条件概率与独立事件.docx
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条件概率与独立事件
条件概率与独立事件
【要点梳理】
要点一：
条件概率
1.概念
设A、B为两个事件，求已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率记为PA|B，读作：
事件B发生的条件下A发生的概率。
要点诠释：
我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相
应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B事件这个范围来考察A事件发生的概率，几何直观上，PA|B相当于B在A内的那部分（即事件AB）在A中所占的比例。
2.公式
要点诠释：
（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率:
几何概型：
…宀、AB的测度
P（A|B）B的测度
（2）公式P（A|B）P（AB）揭示了PB、PAB、PAB的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用
P（B）
它的变形公式如，若PB>0,则PAB=PAPB|A，该式称为概率的乘法公式.
PAB
（3）类似地，当PA0时，A发生时B发生的条件概率为：
PB|A=.
PA
3•性质
（1）非负性：
PA|B0;
（2）规范性：
P|B=1（其中为样本空间）；
（3）可列可加性：
若两个事件A、B互斥，则PA+B|CPA|C+PB|C4.概率PA|B与PAB的联系与区别:
联系：
事件A,B都发生了。
区别：
①在PA|B中，事件A,B发生有时间上的差异，事件B先发生，事件A后发生；在PAB中,
事件A，B同时发生；
cardAB
②基本事件空间不同在PA|B中，事件B成为基本事件空间，即P（AB）；在PAB中,
cardB
基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即
cardAB
P（AB）card。
要点二：
独立事件
1.定义：
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，即P（B|A）P（B），这样的两个事
件叫做相互独立事件。
若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立。
2.相互独立事件同时发生的概率公式：
对于事件A和事件B，用AB表示事件A、B同时发生。
（1）若A与B是相互独立事件，则P（AB）P（A）P（B）;
（2）若事件A,A2丄,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，
即:
P（AAzLAn）P（Ai）P（A2）LP（An）。
要点诠释
（1）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积.
（2）两个事件A、B相互独立事件的充要条件是P（AB）P（A）P（B）。
3.相互独立事件与互斥事件的比较
互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。
互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。
相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互
斥事件的概率和也是不同的。
4.几种事件的概率公式的比较
已知两个事件A,B，它们发生的概率为P（A）,P（B），则：
A,B中至少有一个发生记为事件A+B（或AUB）;
A,B都发生记为事件AB（或AIB）;
都不发生记为事件AB（或AIB）；恰有一个发生记为事件AB+AB;
至多有一个发生记为事件ABABAB.
则它们的概率间的关系如下表所示：
概率
A，B互斥
A，B相互独立
P（A+B）
P（A）+P（B）
1P（A）P（B）
P（A•B）
0
P（A）•P（B）
P（AB）
1-[P（A）+P（B）]
P（A）P（B）
P（ABAB）
P（A）+P（B）
P（A）P（B）P（A）P（B）
P（ABABAB）
1
1-P（A）•P（B）
典型例题】
类型一：
条件概率
例1.一种耐高温材料，能承受200C高温不熔化的概率为0.9,能承受300C高温不熔化的概率为0.5,现有一种这样的材料，在能承受200C高温不熔化的情况下，还能承受300C高温不熔化的概率是多少？
【思路点拨】用集合来表示事件，将所求事件的概率表示成条件概率的形式，根据定义计算.
【解析】用A表示事件“该材料承受200C高温不熔化”，用B表示事件“该材料承受300C高温不熔
化”，则“能承受200C高温不熔化的情况下，还能承受300C高温不熔化的概率”可表示为PB|A.
依题意得，PA0.9,PB0.5.
因为BA,所以AnB=B，故有PAB=PB=0.5,
由条件概率的定义可得
P（B|A）血055.
P（A）0.99
所以，在能承受200C高温不熔化的情况下，还能承受300C高温不熔化的概率是5.
9
【总结升华】计算条件概率最常用的方法是定义法，其具体步骤如下：
（1）将文字语言翻译成集合语言：
设出事件A，B，将所求概率表示成PA|B的形式；
（2）计算概率PA和PAB，特别是；
PAIB
（3）根据条件概率公式PA|B=计算结果；
PB
举一反三：
【变式1】一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回,若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（）
3154
A.-B.-C.D.-
5399
【答案】C
设A=第i次取到好的晶体管”（i=i,2）。
【变式2】在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张,求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率.
第二张中三等奖”为事件C,则
【答案】设第一张中一等奖”为事件A,第二张中二等奖”为事件B,
5
3333
即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为
例2.假定生男孩或女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个女孩，求至少有一个男孩
的概率.
【思路点拨】这个古典概型，利用缩减样本空间的方法计算条件概率较简便。
【解析】用A表示为“至少有一个男孩”，用B表示事件“至少有一个是女孩”，则“有一个女孩，至少
有一个男孩的概率”可用表示.PA|B
将B作为样本空间，它可用树形图可以直观的表示出来，如下:
所以cardB=7,cardAB=6,
所以在有一个女孩的情况下，至少有一个男孩的概率为
【总结升华】对于古典概率求条件概率型题目，可采用缩减基本事件总数的方法，具体方法如下：
（1）将文字语言翻译成集合语言：
设出事件A，B，将所求概率表示成PA|B的形式；
（2）写出样本空间B,并找出B中A发生（即事件AB）的基本事件数；
（3）计算cardB，cardAB；
cardAB6
（4）根据条件概率公式P（AB）=计算结果.
cardB7
举一反三：
【变式1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品•现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试
求：
在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率
【答案】在第一次取到不合格品后，产品总数为99件，其中：
合格品：
95件，不合格品：
4件。
由条件概率的概率可知，所求条件概率为在第一次取到不合格品后，不合格品占产品总数的比例，即
4
设事件“第二次取到不合格品”为A,事件“第一次取到不合格品”为B，则工.
99
【变式2】从一副不含大小王的扑克牌（共52张）中不放回地抽取2次，每次抽1张，若第一次抽到J,
则第二次也抽到J的概率为
【答案】第1次抽到J后，总扑克牌数为51张，其中：
J有3张。
由条件概率的定义可知，“第一次抽到J,
31
则第二次也抽到J'表示在第1次抽到J后，J所占总扑克牌数的比例，即卫二丄.
5117
类型二：
独立事件
例3.容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球.
（1）从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白
球”这两个事件是否相互独立？
为什么？
（2）从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取
出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？
为什么？
【思路点拨】从相互独立事件的定义入手.
5
【解析】
（1）从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为-，若这一事件发生了，则从剩
8
下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4;若前一事件没有发生，则后一事件发生的概
7
5
率为-•可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
7
（2）由于把取出的白球放回容器，故对从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件.
【总结升华】判断两事件是否相互独立的方法有：
（1）通过计算P（B|A）=P（B）可以判断两个事件相互独立：
（2）通过验证P（AB）=P（A）P（B）也可以判断两个事件相互独立.举一反三：
【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件.
二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件.
例5.要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各
任意抽取一件，求：
（1）其中至少有一件废品的概率；
（2）其中恰有一件废品的概率；
（3）其中至多有一件废品的概率；
（4）其中没有废品的概率；
（5）其中全是废品的概率.
【思路点拨】依题意记事件A为从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为从乙机床生产
的产品中抽得的一件是废品”，两事件对应的概率为P（A）=0.04,P（B）=0.05，则此题可解.显然，这
两台机床的生产应当看作是相互独立的.
【解析】记事件A为从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为从乙机床生产的产品中抽得
的一件是废品”.
贝UP（A）=0.04,P（A）=0.96,P（B）=0.05,P（B）=0.95.
由题意可知，A与B,A与B,A与B,A与B都是相互独立的.
（1）至少有一件废品”为事件A+B,
则P（AB）1P（AB）1P（A）P（B）10.960.950.088.
（2）恰有一件废品”为事件ABAB,
则P（ABAB）P（AB）P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）
=0.96X0.05+0.04X0.95=0.048+0.038=0.086
（3）方法一：
至多有一件废品”为事件ABABAB,
则P（ABABAB）P（AB）P（AB）P（AB）
P（A）P（B）P（A）P（B）P（A）P（B）
=0.04X0.95+0.96X0.05+0.96X0.95=0.998
方法二：
至多有一件废品”的对立事件为两件都是废品”即事件AB,
则P（ABABAB）1P（AB）1P（A）P（B）10.040.050.998.
（4）其中没有废品”就是两件都是正品”即事件AB,
则P（AB）P（A）P（B）0.960.950.912.
（5）其中全是废品”为事件AB,
贝UP（AB）=P（A）P（B）=0.04X0.05=0.002
【总结升华】
（1）审题应注意关键的词句，例如至少有一个发生”至多有一个发生”恰有一个发生”等,
应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解.
（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式；②正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解.
举一反三：
【变式1】甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4
个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。
若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的两球都是红球的概率。
41
【答案】因从甲袋中取一球为红球的概率为一，从乙袋中取一球为红球的概率为-，
66
411
故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为上--。
【高清课堂：
669
条件概率事件的相互独立性408736例题2】
【变式2】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9,
求：
（1）2人都射中目标的概率；
（2）2人中恰有1人射中目标的概率；
（3）2人至少有1人射中目标的概率；
（4）2人至多有1人射中目标的概率.
【答案】记甲射击1次，射中目标”为事件A,乙射击1次，射中目标”为事件B,
则P（A）0.8,P（B）0.9,
且事件A与B,事件A与B，事件A与B，事件A与B都是相互独立事件。
（1）2人都射中的概率为：
P（AB）P（A）P（B）0.80.90.72,
•••2人都射中目标的概率是0.72.
（2）2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：
一种是甲射中、乙未射中（事件AB发生），
另一种是甲未射中、乙射中（事件AB发生），
且事件AB与AB互斥。
所求的概率为：
P（ABAB）P（AB）P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）
0.8（10.9）（10.8）0.90.080.180.26
•2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.
（3）
法一：
因为事件“2人中至少有1人射中”，包括事件“2人都射中”和事件“2人中只有1人射中
即事件AB,AB,AB,
又因为事件AB,AB,AB两两互斥，
故所求概率为：
P（ABABAB）P（A）P（B）P（A）P（B）P（A）P（B）
0.80.90.8（10.9）（10.8）0.90.98。
法二：
因为事件“2人中至少有1人射中”与事件“2人都未射中”为对立事件，
“2人都未射中”的概率P（AB）P（A）P（B）（10.8）（10.9）0.02,
•“2人中至少有1人射中”的概率P1P（AB）10.020.98。
（4）
法一：
因为事件“2人中至多有1人射中”，包括事件“2人都未射中”和事件“2人中只有1人射中”,
即事件AB,AB,AB,
又因为事件AB,AB,AB两两互斥，
故所求概率为：
P（ABABAB）P（A）P（B）P（A）P（B）P（A）P（B）
（10.8）（10.9）0.8（10.9）（10.8）0.90.28。
法二：
因为事件“2人中至多有1人射中”与事件“2人都未射中”为对立事件，
所以事件“2人中至多有1人射中”的概率为1P（AB）1P（A）P（B）10.80.90.28
例6.有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验.
（1）求恰有一件不合格的概率；
（2）求至少有两件不合格的概率.（结果都精确到0.001）
【思路点拨】三件（或三件以上）相互独立的事同时发生，和两个相互独立的事同时发生是类似的，都
用乘法公式。
【解析】设从三种产品中各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（1）P（A）=0.90,P（B）=P（C）=0.95,则P（A）0.10,P（B）P（C）0.05.
因为事件A、B、C相互独立，所以恰有一件不合格的概率为
P（AIBIC）P（AIBIC）P（AIBIC）
P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）
=2X0.90X0.95X0.05+0.10X0.95X0.95〜0.176
（2）方法一：
至少有两件不合格的概率为
P（AIBIC）P（AIBIC）P（AIBIC）
P（AIBIC）=0.90X0.05X0.05+2X0.10X0.05X0.95
+0.10X0.05X0.05=0.01故至少有两件不舍格的概率为0.012.
方法二：
三件产品都合格的概率为P（AnBnC）=P（A）P（B）P（C）=0.90X0.95X0.95=0.81由
（1）知，恰有一件不合格的概率约为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1-[P（AnBnC）+0.176]~1
—0.812+0.176）=0.012.故至少有两件不合格的概率为0.012.
【思路点拨】本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率的计算及运用数
学知识解决实际问题的能力•在求解某些含有至少”至多”等字眼的事件概率问题时，若从正面讨论比较
繁杂，可采用逆向思维的方法，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率.
Ja/
Jb』
Jc•
举一反三:
【变式1】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开
关能够闭合，线路就能正常工作+假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率
都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率+
【答案】分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够闭合为事件A,B,C.
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响+根据相互独立事件的概率乘法公式，这
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P（ABC）P（A）P（B）P（C）
1P（A）1P（B）1P（C）（10.7）（10.7）（10.7）0.027
1P（ABC）10.0270.973.
答：
在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.
2
【变式2】已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为-,
5
求：
（1）3人都通过体能测试的概率；
（2）只有2人通过体能测试的概率；
（3）只有1人通过体能测试的概率。
【答案】
设事件a='甲通过体能测试”，事件B=乙通过体能测试”，事件0=丙通过体能测试
231
由题意有：
P（A）,P（B）,P（C）
443
（1）设事件M1=甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M1=ABC,
由事件A,B,C相互独立可得：
2411
P（M1）P（ABC）P（A）P（B）P（C）533W；
（2）设事件M2=甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M2ABCABCABC,
由于事件A,B,C,A,B,C均相互独立，并且事件ABC,ABC,ABC两两互斥,
因此P（M2）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）
（1
1）
2-
3、
1
一2、
3
1
-（1
-）
（1-）
5
4
3
5
4
3
23
60
（3）设事件M3=甲、乙、丙
3人中只有1人通过体能测试”，则M3
ABCABCABC,
由于事件A,B,C,A,
B,C均相互独立，并且事件
ABC,ABC,ABC两两互斥,
因此PM）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）P（A）P（B）P（C）
5
12
【变式3】已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.
（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮?
【答案】
1门高炮击中敌
因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有
（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak（k=1,2,3,4,5），那么5门高炮都未击中敌机的事件为
AA2AsA4A•
•••事件A,A,A3,A,A相互独立,
•••敌机未被击中的概率为
p（AA2A3AA5）=P（A）p（A2）P（A）P（A4）p（ao
545
（10.2）5（匚）5・
5
45
•••敌机未被击中的概率为
（一）5.
5
1）可得:
（2）至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（
1-（4）n
5
4
n1
…（）
5
10
n
1
10.3.
1
3lg2
敌机被击中的概率为
二令1（4）n0.9,
5
两边取常用对数，得
•••nNn11-
•至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机+
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