：
（1）・.•二次函数fxax2bxca0满足f10且
xfx
2x
1
2
2x1
20、已知二次函数fxaxbxca0满足f10且xfx对一切实数恒成
•••取x1，得1
11
1
所以f11
•-acb-
2
•/xfx，对一切实数恒成立
•ax2b1xc0对一切实数恒成立
a0
…2
b14ac0
ac
16
1
ta0,ac一0
16
二c0
•••2ac2卫J,：
当且仅当ac4时，等式成立
•£1211
…fx—xx—
424
点评：
本题考查二次函数的性质的综合应用，考查函数解析式的求法，解题时要认真审题,仔细解答，注意函数恒成立条件的灵活运用。
2
21、已知fxaxbxca0.
（2）若fx
―2—在（人，X2）内有一根为m且人
x22m1.若fx
0的对
称轴为xx0.求证：
Xom2.
考点：
一元二次方程的根的分布与系数的关系；二次函数的性质；等差数列的性质.
专题：
计算题；转化思想.
分析：
（1）通过计算一元二次方程的判别式大于0,可得方程有两个不相等的实数根；设方
第9页共20页
程对应的函数为gx,由g石gX20，可得方程有一个根属于（石,x?
）.
（2）由题意可得
rfX1fX2
即a2m2
2
X1
2
X2
b2mx
X20
由于
fm_
2
2
2
2
22
X1
x22m1，故b
222
a2mx1X2,
由X
b
2m
X1
X22
X1X2
证得结
0
m
2a
2
2
论。
解答：
证明：
（1）t
上fX1fX2
TX
2
2
•fxaxbxc
—axfbx1c
ax；
bx2c
2
整理得：
2ax22bx
22
ax1X2bx1
X2
0
故方程有两个不相等的实数根
fx1fx2
fXi
2
则gX1gX2
则gXgX2
故方程fx丄仝有一根在（X,X2）内。
2
（2）•••方程fx丄仝匕匚在（Xi,X2）内有一根为m
2
fXifX2
…fm-
2
a2m2xi2x；b2mxix20xix22m1
222
故Xo
b
2a
2
2m
22
XiX2
2
22
2XiX22
mm
2
…ba2mxx2
点评：
本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质,体现了转化的数学思想。
•••把
和丄作为一元二次方程x2
3x10的两根
一元二次方程成都四中考试真题
1、若
1
x—
x
1，则x3
1
丄的值为（
x
）
A、3
B、4
C、5
答案：
4
考点：
因式分解的应用。
专题：
整体思想。
解答：
Tx
丄1
x
2
•3
1
12
1
1
1
…x
~3
X—X
12x
—
x34
x
x
x
x
x
归纳：
本题关键是将x
1
1作为整体，
31
然后将x3
进行因式分解变形解答。
x
x
2、已知实数、满足
2
310,
2310,
且
1，则23
的值为（）
A、1
B、3
C、一3
D、10
答案：
D
解析：
由231
0得
：
13-
2
1
-0,即
1
2
131
1—，—
3
1，即
丄3，-1，即
1910
归纳：
本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。
3、实数x、y满足方程x2
2y2
2xyx3y10
，则y最大值为（
）
1
r3
3
A、-
B、一
C、
—
D、不存在
2
2
4
答案：
B
考点：
根的判别式。
专题：
计算题；转化思想。
分析：
先把方程变形为关于
x的
兀二次方程x2
12yx2y23y
10，由于此方程
有解，所以
0,这样得到y
的不等式
4y28y30,
解此不等式，得到
y的取值范围,
然后
找到最大值。
解答：
把x22y22xy
x3y
10看作为关于：
2
x的x12yx
2y23y1
0，并
22
4、方程2xx2的正根的个数为（）
x
A、3个B、2个C、1个D、0个
答案：
D
考点：
二次函数的图象；反比例函数的图象。
分析：
此题实质是求函数y!
2xx2和函数讨22的图象在一、四象限有没有交点，根据
x
两个已知函数的图象的交点情况，直接判断。
2
解答：
设函数y12xx2，函数y2—
x
•••函数％2xx2的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（1,1）,对称轴x1
2
函数y2-的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限
x
即方程2xx22的正根的个数为0个。
x
归纳：
此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关性质，同
学们应该熟记且灵活掌握。
2x3
5、方程xx11的所有整数解的个数是（）
A、2B、3C、4D、5
答案：
C
考点：
零指数幂。
专题：
分类讨论。
分析：
方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论。
第1种可能：
指数为0，底数不为0；
A、1和1B、丄和1C、1和1D、1和1
3232
答案：
B
考点：
解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解.
分析：
因为方程的两个根为3和1,所以方程可以方程因式为ax3x10,用含a的
式子表示b和c,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。
解答：
Tax2bxc0的两根为3和1
/•ax3x10
整理得：
ax22ax3a0
二b2a,c3a
把b,c代入方程bx2cxa0，得：
2ax23axa0
a2x1x10
1彳
--X1,x21
2
归纳：
本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含a
的式子表示b和c,然后把b,c代入后面的方程，用因式分解法可以求出方程的根。
7、实数x、y满足x2xyy22，记ux2xyy2，则u的取值范围是（）
A、2
3
u6
B、2u2C、1u6
3
D、1u2
答案：
A
考点：
完全平方公式。
专题：
综合题。
分析：
把原式的xy变为2xyxy，根据完全平方公式特点化简，
然后由完全平方式恒大于等
于0，得到
xy的范围；再把原式中的xy变为2xy3xy，冋理得到
xy的另一个氾围，求出两氾
围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出22xy的范围，最后利用已知x2xyy22表
示出x2y2，代入到u中得到u22xy,22xy的范围即为u的范围。
解答：
由x2xyy22得：
x22xyy22xy0
即xy22xy0，则xy2
由x2xyy22得：
x22xyy223xy0
即xy223xy0，则xy—
3
c2
2xy-
3
不等式两边同时乘以2得：
42xy4
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