双曲线解答题练习含答案doc.docx

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双曲线解答题练习含答案doc

双曲线解答题练习

1.如图，在以点。

为圆心，|AB|二4为直径的半圆ADB中，0D丄AB,P是半圆弧上

一点，ZPOB=30°,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹，且曲线

C过点P.

（I）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（II）设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F・若AOEF的血积不小于,求直线/斜率的取值范围.

•••

2.双曲线的中心为原点0,焦点在兀轴上，两条渐近线分别为/卩12,经过右焦点F垂直

于£的直线分别交厶于人B两点.已知|网、阿网成等差数列，且丽与丽同向.

（I）求双曲线的离心率；

（II）设4B被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.

3.已知双曲线x2-/=2的左、右焦点分别为片，"，过点厲的动直线与双曲线相交于A,B两点.

（I）若动点M满足丽二帀+丽+而（其中0为坐标原点），求点M的轨迹方程；

（II）在x轴上是否存在定点C,使冯・质为常数？

若存在，求111点C的坐标；若不存在，请说明理由.

4已知双曲线c的方程为召嶋W>OQO），离心率“孕顶点到渐近线的距

离为芈

（1）求双曲线C的方程；

（2）如图，P是双曲线C上一点，A,B两点在双曲线C的两

条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若—-—-1

AP=APB9Ae[-,2],求AAOB面积的収值范围

3

5.求一条渐近线方程是3x+4v=0,一个焦点是（4,0）的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率.（12分）

6.双曲线x2-y2=a2（a>0）的两个焦点分别为巧,的，P为双曲线上任意一点，求证:

\PF^\PO\.\PF2\成等比数列（O为坐标原点）.（22分）

7.已知动点P与双曲线x2~y2=l的两个焦点Fi，F2的距离Z和为定值，且cosZF^的最

1

小值为一亍

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设M（0,—1）,若斜率为k（30）的直线/与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使\MA\=\MB\,试求k的取值范围.（12分）

8.已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）

x2y2

9.设双曲线Ci的方程为=一刍=l（d>0,b>0）,A、B为其左、右两个顶点，P是双曲a~h~

线Ci上的任意一点，引QB丄PB,QA丄PA,AQ与BQ交于点Q.

（1）求Q点的轨迹方程；

（2）设

（1）中所求轨迹为C2，Ci、C2

的离心率分别为©、勺，当>V2时，幺2的取值范围（14分）

10.某屮心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：

正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当吋声咅传播的速度为340m/s湘关各点均在同一平面上）.（14分）

双曲线练习题答案

1.如图，在以点0为圆心，\AB\=4为直径的半圆ADB中,

0D丄AB,P是半圆弧上一点，ZPOB=30°,曲线C是满足\\MA\-\MB\\为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（I）建立适当的平血直角坐标系，求曲线C的方程;

（II）设过点D的直线I与曲线C相交于不同的两点E、F.若厶OEF的面积不小于2近,求直线/斜率的取值范围.

•••

解：

（I）以0为原点,AB.OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（・2,

0）,B（2,0）,D（0,2）,P（V3,l）,依题意得

IMA|・IMB\=\PA\・IPBI=（2+V3）2+12-V（2-V3）2+12=2a/2

・・・曲线C是以原点为中心，A、3为焦点的双曲线.

设实半轴长为0,虚半轴长为b,半焦距为c,则c=2,20=2-72,/.a2=2,b2=c2-a2=2.

・・・曲欽的方程为于才1.

解法2：

同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得丨MA\-\MB\=\PA\-\PB\

・•・曲线C是以原点为中心，&、B为焦点的双曲线.

X2y2

设双曲线的方程为一^一厶~=1（。

>0,b>0）.

疋b2

"）2]

则由

a2+b2=4

X2y2

•••曲线C的方程为一—丄=1.

22

（1【）解法1：

依题意，可设直线/的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理得（1・『）x2-4/cx-6=0.

・・•直线/与双曲线C相交于不同的两点E、F,

.Jl—/H0J"±l

…〔△=（—4幻2+4x6（1—，）a0[-y/3

4£6

设E（x,y）,F（X2』2），则由①式得X1+X2二,xix2='于是

1-k*\-k

IEF|=J（X]_兀2）2+（y】+兀2）2=J（1+R2）（X[_兀2）2

=Jl+/-J（X]+兀2）2一4兀丿2=Jl+£，-2彳'J.

若厶OEF血积不小于2血,即S△。

许血，贝I」有

综合②、③知,直线/的斜率的取值范围为卜V2,-ljud-,!

）U（1?

72）.

解法2：

依题意，可设直线/的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理,得（1・/）x2-4kx-6=0.

2±1

-V3<*

T直线/与双曲线C相交于不同的两点&F,

1一宀0

<=>

△=（_4R）2+4x6（1_Q>0

若AOEF而积不小于2厲,即以阿血，则有

综合②、④知，直线/的斜率的取值范围为卜VLj]u（-1,1）u（1,

2.（I）设0A-m-d,AB=m,OB=m+d

fh勾股定理川得：

（m-6/）2+m2=（m+6?

）2

ihAR4

得：

d=—m,tanZAOF=-,tanZAOB=tan2ZAOF=——=-

4aOA3

22

（II）过F直线方程为y=--（x-c），与双曲线方程*一冷=1联立ba

将a=2b,c=>/5h代入，化简有_I1x2_8V5x+21=0

4/rb

[（石+x2）2一4兀|兀2

3•解:

由条件知£（一2,0）,鬥（2,0）,设4（壬，yj,B（x2,y2）.

（I）解法一:

（I）设M3y）,则则巧M=（兀+2,y）,F}A=（x}+2,刃）,

丽二（勺+2,旳），*=（2,0），由顾二帀+丽+而得

X.+x9=x-4,即彳2

于是AB的中点坐标为（宁另

又因为A,B两点在双曲线上，所以彳_才=2,丘―衣=2,两式相减得

（西一尤2）（兀1+兀2）=（X一儿）（X+丿2），即（西一兀2）（兀一勺=（必一力）歹•

将必—％二丄3—吃）代入上式，化简得（X一6）2一b=4.x-8

当AB与兀轴垂直时，西二兀2=2,求得M（8,0）,也满足上述方程.

所以点M的轨迹方程是（x-6）2-y2=4.

[x,+兀，二兀一4,

解法二：

同解法一的（I）有彳

当AB不与兀轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x—2）（k主±1）・

代入兀2_护=2有（1_/）兀2*4k2x_（僦2+2）=0.

4k?

则西，兀2是上述方程的两个实根，所以西+兀2=戸二・

Ab2

由①②③得兀一4=—^•

£「一1

4k

当R=0吋，点M的坐标为（4,0）,满足上述方程.

当A3与兀轴垂直时，西=勺=2,求得M（8,0）,也满足上述力程.

故点M的轨迹方程是（x-6）2-/=4・

（II）假设在兀轴上存在定点C（m,0）,使页可为常数.

当不与兀轴垂直时，设直线AB的力程是y=k（x_2）伙工±1）.

代入兀2_戸=2有（1_疋）兀2+4疋兀一@疋+2）=0.

于是CAnCB=（X]-m）（x2-m）+k2（x}-2）（x2-2）

伙2+1）XjX2-（2k2+m）（xx+花）+4疋+m

（疋+1）（4疋+2）4k2（2k2+m）

因为页可是与£无关的常数，所以4-4m=0,即m=l,此时CATCB=-1.

当AB与兀轴垂直时，点人B的坐标可分别设为（2,V2）,（2,-72）,此时G4CCB=（1,a/2）E（1,-V2）=-1.

故在兀轴上存在定点C（1,O）,使CATB^常数.

7/s

4.（I）由题意知，双曲线C的顶点（0,a）到渐近线ax-by=O的距离为亠,

ab2^5

所以臓C的方程是「X

（II）设直线AB的方程为y=kx+m.

-m2m

r+畑点的坐标为（長眾）,

[解析]：

（l）Vx2~y2=l,:

.c=y{2.设|PFj+IPF2I=2a（常数a>0）,2a>2c=2逗,:

.a>y/2

，“宀w-‘北\PF1\2^\PF2\2-\FrF2\2（\PF1\^\PF2\）2-2\PF1\\PF2\-\F1F2\2

由余弦定理有cosZF'PF?

2a2—4

-1

VlPFJIPF2\S严IJP'I）2=a2・当且仅当|p&I=IPF21时,IPF]11PF21取得最大值a2.

•••P点的轨迹方程为三+『=1・

X]+x2—3km

设A（X1，力），8（X2，卩2），则AB中点Q（Xo，yo）的坐标满足：

Xo='、」？

'、'=匸费yo=kx（）+m=#^

•••=-1……

（1）连接PQ，取PQ中点R,

xQ-ax—aPA丄@4,QB丄PB,・•」R41=丄|PQ\ARB|=-|PQI,/.|RA|=|RB|,/./?

点在），轴上

22

=o,即龙0=-x……⑵，把⑵代入⑴得：

……（3）

2a1-x1y

222\2

把⑵⑶代入4-4=1,得各-U=i.-.-x=±g时,不合题意,.・./-护北（）

a2b2a2y2b2

J

整理得:

a2x2-b2y2=a4,.\Q点轨迹方程为-b2y2=a"（除去点（-a,O）,（a,O）外）

2/

x2v2oa+7T/qi

（2）解：

由

（1）得的方程为—=1,e2=7~=l+k=l+=1+

_«2/«2b2c2-a2异_］

bT

•/e.>a/2,<\+—=2,:

.\

_（V2）2-l

10.（14分）［解析］:

以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、亲、北观测点，则A（-1020,0）,B（1020,0）,C（0,1020）

设P（x,y）为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO±,PO的方程为y=~x,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|—|PA1=340X4=1360

由双曲线定义知P点在以A.B为焦点的双曲线匸_二=1上，依题意得0=680,c=1020,

/.b2=c2-cr=102（）2-6802=5x34（）S故双曲线方程为：

上疋—=i

68025x340・

用尸一X代入上式,得x=±680>/5,•?

|PB|>|PA|X=-680^5,y=680^5,即P（-680V5,680V5）,故PO=680佰，答：

l~i响发4：

在接报小心的西偏北45°距屮心680V10m处.