春季学期新版新人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》专项训练含答案.docx
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春季学期新版新人教版九年级数学下册《第28章锐角三角函数》专项训练含答案
第28章锐角三角函数专项训练
专训1 求锐角三角函数值的常用方法
名师点金：
锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．
直接用锐角三角函数的定义
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，
（第1题）
则tanB的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝
，求sinC的值．
（第2题）
3．如图，直线y＝
x＋
与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.
（1）求点B的坐标；
（2）求sin∠BAO的值．
（第3题）
利用同角或互余两角三角函数间的关系
4．若∠A为锐角，且sinA＝
，则cosA＝（ ）
A．1B.
C.
D.
5．若α为锐角，且cosα＝
，则sin（90°－α）＝（ ）
A.
B.
C.
D.
6．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．
巧设参数
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝
，则tanB的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c满足b2＝（c＋a）（c－a）．若5b－4c＝0，求sinA＋sinB的值．
利用等角来替换
9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E且AH＝2CH，求sinB的值．
（第9题）
专训2 同角或互余两角的三角函数关系的应用
名师点金：
1．同角三角函数关系：
sin2α＋cos2α＝1，tanα＝
.
2．互余两角的三角函数关系：
sinα＝cos（90°－α），cosα＝sin（90°－α），tanα·tan（90°－α）＝1.
同角间的三角函数的应用
1．已知
＝4，求
的值．
2．若α为锐角，sinα－cosα＝
，求sinα＋cosα的值．
余角间的三角函数的应用
3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是（ ）
A．sin（45°－α）＝sin（45°＋α）
B．sin2（45°－α）＋cos2（45°＋α）＝1
C．sin2（45°－α）＋sin2（45°＋α）＝1
D．cos2（45°－α）＋sin2（45°＋α）＝1
4．计算tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°的值．
同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用
5．已知sinα·cosα＝
（α为锐角），求一个一元二次方程，使其两根分别为sinα和cosα.
6．已知α为锐角且sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求
的值．
专训3 用三角函数解与圆有关问题
名师点金：
用三角函数解与圆有关的问题，是近几年中考热门命题内容，题型多样化；一般以中档题、压轴题形式出现，应高度重视．
一、选择题
1．如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB＝（ ）
A.
B.
C.
D.
（第1题）
（第2题）
2．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝
，BC＝4，则AC的长为（ ）
A．1B.
C．3D.
3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝
.⊙O过B，C两点，且⊙O半径r＝
，则OA的长为（ ）
A．3或5B．5C．4或5D．4
4．如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D＝30°.下列四个结论：
（第4题）
①OA⊥BC；
②BC＝6
cm；
③sin∠AOB＝
；
④四边形ABOC是菱形．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.
（第5题）
（第6题）
6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝________.
7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点（不与A，B重合），则cosC的值为________．
（第7题）
（第8题）
8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE＝________.
三、解答题
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝
，tanB＝
，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D，E，得到.
（1）求证：
AB为⊙C的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
（第9题）
10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.
（1）求证：
AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．
（第10题）
11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
（1）求证：
DC＝DE；
（2）若tan∠CAB＝
，AB＝3，求BD的长．
（第11题）
12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且＝.
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．
（第12题）
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC，BD交于点E，点O在线段AE上，⊙O过B，D两点，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝
.
求证：
CB是⊙O的切线．
（第13题）
答案
1．C
2．解：
∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝
.
∵tan∠BAD＝
，AD＝12，∴
＝
，∴BD＝9.
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，
∴在Rt△ADC中，AC＝
＝
＝13，
∴sinC＝
＝
.
3．解：
（1）解方程组
得
∴点B的坐标为（1，2）．
（第3题）
（2）如图，过点B作BC⊥x轴于点C，由
x＋
＝0，解得x＝－3，
则A（－3，0），∴OA＝3，
∴AB＝
＝2
，
∴sin∠BAC＝
＝
＝
，
即sin∠BAO＝
.
4．D 5.B 6.30° 7.B
8．解：
∵b2＝（c＋a）（c－a），∴b2＝c2－a2，
即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形．
∵5b－4c＝0，∴5b＝4c，
则
＝
，设b＝4k，c＝5k，那么a＝3k.
∴sinA＋sinB＝
＋
＝
.
9．解：
∵CD是斜边AB的中线，
∴CD＝AD＝BD.
∴∠DCB＝∠B.
∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，
∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.
在Rt△ACH中，AH＝2CH，
∴AC＝
CH.∴sinB＝sin∠CAH＝
＝
.
1．分析：
本题可利用
求解，在原式的分子、分母上同时除以cosA，把原式化为关于
的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由
＝4，得到sinA与cosA之间的数量关系，代入式子中求值．
解：
（方法1）原式＝
＝
.
∵
＝4，∴原式＝
＝
.
（方法2）∵
＝4，∴sinA＝4cosA.
∴原式＝
＝
＝
.
2．分析：
要求sinα＋cosα的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．
解：
∵sinα－cosα＝
，∴（sinα－cosα）2＝
，
即sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝
.
∴1－2sinαcosα＝
，即2sinαcosα＝
.
∴（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋
＝
.
又∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.
∴sinα＋cosα＝
.
3．C 点拨：
∵（45°－α）＋（45°＋α）＝90°，∴sin（45°－α）＝cos（45°＋α），sin2（45°－α）＋sin2（45°＋α）＝cos2（45°＋α）＋sin2（45°＋α）＝1.
4．解：
tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°＝（tan1°·tan89°）·（tan2°·tan88°）·…·（tan44°·tan46°）·tan45°＝1.
点拨：
互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tanα·tanβ＝1.
5．解：
∵sin2α＋cos2α＝1，sinα·cosα＝
，
∴（sinα＋cosα）2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2×
＝
.
∵α为锐角，∴sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝
.
又∵sinα·cosα＝
，
∴以sinα，cosα为根的一元二次方程为x2－
x＋
＝0.
点拨：
此题用到两方面的知识：
（1）公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；
（2）若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0
6．解：
∵sinα是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，
∴由求根公式，得
sinα＝
＝
.
∴sinα＝
或sinα＝3（不符合题意，舍去）．
∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－
＝
.
又∵cosα＞0，∴cosα＝
.
∴
＝
＝
＝|sinα－cosα|＝
＝
.
一、1.D
2．D 点拨：
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠B＝∠ACD.∴cosB＝
＝
，∴AB＝
.∴AC＝
＝
.
3．A 4.B
二、5.
6.
7.
8.
三、
（第9题）
9．
（1）证明：
如图，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tanB＝
＝
，∴BC＝2AC＝2
.∴AB＝
＝
＝5，∴CF＝
＝
＝2.∴AB为⊙C的切线．
（2）解：
S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝
AC·BC－
＝
×
×2
－
＝5－π.
10．
（1）证明：
∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线．
（2）解：
如图，过点C作CD⊥AB于D，则∠TAC＝∠ACD，tan∠TOA＝
＝
＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝
x＝OA.∵AD＝AO－OD＝（
－1）x，∴tan∠TAC＝tan∠ACD＝
＝
＝
.
（第10题）
（第11题）
11．
（1）证明：
连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°.
又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠
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