高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质.docx
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高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
线面垂直
●知识点
1.直线和平面垂直定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.
2.线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理:
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.
判定定理:
一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.
性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
3.三垂线定理和它的逆定理.
三垂线定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.
逆定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.
●题型示例
[例1]如图所示,已知点S是平面ABC外一点,
例1题图
∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,点A在直线SB和SC上的
射影分别为点E、F,求证:
EF⊥SC.
[解前点津]用分析法寻找解决问题的途径,假设
EF⊥SC成立,结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF,这样
SC⊥AE,结合AE⊥SB,可推证AE⊥平面SBC,因此证明
AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC,
∠ABC=90°,可以推证BC⊥AE,结合AE⊥SB完成AE⊥平
面SBC的证明.
[规X解答]
[解后归纳]题设中条件多,图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
[例2]已知:
M∩N=AB,PQ⊥M于Q,PO⊥N于O,OR⊥M于R,求证:
QR⊥AB.
[解前点津]由求证想判定,欲证线线垂直,方法有〔1〕a∥b,a⊥c
b⊥c;
(2)a⊥α,b
α
a⊥b;(3)三垂线定理与其逆定理.
由已知想性质,知线面垂直,可推出线线垂直或线线平行.
[解后归纳]处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题,要抓住“一个面〞、“四条线〞.
所谓“一个面〞:
就是要确定一个垂面,三条垂线共处于垂面之上.
所谓“四条线〞:
就是垂线、斜线、射影以与平面内的第四条线,这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身,应用时一般可按下面程序进行操作:
确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影,寻第四条线.
[例3]已知如图
(1)所示,矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点,将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图
(2)形状〔正三棱柱〕,若面对角线AB1⊥BC1,求证:
A1C⊥AB1.
例3题图解
(1)
[解前点津]题设主要条件是AB1⊥BC,而结论是AB1⊥A1C,题设,题断有对答性,可在ABB1A1上作文章,只要取A1B1中点D1,就把异面直线AB1与BC1垂直关系转换到ABB1A1同一平面内AB1与BD1垂直关系,这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB1与A1C垂直用同法〔对称原理〕转换到同一平面,取AB中点D即可,只要证得A1D垂直于AB1,事实上DBD1A1,为平行四边形,解题路子清楚了.
[解后归纳]证线线垂直主要途径是:
〔1〕三垂线正逆定理,〔2〕线面,线线垂直互相转化.
利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面内完成作解任务.
证线线垂直,线面垂直,常常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来,这种转化思想有普遍意义,利用割补法把几何图形规X化便于应用定义定理和公式,也是不容忽视的常用方法.
例4题图
[例4]空间三条线段AB,BC,CD,AB⊥BC,BC⊥CD,已知AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值X围是.
[解前点津]如图,在直角梯形ABCD1中,CD1=6,
AD1的长是AD的最小值,其中AH⊥CD1,AH=BC=4,HD1=3,
∴AD1=5;在直角△AHD2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为
[解后归纳]本题出题形式新颖、灵活性大,很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析,找出隐藏的条件很容易得出结论.
●对应训练分阶提升
一、基础夯实
1.设M表示平面,a、b表示直线,给出下列四个命题:
①
②
③
b∥M④
b⊥M.
其中正确的命题是()
A.①②B.①②③C.②③④D.①②④
2.下列命题中正确的是()
A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF与EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.那么,在四面体P—DEF中,必有()
第3题图
A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF
4.设a、b是异面直线,下列命题正确的是()
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:
l=β∩γ,l∥α,m
α和m⊥γ,那么必有()
A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径,C是圆周上一点,PC垂直于圆所在平面,若BC=1,AC=2,PC=1,则P到AB的距离为()
A.1B.2C.
D.
7.有三个命题:
①垂直于同一个平面的两条直线平行;
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直;
③异面直线a、b不垂直,那么过a的任一个平面与b都不垂直
其中正确命题的个数为()
A.0B.1C.2D.3
8.d是异面直线a、b的公垂线,平面α、β满足a⊥α,b⊥β,则下面正确的结论是()
A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合
B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合
C.α与β必相交且交线m与d一定不平行
D.α与β不一定相交
9.设l、m为直线,α为平面,且l⊥α,给出下列命题
1若m⊥α,则m∥l;②若m⊥l,则m∥α;③若m∥α,则m⊥l;④若m∥l,则m⊥α,
其中真命题的序号是()
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
10.已知直线l⊥平面α,直线m
平面β,给出下列四个命题:
①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α∥β.
其中正确的命题是()
A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②
二、思维激活
11.如图所示,△ABC是直角三角形,AB是斜边,三个顶点在平面α的同侧,它们在α内的射影分别为A′,B′,C′,如果△A′B′C′是正三角形,且AA′=3cm,BB′=5cm,CC′=4cm,则△A′B′C′的面积是.
12.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1C⊥B1D1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
13.如图所示,在三棱锥V—ABC中,当三条侧棱VA、VB、VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:
填上你认为正确的一种条件即可)
三、能力提高
14.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心,BE是VC边上的高.
第14题图
(1)求证:
VC⊥AB;
(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC
所成角的大小.
15.如图所示,PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
第15题图
(1)求证:
MN∥平面PAD.
(2)求证:
MN⊥CD.
(3)若∠PDA=45°,求证:
MN⊥平面PCD.
16.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BAD=60°,AB=4,AD=2,侧棱PB=
,PD=
.
(1)求证:
BD⊥平面PAD.
(2)若PD与底面ABCD成60°的角,试求二面角P—BC—A的大小.
第16题图
17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=
,M是CC1的中点,求证:
AB1⊥A1M.
18.如图所示,正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,M是AD的中点,N是BD′上一点,且D′N∶NB=1∶2,MC与BD交于P.
(1)求证:
NP⊥平面ABCD.
第18题图
(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.
(3)求点C到平面D′MB的距离.
第4课线面垂直习题解答
1.A两平行中有一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直,垂直于同一平面的两直线平行.
2.C由线面垂直的性质定理可知.
3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF,PE⊥PF.
4.D过a上任一点作直线b′∥b,则a,b′确定的平面与直线b平行.
5.A依题意,m⊥γ且m
α,则必有α⊥γ,又因为l=β∩γ则有l
γ,而m⊥γ则l⊥m,故选A.
6.D过P作PD⊥AB于D,连CD,则CD⊥AB,AB=
,
,
∴PD=
.
7.D由定理与性质知三个命题均正确.
8.A显然α与β不平行.
9.D垂直于同一平面的两直线平行,两条平行线中一条与平面垂直,则另一条也与该平面垂直.
10.B∵α∥β,l⊥α,∴l⊥m
11.
cm2设正三角A′B′C′的边长为a.
∴AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB2=a2+4,
又AC2+BC2=AB2,∴a2=2.
S△A′B′C′=
cm2.
12.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其它条件,例如ABCD是正方形,菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
点评:
本题为探索性题目,由此题开辟了填空题有探索性题的新题型,此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.
13.VC⊥VA,VC⊥AB.由VC⊥VA,VC⊥AB知VC⊥平面VAB.
14.
(1)证明:
∵H为△VBC的垂心,
∴VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,
∴BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.
(2)解:
由
(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,
∴AB⊥面DEC.
∴AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角,
∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,
∴VC在底面ABC上的射影为CD.
∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,
∴VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,
∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,
∴VC与面ABC所成角为60°.
15.证明:
(1)如图所示,取PD的中点E,连结AE,EN,
则有EN∥CD∥AB∥AM,EN=
CD=
AB=AM,故AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
第15题图解
∵AE平面PAD,MN平面PAD,∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AB.
又AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE,即AB⊥MN.
又CD∥AB,∴MN⊥CD.
(3)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.
又∠PDA=45°,E为PD的中点.
∴AE⊥PD,即MN⊥PD.又MN⊥CD,
∴MN⊥平面PCD.
16.如图
(1)证:
由已知AB=4,AD=2,∠BAD=60°,
第16题图解
故BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=4+16-2×2×4×
=12.
又AB2=AD2+BD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,
即AD⊥BD.在△PDB中,PD=
,PB=
,BD=
,
∴PB2=PD2+BD2,故得PD⊥BD.又PD∩AD=D,
∴BD⊥平面PAD.
(2)由BD⊥平面PAD,BD
平面ABCD.
∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E,
又PE平面PAD,
∴PE⊥平面ABCD,∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.
∴∠PDE=60°,∴PE=PDsin60°=
.
作EF⊥BC于F,连PF,则PF⊥BF,
∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.
又EF=BD=
,在Rt△PEF中,
tan∠PFE=
.
故二面角P—BC—A的大小为arctan
.
17.连结AC1,∵
.
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1,
∴∠AC1C=∠MA1C1,
∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.
∴A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱,
∴CC1⊥B1C1,又B1C1⊥A1C1,∴B1C1⊥平面AC1M.
由三垂线定理知AB1⊥A1M.
点评:
要证AB1⊥A1M,因B1C1⊥平面AC1,由三垂线定理可转化成证AC1⊥A1M,而AC1⊥A1M一定会成立.
18.
(1)证明:
在正方形ABCD中,
∵△MPD∽△CPB,且MD=
BC,
∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2.
又已知D′N∶NB=1∶2,
由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′,又DD′⊥平面ABCD,
∴NP⊥平面ABCD.
(2)∵NP∥DD′∥CC′,
∴NP、CC′在同一平面内,CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.
又由CC′⊥平面ABCD,得CC′⊥CD,CC′⊥CM,
∴∠MCD为该二面角的平面角.
在Rt△MCD中可知
∠MCD=arctan
,即为所求二面角的大小.
(3)由已知棱长为a可得,等腰△MBC面积S1=
,等腰△MBD′面积S2=
,设所求距离为h,即为三棱锥C—D′MB的高.
∵三棱锥D′—BCM体积为
,
∴