一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。
a×b=c,当b=1时，c=a
（三）分数乘加、乘减混合运算及简算
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同。
2、整数乘法的运算定律对于分数乘法也同样适用。
3、合理地应用运算定律，可以使一些分数计算变得简便。
（四）求一个数的几分之几是多少的问题
解决问题（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）
1、画线段图：
（1）两个量的关系：
画两条线段图；
（2）部分和整体的关系：
画一条线段图。
2、找单位“1”：
在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面
3、求一个数的几倍：
一个数×几倍；求一个数的几分之几是多少：
一个数×
。
4、写数量关系式技巧：
（1）“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
（2）分率前是“的”：
单位“1”的量×分率=分率对应量
（3）分率前是“多或少”的意思：
单位“1”的量×（1
分率）=分率对应量
二．分数除法
（一）倒数的认识
1、乘积是1的两个数互为倒数。
强调：
互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。
（要说清谁是谁的倒数）。
2、求一个数（0除外）的倒数的方法：
（1）、求分数的倒数：
交换分子分母的位置。
（2）、求整数的倒数：
把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
（3）、求带分数的倒数：
把带分数化为假分数，再求倒数。
（4）、求小数的倒数：
把小数化为分数，再求倒数。
3、1的倒数是1；0没有倒数。
因为1×1=1；0乘任何数都得0，
（分母不能为0）
4、对于任意数
，它的倒数为
；非零整数
的倒数为
；分数
的倒数是
；
5、真分数的倒数大于1；假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1。
（二）分数除法
1、意义：
与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
2、计算方法：
甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。
（三）已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法
1、除法：
多少÷一个数
2、方程解法：
设这个数为x，几分之几×x=多少
（四）已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数的问题的解法
1、组合除法：
多少÷（1±几分之几）
2、方程解法：
设这个数为x，x±几分之几×x=多少
三．比
（一）比的意义
1、比的意义：
两个数相除又叫两个数的比。
2、比与分数、除法的关系：
3、区分比和比值
比：
表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：
相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
4、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
5、比和除法、分数的联系：
比
前项
比号“：
”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
6、比和除法、分数的区别：
除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。
7、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2：
0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。
（二）比的基本性质
1，比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
2，化简比：
把两个数的比化成最简单的整数比。
（1）按化简整数比的方法来化简。
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比：
用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再
③两个小数的比：
向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。
（2）用求比值的方法。
注意:
最后结果要写成比的形式。
如：
15∶10=15÷10=
=3∶2
（三）比的应用
按比例分配问题的解题方法：
先求出总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求出各部分量。
四．百分数
（一）百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。
百分数也叫百分率或百分比。
（二）百分数与小数的互化
“添右去左”
（三）百分数与分数的互化
1．百分数化成分数的方法：
先把百分数改写成分母是100的分数，再化成最简分数。
2．分数化成百分数的方法：
一般是先把分数化成小数，再把小数化成百分数，除不尽的小数要保留三位小数，百分数的分子保留一位小数。
有的分数，当分母是100的因数或倍数时，可把分数先改写成分母是100的分数，再改写成百分数。
（四）百分数解决问题
1．例1，课本p84，求命中率等常见的百分率
方法：
命中率=×100％，成活率=×100％，
发芽率=×100％，出勤率=×100％
合格率=×100％，及格率=×100％
2．例2，课本p85，求一个数的百分之几是多少（此类型对分数同样适用）
单位“1”：
一个数。
方法：
一个数×百分之几
3．例3，课本p89，求一个数比另一个数多（或少）百分之几，即求增减幅度。
（此类型对分数同样适用）
单位“1”：
另一个数。
方法：
差量÷单位“1”
4．例4，课本p90，求比一个数多（或少）百分之几的数是多少。
（此类型对分数同样适用）
单位“1”：
一个数。
方法：
一个数±一个数×百分之几
一个数×（1±百分之几）
5．例5，课本p90，求一个数连续两次增减变化。
单位“1”：
有两个。
方法：
有设数法和设1法。
即：
一个数×（1±百分之几）×（1±百分之几）
6．补充例1，已知一个数的百分之几是多少，求这个数？
（此类型对分数同样适用）
单位“1”：
一个数。
方法（简单除法）：
多少÷百分之几
7．补充例2，已知两个数，求一个数是（或占或相当于）另一个数的百分之几？
（此类型对分数同样适用）
单位“1”：
另一个数。
方法：
一个数÷另一个数。
8．补充例3，已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数？
（此类型对分数同样适用）
单位“1”：
一个数。
方法（组合除法）：
多少÷（1±百分之几）
方程解法：
设这个数为x，x±百分之几×x=多少
领域二图形与几何
一位置与方向
（一）在平面图上标出物体位置的方法
1、面对地图，上北下南，左西右东。
2、在平面图上标出物体位置的方法，先用量角器确定方向，再以选定的单位长度为基准用直尺来确定图上距离，最后找出物体的具体位置，标上名称。
（二）描述简单的行走路线
每走一步，都要说清从哪里走（观测点），向哪个方向走多远的距离。
（三）绘制简单的路线图
1、确定方向标和单位长度。
2、以起点为观测点，从起点出发，根据描述确定所走的方向和距离。
每走一段路，都要重新确定新的观测点。
二圆
（一）圆的各部分名称
1、圆心：
圆中心的一点叫做圆心，一般用字母O表示。
2、半径：
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。
3、直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。
（二）圆的特征
1、圆具有对称性，圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴。
2、在同圆或等圆中，半径的长度都相等，直径的长度都相等，直径的长度是半径长度的2倍。
d=2r，或r=。
（三）用圆规画圆的方法
1、先把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；
2、再把带有针尖的一只脚固定在一点上；
3、然后把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
（四）圆的周长
1、圆的周长：
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
一般用字母C表示。
2、圆周率：
圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。
一般用字母π表示。
（1）一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时，一般取π≈3.14。
（2）在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
（3）世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
3、圆的周长计算公式：
C=πd，或C=2πr。
4、区分周长的一半和半圆的周长：
周长的一半：
等于圆的周长÷2
计算方法：
2πr÷2即πr
半圆的周长：
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法：
πr＋2r即5.14r
（五）圆的面积
1、圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。
2、圆的面积计算公式：
S=πr2
3、圆的面积公式的推导：
把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。
拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
4、半圆的面积=2πr÷2
（六）圆环的面积
1、圆环的面积公式：
S环=πR2-πr2或S环=π（R2-r2）
2、外接圆和内切圆的面积
（七）圆的半径、直径、周长、面积的变化
1、一个圆的半径扩大或缩小多少倍，它的直径、周长也扩大或缩小多少倍，而它的面积扩大或缩小平方倍。
2、两个圆的半径之比=直径之比=周长之比，面积之比=半径之比的平方倍。
（九）求图形阴影部分的面积的方法
加法、减法、切割法、平移法。
常用各π值结果：
π=3.142π=6.283π=9.424π=12.565π=15.76π=18.847π=21.988π=25.129π=28.2610π=31.416π=50.2425π=78.536π=113.0464π=200.9696π=301.44
常用平方数结果
=121
=144
=169
=196
=225
=256
=289
=324
=361
领域三统计与概率
扇形统计图
（一）扇形统计图的表示方法
1、弧：
圆上任意两点之间的部分叫做弧。
2、扇形：
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
3、圆心角：
由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。
用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。
（二）扇形统计图的特点
可以很清楚的表示出各部分数量与总数之间的关系。
（三）解决问题
能读懂扇形统计图，并能根据统计图的信息，应用百分数知识解决问题。
（四）选择合适的统计图
1、常用的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图。
2、用统计图表示数据时，要根据实际情况选择合适的统计图：
（1）要表示出各种数量的多少时，选用条形统计图；
（2）既要表示出各种数量的多少，又要表示出数量增减变化的情况时，选用折线统计图；
（3）要表示出各部分数量与总数之间的关系时，选用扇形统计图。
数学广角数与形
1.有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。
本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。
例如，第109页第2题（如下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小圆，第4个图比第3个图增加4个小圆……这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是1，3，6，10，…，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…如果是第
个图，小圆的个数是
。
等学生将来学习了等差数列的有关知识，就知道第
个图形中小圆的个数是
。
2.而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。
尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。
例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。
3.还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。
例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。
小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。
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