高等数学解题步骤.docx

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高等数学解题步骤

解题步骤

一、求极限：

1）先代入判类型

2）再根据类型确定方法，如用到现成结论须说明。

例1、

【解】：

（1）

型

（2）原式=

（由第一个重要极限得）

或原式=

（由等价无穷小

）

例2、

【解】：

（1）

有界函数

（2）

，

有界

由无穷小性质：

原式=0

例3、

【解】：

（1）

型

（2）利用洛必达法则：

原式=

二、求导数：

1、利用定义求导数：

1）先写出导数定义式

导函数：

2）再将要求的式子凑成定义式

例1：

设

，求

【解】：

（1）

（2）令

，

原式=

例2：

设

，求

【解】：

（1）

（2）令

，

原式=

例3：

设有任意的

有

且

，证明：

当

时

【证明】：

（1）

（2）

（由已知）

（

）

2、求导数（复合函数、隐函数、参数方程导数、）

复合函数求导：

1）分解函数成简单函数。

2）写出复合函数的求导公式。

3）最后将中间变量回代。

例1、

，求

【解】：

（1）

（2）

例2、

，求

【解】：

（1）

（2）

例3、

，求

【解】：

（1）

（2）

隐函数求导：

1）写明等式两边同时对

求导。

2）利用复合函数的运算法则进行求导，遇含

的函数则先对

求导再乘以

。

3）解出

表达式。

4）如求

，则无需操作第3）步，只需将

代入2）中方程解得。

例1、方程

确定函数

，求

【解】：

（1）等式两边同时对

求导：

（2）

（3）

例2、方程

确定函数

，求

【解】：

（1）当

时

（2）等式两边同时对

求导：

（3）

，将

代入方程得

参数方程

求导：

1）先分别求出

2）写出公式

，

3）进行整理（若要求二阶导数的话）

例1、设

，求

【解】：

（1）

（2）

，令

（3）

3、对数求导法：

适用于求幂指函数或多个因子的乘积或商的导数

1）等式两边同时取对数。

2）等式两边同时对

求导（利用隐函数求导方法，等式左边的

导数为

）。

3）整理，并将

的表达式代入。

例1、设

，求

【解】：

（1）等式两边同时取对数：

（2）等式两边同时对

求导：

（3）

注：

若一函数不能直接用法则或上述方法求得，则将其分成若干个函数分别求

然后再用法则。

例2、设

，求

【解】：

不能直接用对数求导法

（1）设

（2）

由上题知

由复合函数求导

（3）

4、分段函数导数：

1）写出

在分段点处函数值。

2）利用左右导数的定义式求出分段点处的左右导数

；

。

3）其他点处直接用求导公式求，最后导函数写成分段函数

形式。

例1、设

，求

及

【解】：

（1）

（2）

不存在

（3）

（4）

5、高阶导数：

先求一阶，整理，然后逐阶求

;

例1、设

，求

【解】：

（1）

（2）

例2、设

，求

【解】：

（1）

（2）

同理

（3）

例3、设

，求

【解】：

（1）

（2）

6、求微分：

1）用上述步骤求出

。

2）写出微分公式

，再将

代入。

如求

，则

。

例1、设

【解】：

（1）

（2）

（3）

（4）

7、微分的近似计算：

1）将

化成

，（

为一很小的数），再设

。

2）求出

，进而求出

。

3）写出近似公式

进而将

代入进行计算。

4）如有现成近似计算公式，则可不必操作2），3）。

例1、求

【解】：

（1）

（2）

（3）

例2、求

【解】：

（1）利用公式：

很小时，

（2）

8、求切法线方程：

（1）写出切点。

（2）求出

，写出

=

，或

（此为隐函数形式）或

（此为参数方程形式）。

（3）写出切法线公式：

切线：

法线：

。

若

，则切线：

；法线：

若

，则切线：

；法线：

例1、求

在

处切法线方程

【解】：

（1）

，故切点坐标为

（2）

（3）切线：

法线：

例2、求

在

处切法线方程

【解】：

（1）

，故切点坐标为

（2）此为隐函数求导：

（3）切线：

法线：

三、应用题

1、分段函数在分段点处的连续性与可导性：

1）改写函数，写出其在分段点处的函数值。

2）连续性：

（1）分别求出

。

（2）验证

是否同时成立。

（3）若成立则函数在分段点处连续，有一式不成立就间断。

3）可导性：

（1）求出

。

（2）验证

成立否？

成立可导，不成立则不可导。

例1、设函数

，讨论其在

处的连续性与

可导性

【解】：

（1）

（2）连续性：

1）

所以

在

处连续。

（3）可导性：

1）

所以

在

处可导。

2、实际应用题：

1）根据已知条件建立数学模型。

2）根据要求求出所需结果。

例题：

参见上课笔记

三、证明题

1、根的存在性：

1）先设函数：

将所证结论里的

换成

，再将方程整理使

其右边为0，左边的表达式即为辅助函数

。

或直接将已知条件中要证的方程整理使其右边为0，

左边的表达式即为辅助函数

。

2）写出区间

：

即结论中

的取值范围，注意必须写成闭区间。

3）说明：

在

上连续。

（无需证明）。

4）验证：

。

5）必须说明由“零点存在定理”知。

。

。

。

。

。

6）若要证根唯一：

证

单调性。

例1、设

在

上连续且恒为正，证明：

对任意

必存在一点

，使得

【证明】：

1）

2）区间取为

，因为

在

上连续，所以

也在

上连续，而

，所以

在

上也连续。

3）因为

在

上恒为正，所以有

，

于是

4）由零点定理：

在

内至少存在

，

使得

，即

例2：

证明方程

在

有且仅有一个实根。

【证明】:

1）直接设

2）

，

在

上连续

3）

由零点定理

在

上至少存在一个实根；

4）

在

内单调递增，

所以

在

内有且仅有一个实根。

1、罗尔定理：

1）找出

及区间

。

2）说明：

在

上连续，在

内可导（无需证明）。

3）验证：

（必须验证）。

4）必须说明由“罗尔定理”知。

。

。

。

。

。

例1：

设

在

上可导，且有

，证明至少存在一点

内，使

【证明】:

1）设

，区间取为

。

2）

在

上连续，在

内可导。

3）

，于是

满足罗尔定理，所以

至少存在一点

，使得

，即

。

2、拉格朗日中值定理：

若证不等式：

1）找出

及区间

。

2）说明：

在

上连续，在

内可导（无需证明）。

3）说明由“拉格朗日中值定理”知。

。

。

。

。

。

4）讨论由

范围推得不等式成立。

若证一表达式恒为常数：

1）设该恒等式为

，区间

即为

取值范围。

2）说明：

在

上连续，在

内可导（无需证明）。

3）验证

。

4）说明由“拉格朗日中值定理推论”知

。

5）在

内任取一定值

代入

中求的

，

此时求出的

必为要证的等式右边的常数。

例1：

设

时，有

【证】：

1）设

，区间为

。

2）

在

上连续，在

内可导

3）由拉格朗日中值定理：

至少存在

，使

；

又

，于是

。

4）由

，于是

所以

，由于

，所以有

。

例2、求证：

当

时，有

【证明】：

1）设

，

2）

在

上连续，在

内可导

3）

4）由拉格朗日中值定理推论知

。

任取

，有

，于是有

。

例3、设

在

内具有二阶导数，满足

试证：

（1）

（2）

为常数。

【证明】：

1）设

2）

在

上连续，在

内可导

3）

4）所以由拉格朗日定理推论，得

。

令

得

。

即

5）设

所以由拉格朗日定理推论，得

。

注：

利用罗尔定理或拉格朗日定理证明时常见的辅助函数：

；