解一元二次方程练习题配方法.docx
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解一元二次方程练习题配方法
解一元二次方程练习题（配方法）
1用适当的数填空:
①、x2+6x+
=（X+
）2;
②、X2—5x+
=（X—
）2;
2
③、X+X+
=（X+
）2;
④、X2—9x+
=（X—
）2
2.将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为.
3.已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，贝Uab=.
4.将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为
?
所以方程的根为
5.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）
D.以上都不对
6.用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（
A.（a-2）2+1B.（a+2）2-1C.（a+2）2+1
A.3B.-3C.±3
D.（a-2）2-1
7.把方程x+3=4x配方，得（）
222
A.（x-2）=7B.（x+2）2=21C.（x-2）2=1
8.用配方法解方程x2+4x=10的根为（）
2
D.（x+2）2=2
C.-2+/10
D.2-710
9.不论X、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）
10.用配方法解下列方程:
2
（1）3x-5x=2.
11用配方法求解下列问题
2
（1）求2x-7x+2的最小值；
（2）求-3x2+5x+1的最大值。
'元二次方程解法练习题
一、用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x2
—1=0
2、（X-3）2=2
（X-1f=5
2
4、81（x-2）2=16
用配方法解下列一元二次方程。
1、
2
.y
-6y—6=0
2、
3x2-2=4x
3、
X2-4x=96
4、
x2rx-5=0
5、
2
2x2+3X-1=0
6、
2
3x+2x-7=0
7、
2
-4x-8x+1=0
8、
22
x+2mx—n=0
22
x-2mx-m=0（m》0）
用公式解法解下列方程。
1、
2
x-2x-8=0
2、4y=1--y2
2
3、3『+1=2屈
4、
2x2-5x+1=0
5、_4x2-8x=—1
6、J2x-V3x-=0
四、
用因式分解法解下列一元二次方程。
1、
2_
x=2x
2、（x+1）2-（2x-3）2
=0
2
3、x-6x+8=0
4、
22
4（x+3）=25（x-2）
5、
（1+J2'）x2-（1-J2）x
=0
2
6、（2-3x）+（3x-2）=0
五、
用适当的方法解下列一元二次方程。
1、
3x（x—1）=x（x+5）
2、
2x2—3=5x
x2-2y+6=0
4、
X2—7x+10=0
5、（X—3认+2）=6
6、
4{x-3j+xx-3）=0
7、
2
8、3y-4y=0
2
9、x—7x—30=0
10、
（y+2"-1）=4
11、4x（x-1）=3（x-1）
12、（2x+1）-25=0
13、
-4ax=b2-4a2
22
14、X2-b2=a（3x-2a+b）
22
15、x—x+a—a—0
16、
-21
"36
17、（y+3）（y-1）=2
2
18、ax-（a+b）x+b=0（aH0）
19、
3x2+（9a
-1）x-3a=0
20、X2-x-1=0
21、3x2-9x+2=0
22、
22
x+2ax—b+a
23、x2+4x-12=0
24、2x2-72x-30=0
25、
5x2-7x+1=0
26、
5x2-8x=_1
27、
222
+2mx-3nx-3m—mn+2n=0
28
2
3x2+5（2x+1）=0
29、
（X+1）（x-1）=2J2x
2
30、3x=4x+1
y2+2=2咼
2
32、X-4=5x
33
34、x（x+6）=112.
35
、2x2-75x-30=036
、x2+4x-12=0
37、x2
+x-3=0
38
2
、x+X=1
39
、3y2+1=273y
40、t2
41
2
、5y=2y+1
42
2
、2x+9x+7=0
八、
元二次方程解法练习题
用直接开平方法解下列一元二次方程。
1、4x2
—1=0
2、（X-3）2=2
2
3、（x-1J=5
4、81（x-2）2=16
七、
用配方法解下列一元二次方程。
2
.y
-6y-6=0
2、
2
3x-2=4x
3、
2
x-4x=96
4、
2
xVx—5=0
5、
2
2x+3x—1=0
6、
2
3x+2x—7=0
7、
2
-4x-8x+1=0
X2+2mx-n2=0
9、
X2-2mx-m2=0（m》0）
八、
用公式解法解下列方程。
1、
2、
4y=1-3y2
2
3、3y2+l=273y
4、
2x2-5x+1=0
5、一4x2-8x=-1
6、72x2-73x-J2=o
九、
用因式分解法解下列一元二次方程。
1、
X2=2x
2、（x+1）2-（2x-3）2
=0
3、x2-6x+8=0
4、
4（x+3）2=25（x—2）2
5、
（1+72）x2-（1-72）x
=0
6、（2-3x）+（3x-2）2=0
十、用适当的方法解下列一元二次方程。
1、
3x（x-1）=x（x+5）
2、
2
2x-3=5x
2
x-2y+6=0
4、
X2-7x+10=0
5、（x-3）（x+2）=6
6、
4（x-3f+xx-3）=0
7、
2
8、3y-4y=0
2
9、x—7x—30=0
10、
（y+2）（y-1）=4
11、4x（x-1）=3（x-1）
12、（2x+1）-25=0
13、
-4ax=b2—4a2
22
14、x-b=a（3x—2a+b）
._2,2_
15、x—x+a-a=0
16、
7531
+—x=——
336
17、（y+3）（y-1）=2
2
18、ax-（a+b）x+b=0（aH0）
19、
3x2+（9a-1）x-3a=0
2
20、x-x-1=0
2
21、3x-9x+2=0
22、
222
x+2ax—b+a=0
23、
x2+4x-12=0
24、2x2-72x-30=0
25、
5x2-7x+1=0
2
26、5x-8x=—1
27、
222
x+2mx—3nx—3m—mn+2n=0
28
2
3x+5（2x+1）=0
29、（X+1）（x-1）=2j2x
2
30、3x=4x+1
34、
37、
40、
y2+2=272y
x（x+6）=112.
+x-3=0
t2
421
给+丄=0
28
32
35
38
41
X2-4=5x
33
、2x2-JN-30=0
、x2+x=1
、5y=2y2+1
39
36
42
、x2+4x-12=0
、3y2+1=273y
、2x2+9x+7=0
一元二次方程练习题
一.填空题:
22
1.关于x的方程mx-3x=x-mx+2是一元二次方程，则m.
常数项是
2
3.方程x=1的解为
2
4.方程3x=27的解为
二.选择题:
在下列各式中
是一元二次方程的共有（
A0个B1个
一元二次方程的一般形式是
C-5
的左边变成平方的形式是
A（x-2）2=1B
2
（x-4）=1
C（x-2）2=5
D（x-1）2=4
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
t（t+3）=28
2
2x+3=7x
x（3x+2）=6（3x+2）
22
（3-t）+t=9
三•。
将下列方程化为一般形式
，并分别指出它们的二次项系数、
一次项系数和常数项
四.用直接开平方法或因式分解法解方程:
x2=64
（2）5x2--=0
5
（3）（x+5）2=16
2
（5）2y=3y
2
8（3-x）-2=0
五.用配方法或公式法解下列方程
（2）x2+6x—5=0
2
（1）
2
⑷x—2x—1=0
x+2x+3=0
2
⑸2x2+3x+1=0
2
⑹3x2+2x—1=0
⑺5x2—3x+2=0
（8）7x2—4x—3=0
2
（9）-x-x+12=0
2
（10）x—6x+9=0
bc
%+X2=—一，玄2=-
aa
说明：
（1）定理成立的条件
（2）注意公式重Xi+X2
△>0
b
=-—的负号与b的符号的区别
a
根系关系的三大用处
（1）计算对称式的值
例若X1,X2是方程X2+2X-2007=0的两个根，试求下列各式的值:
2211
（1）Xi+X2;
（2）—+—;（3）（Xi-5）（X2-5）;
为X2
⑷|Xi—X2I•
解:
由题意，根据根与系数的关系得：
X,+X2=-2,x1X2=-2007
（1）
2丄2
Xi+X2
=（捲+X2）2-2x^2=（—2）2-2（—2007）=4018
丄十丄
XiX2
X1+X2
-22
—XiX2"£007—2007
（Xi—5）（X2-5）=XiX2-5（Xi+X2）+25=—2007-5（-2）+25=-1972
IX1—X2卜J（X1-X2）2=J（X1+X2）2-4X1X2=J（—2）2-4（—2007）=2^2008
说明：
利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:
2
X1
+X22=（Xi+X2）2-2x1X2,丄+丄=为+X2,（Xi—X2）2=（Xi+X2）2-4x1X2,
X-IX2X,X2
|X1
-X2|=J（Xi+X2）2—4^X2,X1X22+Xi2X2=XiX2（Xi+X2）,
3
X1
33
+X2=（X1+X2）—3X1X2（X1+X2）等等.韦达定理体现了整体思想.
【课堂练习】
.■222
1.设Xi,X2是方程2x—6x+3=0的两根，则X1+X2的值为
2.已知Xi,X2是方程2x2—7x+4=0的两根，则Xi+X2=,Xi-X2=
（xi—X2）2=
3.已知方程2x2—3x+k=0的两根之差为込，贝Uk=_;
4.若方程x2+（a2—2）x—3=0的两根是1和一3，贝Ua=—;
5.若关于X的方程x2+2（m—1）x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为
6.设Xi,X2是方程2x2—6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
1
Xi
（1）X12X2+X1X22
丄
X2
11
+
22
X1X2
（2）构造新方程
2
理论：
以两个数码也为根的一元二次方程是X-（心+巧沁+XE-0。
例解方程组x+y=5
xy=6
解：
显然，X,y是方程z2-5z+6=0①的两根由方程①解得zi=2,z2=3
•••原方程组的解为Xi=2,y1=3
X2=3,y2=2
显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围
例一个三角形的两边长是方程
解：
设此三角形的三边长分别为
一后+2=0的两根，第三边长为2，求k的取值范围。
b、c,且a、b为2*-上兀+2=Q的两根，则c=2
由题意知
2
△=k-4X2X2>0,k>4或
>0,上>0
=1
=—>c=2,上>4
2
|t2-i|=-4处=—JF-16<0=2,-4^2<上<4丿㊁
2
•••4【典型例题】
212
例1已知关于X的方程X2-（k+1）x+—k2+1=0，根据下列条件，分别求出k的值.
4
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根X1,X2满足|X1|=X2.
分析：
（1）由韦达定理即可求之；
（2）有两种可能，一是捲=X2>0,二是
_为=X2，所以要分类讨
论.
解：
（1）•••方程两实根的积为5
[212
A=[_（k+1）]2—4（—k2+1）>0!
14-長必=-k2+1=5
L4
k>3,k=±4
2
所以，当k=4时，方程两实根的积为5.
（2）由|Xi|=X2得知:
①当Xi>0时,
X,=X2，所以方程有两相等实数根，故也=0=
②当x^0时,
_%=X2=%+X2=0=k+1=0=k=-1,
由于
A>0=k
3
>■，故k=-1不合题意，舍去.
2
3
综上可得，k=—时，方程的两实根X1,X2满足|为|=X2.
2
说明：
根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足A>0.
例2已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根.
（1）
3
是否存在实数k,使（绍-x/X1-旳一2成立？
若存在，求出k的值；若不存在，请
您说明理由.
求使互+-2的值为整数的实数k的整数值.
X2X1
解：
（1）
3假设存在实数k，使（2捲一XzXxj-2x2）=-一成立.
2
元二次方程4kX2—4kX+k+1=0的两个实数根
4^0
也=（—4k）2—4"4k（k+1）=—16k>0^k*0'
2
又X1,X2是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的两个实数根
乂+X2=1
k+1
严2*
222
（2X]—X2）（X]—2x2）=2（X]+X2）—5x1x?
=2（X1+x?
）—9x1x?
•要使其值是整数，只需
k+1能被4整除，故k+1=±1,±2,±4，注意到kcO,
要使一+—-2的值为整数的实数k的整数值为-2,-3,-5.
X2X1
说明：
（1）存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即
不存在.
4
（2）本题综合性较强，要学会对——为整数的分析方法.
k+1
元二次方程根与系数的关系练习题
x2
+（2m—1）x+m2+3=0的根，贝Um等于（
A.-3
C.
5或-3
2
若t是一元二次方程ax+bx+g0（
2
则判别式也=b-4ac和完全平方式
2
=（2at+b）的关系是（）
长是
&若方程2x2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1，贝Uk的值是
2
10.已知实数a,b,c满足a=6-b,c=ab-9，贝Ua=
2
11.对于二次三项式x-10x中36，小明得出如下结论：
无论x取什么实数，其值都不可能等于10.您
是否同意他的看法？
请您说明理由.
12.若n》0,关于X的方程X2-（m-2n）x+1mn=0有两个相等的的正实数根，求m的值.
4n
2
13.已知关于X的一元二次方程X2+（4m+1）x+2m-1=0.
（1）求证：
不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根;
X1X2
⑵若方程的两根为X1,X2，且满足丄+丄=，求m的值.
21214•已知关于X的方程X-（k+1）x+—k+1=0的两根是一个矩形两边的长.
4
（1）k取何值时，方程存在两个正实数根？
⑵当矩形的对角线长是J5时，求k的值.
1•已知关于X的方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根ex：
.
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？
如果存在，求出k的值；如果不存在，请您说明
理由.
2
2.已知关于X的方程X+3x-m=0的两个实数根的平方和等于11.求证：
关于X的方程
（k-3）x2+kmx-m?
+6m-4=0有实数根.
3.若Xi,X2是关于x的方程X2—（2k+1）X+k2+1=0的两个实数根，且Xi,X2都大于1.
（1）求实数k的取值范围;
元二次方程试题
一、选择题
A.mvlB.m>-1
」元二次方程x+X+2=0的根的情况是（
A.有两个不相等的正根
C.没有实数根
4、
用配方法解方程
x2
-4x+2=0,下列配方正确的是（
2
（X-2）=2
2
B.（x+2）2=2
2
C.（X-2）
=-2
5、已知函数y=ax
+bx+c的图象如图（7）所示，那么关于
2
ax+bx+c+2=0的根的情况是（
A.无实数根
C.有两个异号实数根
B.有两个相等实数根
D.有两个同号不等实数根
2
6、关于X的方程X+px+q=0的两根同为负数，则（
A.p>0且q>0
B.p>0且q<0
C.pv0且q>0
D.pv0且qvO
X1，X2,且满足人+冷=人应2.则k的值
33
（A）—1或一（B）—1（C）一（D）不存在
44
下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（
9、某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（
22
A:
200（1+a%）=148B:
200（1—a%）=148
2
C:
200（1—2a%）=148D:
200（1—a%）=14810、下列方程中有实数根的是（
（A）X2+2x+3=0（B）X2+1=0（C）x2+3x+1=0（D）」
xTxT
2
11、已知关于X的一元二次方程X-m=2x有两个不相等的实数根，则
m的取值范围是（
A.m>—1
12、如果2是一元二次方程
A、2B、一2
B.mv—2C.m>0
x2=c的一个根，那么常数c是（
C、4D、一4
）。
C
二、填空题
1、
2
已知一元二次方程2x
—3x-1=0的两根为X1、X2，则X1+X2=
2、
方程（X-12=4的解为
OX"!
=3，X2=—1
阅读材料：
设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2，则两根与方程系数之间有如下关系:
Xi
+X2=-一，x1LX^=—.根据该材料填空:
aa
已知X1，X2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则彳2+生的值为
X1X2
10
4、关于X的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为
3,2
c=
2
5、方程X—2x=0的解是
.x1=0,x2=2
2
7、方程X+2x=0的解为
X1=0,X2=—2
8、已知方程X2+（a-3X+3=0在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于
1小于
2,贝ya的取值范围
A
一1ca
9、已知
<-―或a=3-243
2
X是一元二次方程X2+3X-1=0的实数根，那么代数式八P+2一
22
10、已知x=T是关于X的方程2x+ax—a=0的一个根，则a=
11、若关于X的一元二次方程x2+2x-k=0没有实数根，则k的取值范围是
12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程:
三、解答题
2
1、解方程：
X+4x-1=0.
2、解方程：
X2+3=3（x+1）.
a2,2
3、已知x=1是一兀二次方程
ax2+bx-40=0的一个解，且aHb，求的值.
X2+4x+m—1=0。
2a-2b
4、已知关于x的一元二次方程
（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；
（2）设aB是
（1）中你所得到的方程的两个实数根，求a+孑+a的值。
5、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，20XX年的利用率只有30%，大部分秸
杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使20XX年的利用率提高到60%，求每年的增长率。
（取J2疋1.41）
6、黄金周长假推动了旅游经济的发展.下图是根据国家旅游局提供的近年来历次黄金周旅游收入变化图.
黄金周旅游收入变化图
700
600
（1）根据图中提供的信息.请你写出两条结论；
（2）
（精
根据图中数据，求20XX年至20XX年的“十一”黄金周全国旅游收入平均每年增长的百分率确到0.1）
7、已知x1,x2是关于X的方程（X-2）（X-m）=（p—2）（p—m）的两个实数根.
（1）求Xi,X2的值;
（2）若X1,X2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m,P满足什么条件时，此直角三角形的面
积最大？
并求出其最大值.
2
11.将方程x-4x-1=0
2
⑶x—4x+3=0
6、已知方程X2-3x+k=0有两个相等的实数根，则k=
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