北京首师大附中初一分班考试数学试题讲解.docx
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北京首师大附中初一分班考试数学试题讲解
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北京首师大附中初一分班考试试题讲解
一、填空题：
1、2310的所有约数的和是_______。
先分解质因数,2310=2*3*5*7*11
求约数个数，质因数的指数加一，相乘。
（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=32
求所有约数和，对于每个质因数,从1开始,加到对应质因数的最高次数,然后再相乘。
（1+2）*（1+3）*（1+5）*（1+7）*（1+11）=6912
例如:
99=3×3×11=3²×11
所有约数的和,就是:
（1+3+3²）×（1+11）=156
2、用
分别去除某一个分数，结果都是整数，那么这个分数最小是。
用5/28、15/56、1又1/20分别去除某分数，相当于用28/5、56/15、20/21去乘它，所以此数分子必定是这些数分母的最小公倍数（为了让它最小），分母必定是它们分子的最大公约数（为了让它最小），所以：
28、56、20的最大公约数是4，5、15、21的最小公倍数是105，所以它是105/4。
3、今年2月9日是星期五，问经过19941994……1994天，是星期________。
（包括今天）
1994÷7=284…6即每经历1994天星期几就得往前推6天
如“今年2月9日是星期五”，历经一个1994天后是星期四（星期五再往前推6天）
但要经历1994个1994天，而每个1994天就必须把星期几往前推6天，于是，就必须往后推1994×6=11964天
而11964÷7=1709…1，即往后推一天，故是星期六。
4、甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件共花3.15元；如果购买甲4件、乙10件、丙1件共花4.20元，那么购买甲、乙、丙各1件需_____元钱。
设甲乙丙分别单价分别是X,Y,Z元
3X+7Y+Z=3.15,
（1）
4X+10Y+Z=4.2,
（2）
（2）-
（1）:
X+3Y=4.2-3.15=1.05
代回
（1）：
3X+7Y+Z=3（X＋3Y）-2Y+Z=3*1.05-2Y+Z=3.15
Z-2Y=0,Z=2Y.
X+Y+Z=X+Y+2Y=X+3Y=1.05
5、从1、2、3、…、1998、1989这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？
解：
每8个连续自然数中，至少只能取四个数，其中每两个数的差不等于4.
把1989个数依次每8个分成一组，最后5个数也成一组，即
1，2，3，4，5，6，7，8；
9，10，11，12，13，14，15，16；
…
1977，1978，1979，1980，1981，1982，1983，1984；
1985，1986，1987，1988，1989.
又1989÷8=248……5
因此可以分成249组，每一组都取前4个数，显然这些取出的数满足要求.这样共取出数
249×4=996（个）
答：
最多可以取出996个数.
6、（如图）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2厘米，CD＝2厘米,CB=3厘米,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是______平方厘米。
7、六年级同学采了10千克蘑菇，这些蘑菇的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重____千克。
解：
蘑菇含水量99%时，干蘑菇重10x（1-99%）=0.1KG
含水量为98%时，蘑菇重为0.1/（1-98%）=5KG
此时蘑菇重5公斤。
8、从楼下经过一些台阶走到楼上，规定你每一步只能跨上一级或两级台阶。
问：
（1）从楼下登上第五级台阶，有多少种不同的走法？
（2）从楼下登上第十级台阶，有多少种不同的走法？
解：
用递推即可
到达第一级有a1=1种方法，
到达第二级有a2=2种方法，（一步，或两步）
到达第三级可以从第一级上，也可以从第二级上
所以a3=a1+a2=3
同理a4=a3+a2=5
a5=a4+a3=8
即共有8种登法
a6=a5+a4=13
a7=a6+a5=21
a8=a7+a6=34
a9=a8+a7=55
a10=a9+a8=89
即共有89种登法
9、图中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式。
那么所得的乘积是。
76
X396
————
456
684
228
————
30096
先说那个9
设两位数为ab，三位数为def，假设结果是ABCD
ab*d得到220多，a*d=3*7，4*5不可能，其他更不可能，所以a=7,d=3或者a=3,d=7
ab*e得到三位数，A不是2，最多是3
那么ab*e的百位+2再加进位超过10，进位可能进1进2，所以ab*e的百位至少是6，可能是7，8
所以a>6，e=9
所以a=7,d=3
7b*3=220多，4<=b<=6，74*3=222不符合，所以5<=b<=6
如果b是5，75*3=225，75*9=685=>最终四位数百位向千位进位至少是2
5+8=13，20-13=7，75*f>700这样的f是不存在的
所以b是6
ab=76，76*3=228，76*9=684=>76*f>400，6<=f<=9
f=7，76*7=532，含2不符合
f=8，76*8=608，最终四位数百位是2，不符合
f=9，76*9=684，最终四位数十位是2，不符合
所以f=6
所以是76*396=30096
10、一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是时刻？
有两个答案：
设一个是4时x分，另一个是5时y分。
x－25＝25－（4×5＋1/12x）
x＝27又9/13
5×5＋1/12y－25＝25－y
y＝23又1/13
以钟面上60个小格为计算单位
分针每分钟跑1格，时针每分钟跑1/12格
假设时针在前，分针在后，此时是4时x分
150-（120+0.5x）=6x-150
6.5x=180
x=360/13
x=27又9/13
所以此时是4时27又9/13分
假设时针在后，分针在前，此时是5时x分
0.5x=150-6x
6.5x=150
x=300/13
x=23又1/13
所以此时是5时23又1/13分
二、解答题：
11、有50名学生参加联欢会。
第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？
解：
设女生有a人，男生有b人。
a+b=50（方程一）
1个女生b个男生
2个女生b-1个男生
3个女生b-2个男生
......
a个女生b-（a-1）
b-（a-1）=7（方程二）
解得b=28
答：
男生有28人。
12、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校。
每个站都有学生上车。
第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。
车到学校时，车上最少有多少学生？
1+2+4+8+16=31...加上司机32不加司机31人
13、一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。
求水流的速度。
顺水速：
逆水速=（120-60）：
（120-80）=60:
40=3:
2
顺水速（120+80×3/2）÷16=240÷16=15千米/小时
逆水速（120×2/3+80）÷16=160÷16=10千米/小时
水速（15-10）÷2=2.5千米/小时
14、一空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管.单开甲管需5分钟注满水池,单开乙管需10分钟注满水池,满池水如果单开排水管需6分钟流尽.某次池中没有水,打开甲管若干分钟后,发现排水管未关上,随即关上排水管,同时打开乙管,又过了同样长的时间,水池的1/4注了水.如果继续注满水池,前后一共要花多少时间?
单开甲管需5分钟注满水池，则甲每分钟注入1/5；
单开乙管需10分钟注满水池，则乙每分钟注入1/10；
单开排水管需6分钟流尽，则排水管每分钟排水1/6；
1）假设水池的1/4注满水，花的时间为2n
由题意可列方程：
（1/5-1/6）n+（1/5+1/10）n=1/4
解之得n=3/42n=3/2
2）再假设注满水池剩下的3/4，需要的时间为m
由题意可列方程：
（1/5+1/10）m=3/4
解之得m=5/2
答：
前后一共需要的时间为2n+m=4分钟
【5106】30
设：
水池的注水量为30份。
水池的1/4：
30x1/4=7.5份
还剩下：
30-7.5=22.5份
甲管1分钟能注：
30÷5=6份
乙管1分钟能注：
30÷10=3份
丙管1分钟能排：
30÷6=5份
甲乙1分钟：
6+3=9份
甲丙1分钟：
6-5=1份
9+1=10份
7.5份÷10份=3/4
1x3/4=3/4（分钟）
前后一共要花：
3/4+3/4+22.5/9=4（分钟）
15．下面是一个算式：
1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×6
这个算式的得数能否是某个数的平方？
这六个加数的个位依次是1、2、6、4、0、0，可见这个算式的和的个位为3，不可能是是某个数的平方.
这个算式还可以加长一些，比方加到前10个数的和，结论是一样的，因为从1起的连续自然数的积，乘到5以后个位都是0。
1!
+2!
+...+9!
=409113
sqrt（409113）=639.6194
所以不是某个数的平方数
设：
第五个数为X则十个数之和为：
（X-4）+（X-3）+（X-2）+（X-1）+X+（X+1）+（X+2）+（X+3）+（X+4）+（X+5）=10X+5所以这种数必须是被十除余5的数所以1010不行，而505可以
16．四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等。
问这六个质数的积是多少
900.【解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S。
4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以：
4S＝2S＋20，从而：
S＝10，这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：
2×2×3×3×5×5＝900
六个质数和是20,所以这六个数为，20=2+3+5+2+3+5
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17．能不能将
（1）505；
（2）1010写成10个连续自然数之和？
如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。
10个连续自然数中，最小的自然数为N,则最大的自然数为N+9,则这10个连续自然数的平均数为[N+（N+9）]/2=N+4.5,10个连续自然数的和为10N+45=10（N+4）+5,同时10N+45≥10+45=55，所以，只有个位数字为5，且该数大于或等于55时，才能写成10个连续自然数的和。
因此505可以写成10个自然数的和，而1010不行。
505=10N+45,解得N=46，所以505=46+47+48+49+50+51+52+53+54+55
18．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女教师比妈妈多2人，至少有1名男教师，那么在这22人中，爸爸有多少人？
设爸爸X妈妈Y男老师B女老师A
A+B+X+Y=22
B>=1
A-2=Y
X+Y>A+B
Y>X
X+Y>A+B=22-（X+Y）
所以X+Y>11
同样A+B<11
先取B=1
则A<10
而由于A=Y+2
所以Y<8
而2Y>X+Y>11
所以Y>=6
19．长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如图），其中图形甲的长和宽的比是a：
b=2：
1，其中图形乙的长和宽的比为（）：
（）
先假定甲的长（BC）=7、宽=3（这在数学上是可以的）
这样:
甲的面积=21（甲乙丙丁的面积均为21）
设乙的长宽分别为x和y（CD上乙的那段为x，AD上乙的那段为y）
乙的面积=甲的面积
x×y=21……①
再看丙的面积（丙为直角三角形，面积=底×高÷2）
丙的底=7-y、高=x
丙的面积=（7-y）×x/2=21
上式为7x-x×y=42将①式代入上式得
x=9
从①式可知y=7/3
x/y=27/7
解：
设AB边上的交点为E，CD边上的交点为F，EF边上的交点为G,AD边上的交点为K.
根据你的条件先假定甲的长（BC）=7、宽=3（这在数学上是可以的）
因为乙和丁的面积相等，所以FG：
GE=1:
2，又因为BC=7所以FG=7/3,GE=14/3.
又因为甲和乙的面积相等，所以DF=甲的面积/FG=21/FG=9
所以DF/FG=9/7/3=27/7
20．甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/时，中间三分之一路程的行走速度是4.5千米/小时，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。
已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（）千米。
设a地到b地的路程是x千米。
甲的时间（x/3）/4+（x/3）/5+（x/3）/4.5
乙的时间（x/2）/5+（x/2）/4
（x/3）/4+（x/3）/5+（x/3）/4.5=（x/2）/5+（x/2）/4-1/120
x=9
a地到b地的路程是9千米
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