一元二次不等式解法.docx

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一元二次不等式解法

1

例1若0vav1,则不等式（X—a）（x--）<0的解是

a

[]

1

A•a

a

1

B•一

a

C•x>或x

1

分析比较a与-的大小后写出答案.

a

11

解t0

aa

选A•

例2.x2—x-6有意义，则x的取值范围是

分析求算术根，被开方数必须是非负数.

解据题意有，x2—x—6>0,即（x—3）（x+2）>0，解在“两根之外”，所

以x>3或x<—2.

例3若ax2+bx—1<0的解集为｛x|—1

分析根据一元二次不等式的解公式可知，—1和2是方程ax2+bx—1=

0的两个根，考虑韦达定理.

解根据题意，—1,2应为方程ax2+bx—1=0的两根，则由韦达定理知

b（-1）2=1

a得

1

——1）x2=—2

la

例4解下列不等式

（1）（x—1）（3—x）V5-2x

2

（2）x（x+11）>3（x+1）

（3）（2x+1）（x—3）>3（x2+2）

232

（4）3x-3x1>-尹

21

（5）x-x1>x（x-1）

3

分析将不等式适当化简变为ax2+bx+c>0（v0）形式，然后根据“解公

式”给出答案（过程请同学们自己完成）.

答

（1）{x|xV2或x>4}

⑶-

⑷R

⑸R

说明：

不能使用解公式的时候要先变形成标准形式.

或x=0}

分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分.

1

1—X

解不等式化为1+x—>0,

•x2>0,「.x—1>0,即x>1.选C.

说明：

本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.

D.（x—3）（2—x）w0

l（x-3）（2-x）A0解法一原不等式的同解不等式组为

lx-2丰0.

故排除A、C、D，选B.

x_3

解法二>0化为x=3或（x—3）（2—x）>0即2vx<3

两边同减去2得0vx—2w1.选B.

说明：

注意“零”.

例7不等式-a^v1的解为｛x|xv1或x>2｝，则a的值为

x-1

[]

11

A.avB.a>一

22

11

C.a=D.a=

22

分析可以先将不等式整理为（a7x1v0,转化为

x—1

[（a—1）x+1]（x—1）v0,根据其解集为{x|xv1或x>2}

11

可知a—1v0,即av1,且一=2,—a=a-12

答选C.

说明：

注意本题中化“商”为“积”的技巧.

3x—7

例8解不等式-T—-A2.

x+2x-3

解先将原不等式转化为

3x-7

—2A0

x2x—3

2

2xx1

x22x-3

17

由于2x2+x+1=2（x+-）2+8>0,

•••不等式进一步转化为同解不等式x2+2x—3v0,

即（x+3）（x—1）v0,解之得-3vxv1.解集为{x|—3vxv1}.说明：

解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题.

例9已知集合A={x|x2—5x+4<0}与B={x|x2—2ax+a+2

<0}，若B5A，求a的范围.

分析先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合BA，利用数形结合，建立关于a的不等式.

解易得A={x|1

设y=x2—2ax+a+2（*）

（1）若B=一，则显然BA，由△V0得4a2—4（a+2）v0,解得一1vav2.

（2）若B工•一，则抛物线（*）的图像必须具有图1—16特征:

应有{x|x1

2

1—2a-1+a+2>0

42—2a-4+a+2>0

解得12

18

7

综上所述得a的范围为-1

分析

解1

x—2v0其解集为{x|xv2};

当av0时，由于2>2，原不等式化为（x—2）（x—-）v0，其解

aa

集为

2

{x|vXV2};

a

当0vav1时，因2v-，原不等式化为（x—2）（x—-）>0,其解

aa

集为

亠2

{x|xV2或x>-};

a

当a=1时，原不等式化为（x—2）2>0,其解集是{x|x丰2};

当a>1时，由于2>-，原不等式化为（x—2）（x—-）>0,其解

aa

集是

{x|xv或x>2}.a

从而可以写出不等式的解集为：

a=0时，{x|xv2};

」2

av0时，{x|vxv2};

a

a=1时，{x|x丰2}；

a>1时，{x|xv或x>2}.

a

说明：

讨论时分类要合理，不添不漏.

例11若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|avxv3}（0vav3），求cx2+bx+av0的解集

分析由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系•考虑使用韦达定理：

解法一由解集的特点可知av0，根据韦达定理知：

——=a+3,

a

cc

_=a・3.

Q

=—（a+3）v0,

即'a

Cc

_=a•3>0.

La

•/av0,「.b>0,cv0.

1

（

a

亠c

a

1

由_=a•3，-

.—=

a

c

a

对cx2+bx+av0化为x2+-x+->0,

cc

11ba11

由①②得一,—是x2+—x+—=0两个根且一>—>0,

a3cca3

ba11

x2+x+>0即cx2+bx+av0的解集为{x|x>或xv}.

cca3

1i

•••cx2+bx+a<0的解集为｛x|x>一或x<一｝.a3

说明：

要在一题多解中锻炼自己的发散思维.

x

例12解关于x的不等式：

——<1—a（a€R）.

x-1

分析将一边化为零后，对参数进行讨论.

解原不等式变为——（1—a）<0,即坐」a<0,

x-1x-1

进一步化为（ax+1—a）（x—1）<0.

（1）当a>0时，不等式化为

（x—口）&—1）<0,易见电11<1,所以不等式解集为｛x|-1

<1｝；

（2）a=0时，不等式化为x—1<0,即x<1,所以不等式解集为｛x|x<1｝;

a—1a—1

（3）a<0时，不等式化为（x）•（x—1）>0，易见——>1,所以

aa

不等式解集为｛x|x<1或x>厂1｝.

a

综上所述，原不等式解集为：

a一1

当a>0时，｛x|

a

a-1

或x<1｝.

a

例13（2001年全国高考题）不等式|x2—3x|>4的解集是.

分析可转化为

（1）x2—3x>4或

（2）x2—3x<—4两个一元二次不等式.

由⑴可解得x<—1或x>4,

（2）•一.

答填｛x|x<—1或x>4｝.

例14（1998年上海高考题）设全集U=R,A=｛x|x2—5x—6>0｝,B=｛x||x

—5|

A.（uA）nB=R

B.AU（uB）=R

C.（UA）U（UB）=R

D.AUB=R

分析由x2—5x—6>0得xv—1或x>6，即

A={x|xv—1或x>6}由|x—5|va得5—avxv5+a,即

B={x|5—avxv5+a}

•••11€B,「.|11—5|va得a>6

5—av—1,5+a>11AUB=R.

答选D.

说明：

本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元

二次不等式等内容都得到了考查