北师大版七年级下册第13讲等腰三角形基础班.docx

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北师大版七年级下册第13讲等腰三角形基础班

第13讲等腰三角形

知识点1等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值

1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.

2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.

【典例】

1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.

【解析】解：

①如下图，当高在三角形内部时，

，

∴∠A=30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，

②如下图，当高在三角形外部时，

，

则∠BAD=30°，

∴∠BAC=150°，

∴∠ABC=∠ACB=15°，

所以此三角形的底角等于75°或15°．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．

2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.

【解析】解：

设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，

当底边长为x﹣12时，

根据题意，得2x+x﹣12=27，

解得x=13，

∴腰长为13，

此时底边长为13-12=1，

满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

当底边长为x+12时，

根据题意，得2x+x+12=27，

解得x=5，

此时底边长为5+12=17，

因为5+5＜17，所以构不成三角形，

故这个等腰三角形的腰的长为13.

【方法总结】

已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：

一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.

【随堂练习】

1．（2018•哈尔滨）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为__________．

【解答】解：

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠B=∠C=40°，

∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，

∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，

∴∠ADC=130°，

当∠ADB=90°时，则

∠ADC=90°，

故答案为：

130°或90°．

2．（2018•杨浦区三模）如果等腰三角形的两内角度数相差45°，那么它的顶角度数为________．

【解答】解：

设顶角为x度，则

当底角为x°﹣45°时，2（x°﹣45°）+x°=180°，

解得x=90°，

当底角为x°+45°时，2（x°+45°）+x°=180°，

解得x=30°，

∴顶角度数为90°或30°．

故答案为：

90°或30°．

3．（2018•东莞市二模）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为_____．

【解答】解：

若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三边关系；

若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（10﹣2）÷2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；

故答案为：

2cm．

4．（2018•澄海区一模）若等腰三角形的两条边长是3和4，则它的周长为_____．

【解答】解：

①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，

能组成三角形，周长=3+3+4=10，

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，

能组成三角形，周长=3+4+4=11，

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．

故答案为：

10或11．

5．（2017秋•滕州市期末）一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为　______

【解答】解：

①当110°外角是底角的外角时，底角为：

180°﹣110°=70°，

②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：

180°﹣110°=70°，

则底角为：

（180°﹣70°）×

=55°，

∴底角为70°或55°．

故答案为：

70°或55°．

知识点2等腰三角形的性质---边角关系

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），

即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.

【典例】

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.

【解析】解：

设∠ACE=

，∠ECD=

，∠DCB=

，

∵BC=BE，

∴∠CED=∠ECB=

，

∵AC=AD，

∴∠ADC=∠ACD=

，

在△CDB中，∠B=

，

在△ACE中，∠A=

，

在△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，即

=90°，

∴2

=90°，

解得

=45°．

于是∠DCE=45°．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．

2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.

【解析】解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，

∴△ABC的周长﹣△EBC的周长

=（AB+AC+BC）-（AC+BC）

=AB，

∴AB=40﹣24=16．

【方法总结】

本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解.

【随堂练习】

1.（2017秋•番禺区期末）如图，△ABC中∠A=∠ABC，DE垂直平分BC交BC于点D，交AC于点E

（1）若AB=5，BC=8，求△ABE的周长；

（2）若BE=BA，求∠C的度数．

【解答】解：

（1）∵DE是BC的垂直平分线，

∴BE=CE，

∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC，

∵AB=5，BC=8，

∴△ABE的周长=5+8=13，

（2）∵BE=BA，

∴∠A=∠AEB，

∵BE=CE，

∴∠EBC=∠C，

∴∠A=∠AEB=∠EBC+∠C=2∠C，

∵∠A+∠ABC+∠C=5∠C=180°，

解得：

∠C=36°．

2．（2017秋•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠ECD的度数；

（2）若CE=5，求BC的长．

【解答】解：

（1）∵DE垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠ECD=∠A=36°；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠ACB=72°．

∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°，

∴∠B=∠BEC，

∴BC=CE=5．

知识点3等腰三角形的性质---三线合一

等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

例：

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，

①AD⊥BC②BD=CD③AD平分∠BAC,

上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.

即①

②，③；②

①，③；③

①，②.

【典例】

1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC边上的一点，且∠CBE=∠CAD．

求证：

BE⊥AC．

【解析】证明：

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠CAD+∠C=90°，

又∵∠CBE=∠CAD，

∴∠CBE+∠C=90°，

∴∠BEC=90°，

即BE⊥AC．

【方法总结】

本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.

注：

等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.

【随堂练习】

1．（2017秋•南平期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：

BE⊥AC．

【解答】证明：

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠CAD+∠C=90°，

又∵∠CBE=∠CAD，

∴∠CBE+∠C=90°，

∴BE⊥AC．

2．（2017秋•惠城区期末）如图，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC的度数？

【解答】解：

∵△ABC中，AB=AC，∠A=50°，

∴∠ABC=∠C=

（180°﹣∠A）=65°，

∵AB的垂直平分线MN交AC于D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=50°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．

知识点4等腰三角形的判定与性质

1.等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.

2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.

【典例】

1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______个．

【答案】9

【解析】解：

①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；

②以AB作为等腰三角形的一个腰，

当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，

当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，

综合①②可知，符合条件的点C共有9个.

故答案是：

9.

【方法总结】

本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.

2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．

【答案】

或10

【解析】解：

当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；

如图1所示：

当P点在O的左侧时，

∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t

∴当PO=QO时，

10﹣2t=t

解得t=

；

即当t=

时，△POQ是等腰三角形；

如图2所示：

当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，

∵∠BOC=60°，

∴△POQ是等边三角形，

∴PO=QO=PQ

∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；

∴2t﹣10=t；

解得t=10；

故答案为：

或10．

【方法总结】

本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．

3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．

（1）求证：

DE=CE．

（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．

【解析】证明：

（1）∵CD是∠ACB的平分线，

∴∠BCD=∠ECD．

∵DE∥BC，

∴∠EDC=∠BCD，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=CE．

（2）解：

∵∠ECD=∠EDC=35°，

∴∠ACB=2∠ECD=70°．

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．

【方法总结】

本题主要考查的是“平行+角分线”模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.

模型如下：

如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）

上述条件任意两个成立则第三个也成立.

即①②

③；①③

②；②③

①.

【随堂练习】

1．（2018•平谷区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：

DE∥AB．

【解答】证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵EF垂直平分CD，

∴ED=EC．

∴∠EDC=∠C．

∴∠EDC=∠B．

∴DE∥AB．

2．（2017春•郓城县期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，且交∠BAC的平分线于点D，求证：

MD=MA．

【解答】证明：

∵MD⊥BC，且∠B=90°，

∴AB∥MD，

∴∠BAD=∠D

又∵AD为∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠MAD，

∴∠D=∠MAD，

∴MA=MD

综合运用

1.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.

【答案】2

【解析】解：

如上图：

分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；

②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．

因为S△ABC=1.5，

所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．

故答案为：

2．

2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：

①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE

其中正确的结论有_________．

【答案】①④

【解析】解：

①∵D是BC的中点，AB=AC，

∴AD⊥BC，故①正确；

②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，

∴无法证明CF⊥AE，故②错误；

③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；

④∵D是BC的中点，

∴BD=DC，

∵AB=CE，

∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．

故其中正确的结论有①④．

故答案为：

①④．

3.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：

DE=DF．

【解析】证明：

连接AD，

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠EAD=∠FAD，

在△AED和△AFD中，

，

∴△AED

△AFD（SAS），

∴DE=DF．

4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．

（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；

（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

【解析】解：

（1）∵DE⊥AC于点E，

∴∠AED=90°，

∵∠D=20°，

∴∠CAD=90°-∠D=90°-20°=70°，

∵AD∥BC，

∴∠C=∠CAD=70°，

∵∠BAC=70°，

∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC-∠C=40°，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形.

（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，

∴BD⊥AC，

∵△ABC是等腰三角形，

∴DB是∠ABC的平分线．

5.已知等腰三角形△ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．

【解析】解：

如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD．设AB=AC=x，BC=y，

（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，

根据题意得，

，

，

解得x=10，y=7．

（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，

根据题意得，

，

，

解得x=8，y=11，

故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．

6.如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=16，求△ODE的周长.

【解析】解：

∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO=∠DBO，

又OD∥AB，

∴∠ABO=∠DOB，

∴∠DBO=∠DOB，

∴OD=BD，

同理OE=CE，

∵BC=16，

则△ODE的周长为：

OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．