北师大版七年级下册第13讲等腰三角形基础班.docx

1、北师大版七年级下册 第13讲等腰三角形基础班第13讲 等腰三角形 知识点1 等腰三角形的相关概念-分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：如下图，当高在三角形内部时，A=30，ABC=ACB=75，如下图，当高在三角形外部时，则BAD=30，BAC=150，ABC=ACB=15，所以此三角形的底角等于75或15【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三

2、角形的边上），解题时注意需要分类讨论2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x12或x+12，当底边长为x12时，根据题意，得2x+x12=27，解得x=13，腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+517，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种

3、是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1（2018哈尔滨）在ABC中，AB=AC，BAC=100，点D在BC边上，连接AD，若ABD为直角三角形，则ADC的度数为_【解答】解：在ABC中，AB=AC，BAC=100，B=C=40，点D在BC边上，ABD为直角三角形，当BAD=90时，则ADB=50，ADC=130，当ADB=90时，则ADC=90，故答案为：130或902（2018杨浦区三模）如果等腰三角形的两内角度数相差45，那么它的顶角度数为_【解答】解：

4、设顶角为x度，则当底角为x45时，2（x45）+x=180，解得x=90，当底角为x+45时，2（x+45）+x=180，解得x=30，顶角度数为90或30故答案为：90或303（2018东莞市二模）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为_【解答】解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为1022=6（cm），2+26，不符合三角形的三边关系；若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（102）2=4（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，4cm，4cm，符合三角形的三边关系；故答案为：2cm4（2018澄海区一模）若等腰三角形的两条边长是3和4，则它的周长为_

5、【解答】解：3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，能组成三角形，周长=3+3+4=10，3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，能组成三角形，周长=3+4+4=11，综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11故答案为：10或115（2017秋滕州市期末）一等腰三角形一个外角是110，则它的底角的度数为_【解答】解：当110外角是底角的外角时，底角为：180110=70，当110外角是顶角的外角时，顶角为：180110=70，则底角为：（18070）=55，底角为70或55故答案为：70或55知识点2 等腰三角形的性质-边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在ABC，A

6、B=AC，可得B=C.【典例】1.如图，在ABC中，ACB=90，AD=AC，BE=BC，求DCE的大小.【解析】解：设ACE=，ECD=，DCB=，BC=BE，CED=ECB=，AC=AD，ADC=ACD=，在CDB中，B= ，在ACE中，A=，在ABC中，ACB=90，A+B=90，即=90，2=90，解得=45于是DCE=45【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答2.如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ABC与EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：DE是AB的垂直平

7、分线，AE=BE，ABC的周长=AB+AC+BC，EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，ABC的周长EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，AB=4024=16【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】1.（2017秋番禺区期末）如图，ABC中A=ABC，DE垂直平分BC交BC于点D，交AC于点E（1）若AB=5，BC=8，求ABE的周长；（2）若BE=BA，求C的度数【解答】解：（1）DE是BC的垂直平分线

8、，BE=CE，ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+CE=AB+AC，AB=5，BC=8，ABE的周长=5+8=13，（2）BE=BA，A=AEB，BE=CE，EBC=C，A=AEB=EBC+C=2C，A+ABC+C=5C=180，解得：C=362（2017秋濮阳期末）如图，在ABC中，AB=AC，A=36，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC（1）求ECD的度数；（2）若CE=5，求BC的长【解答】解：（1）DE垂直平分AC，AE=CE，ECD=A=36；（2）AB=AC，A=36，ABC=ACB=72BEC=A+ACE=72，B=BEC，BC=CE=5知识点3 等腰三角形的

9、性质-三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知ABC是等腰三角形，AB=AC，ADBC BD=CD AD平分BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即，；，；，.【典例】1.如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且CBE=CAD求证：BEAC 【解析】证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，ADBC，CAD+C=90，又CBE=CAD，CBE+C=90，BEC=90，即BEAC【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶

10、点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1（2017秋南平期末）如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且CBE=CAD求证：BEAC【解答】证明：AB=AC，AD是BC边上的中线，ADBC，CAD+C=90，又CBE=CAD，CBE+C=90，BEAC2（2017秋惠城区期末）如图，AB=AC，A=50，AB的垂直平分线MN交AC于D，求DBC的度数？【解答】解：ABC中，AB=AC，A=50，ABC=C=（180A）=65，AB的垂直平分线MN交AC于D，

11、AD=BD，ABD=A=50，DBC=ABCABD=6550=15知识点4 等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_ 个【答案】9 【解析】解：以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是

12、等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，BOC=60，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_s时，POQ是等腰三角形 【答

13、案】或10 【解析】解：当PO=QO时，POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，PO=AOAP=102t，OQ=1t当PO=QO时，102t=t解得t=；即当t=时，POQ是等腰三角形；如图2所示：当P点在O的右侧，POQ是等腰三角形 ， BOC=60 ，POQ是等边三角形， PO=QO=PQPO=APAO=2t10，OQ=1t；2t10=t；解得t=10；故答案为：或10【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于POQ=60，可得出POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解3.如图，在ABC中，AB=A

14、C，CD是ACB的平分线，DEBC，交AC于点E（1）求证：DE=CE（2）若CDE=35，求A的度数 【解析】证明：（1）CD是ACB的平分线，BCD=ECDDEBC，EDC=BCD，EDC=ECD，DE=CE（2）解：ECD=EDC=35，ACB=2ECD=70AB=AC，ABC=ACB=70，A=1807070=40【方法总结】本题主要考查的是 “平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.模型如下：如图所示，1=2；ACBD;AB=AC（ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即；.【随堂练习】1（2018平谷区一模）如图，在ABC中，AB=AC，点D

15、是BC边上一点，EF垂直平分CD，交AC于点E，交BC于点F，连结DE，求证：DEAB【解答】证明：AB=AC，B=CEF垂直平分CD，ED=ECEDC=CEDC=BDEAB2（2017春郓城县期末）如图，在ABC中，B=90，M是AC上任意一点（M与A不重合）MDBC，且交BAC的平分线于点D，求证：MD=MA【解答】证明：MDBC，且B=90，ABMD，BAD=D又AD为BAC的平分线BAD=MAD，D=MAD，MA=MD综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1已知A、B是两格点，若ABC为等腰三角形，且SABC=1.5，则满足条件的格点C有_个. 【答案】2 【解析】解：

16、如上图：分情况讨论AB为等腰ABC底边时，符合ABC为等腰三角形的C点有4个；AB为等腰ABC其中的一条腰时，符合ABC为等腰三角形的C点有4个因为SABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点故答案为：22.如图，C是ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：ADBC；CFAE；1=2；AB+BD=DE其中正确的结论有_ 【答案】 【解析】解：D是BC的中点，AB=AC，ADBC，故正确；虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点， 无法证明CFAE，故错误；由可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明1=2，故错误；D是BC的中点

17、，BD=DC，AB=CE，AB+BD=CE+DC=DE，故正确故其中正确的结论有故答案为：3.如图，ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE=AF，求证：DE=DF【解析】证明：连接AD，AB=AC，D是BC的中点，EAD=FAD，在AED和AFD中，AEDAFD（SAS），DE=DF4.如图，ADBC，BAC=70，DEAC于点E，D=20（1）求B的度数，并判断ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是ABC的平分线 【解析】解：（1）DEAC于点E，AED=90，D=20，CAD=90-D =90-20=70，ADBC，C=CAD=70，

18、BAC=70，BAC=C，B=180-BAC- C =40，AB=AC，ABC是等腰三角形.（2）延长线段DE恰好过点B，DEAC，BDAC，ABC是等腰三角形，DB是ABC的平分线5.已知等腰三角形ABC，AB=AC，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长【解析】解：如图，在ABC中，AB=AC，且AD=BD设AB=AC=x，BC=y，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，根据题意得，解得x=10，y=7（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，根据题意得，解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，116.如图，O是ABC的ABC，ACB的角平分线的交点，ODAB交BC于D，OEAC交BC于E，若BC=16，求ODE的周长. 【解析】解：BO平分ABC，ABO=DBO，又ODAB，ABO=DOB，DBO=DOB，OD=BD，同理OE=CE，BC=16，则ODE的周长为： OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16