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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
(一)向量及其线性运算
1、向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面;
r
2、线性运算:
加减法、数乘;b=(bx,by,bz)
3、空间直角坐标系:
坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;
4、利用坐标做向量的运算:
设a=(a
x,ay,az),
(a±b,a±b,a±b),
=(a
a);
b
则a±=
x
a
xyyzz
x,ayz
5、向量的模、方向角、投影:
1)向量的模:
r;
2)
两点间的距离公式:
AB=
3)方向角:
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,
4)
方向余弦:
cos=
x,cos=
r
y,cos=z
r
cos2+cos2+cos2=1
=
5)投影:
Prjua
acos,其中为向量a与u的夹角。
(二)数量积,向量积
1、数量积:
a⋅b=a
bcos
2
1)
a⋅a=a
2)a⊥
b⇔a⋅b=0
a⋅b
=axbx+ayby+azbz
2、向量积:
c
=a⨯b
大小:
absin,方向:
a,b,c符合右手规则
1)a⨯a=0
2)a//b⇔a⨯b=0
rrr
ijk
a⨯b=x
bx
ayaz
bybz
运算律:
反交换律b⨯a=-a⨯b
(三)曲面及其方程
1、曲面方程的概念:
S:
f(x,y,z)=0
2、旋转曲面:
yoz面上曲线C:
f(y,z)=0,
绕y轴旋转一周:
f(y,±)=0
绕z轴旋转一周:
f(±,z)=0
3、柱面:
F(x,y)=0表示母线平行于z
4、二次曲面
轴,准线为
⎪F(x,y)=0
⎪z=0的柱面
⎩
x2
1)椭圆锥面:
a2
+
y2b2
=z2
x2
2)椭球面:
a2
x2
旋转椭球面:
a2
+
y2b2
+y2a2
z2
+=1
c2
+z2=
c21
x2
3)单叶双曲面:
a2
x2
+
y2z2
b2-c2=1
y2z2
4)双叶双曲面:
a2
x2
5)椭圆抛物面:
a2
-b2-=
c2
+y2
b2=z
x2y2
6)双曲抛物面(马鞍面):
a2
-
b2=z
x2
7)椭圆柱面:
a2
x2
8)
双曲柱面:
a2
9)抛物柱面:
x2
y2
+=1
b2
-y2=
b2
=ay
(四)空间曲线及其方程
1、一般方程:
⎨⎪F(x,y,z)=0
⎩G(x,y,z)=0
⎧x=
2、参数方程:
⎨y=
⎪
⎩z=
x(t)
y(t)
z(t)
⎧x
,如螺旋线:
⎨y
⎪
⎩z
=acost
=asint
=bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
⎪F(x,y,z)=0⎪H(x,y)=0
⎨
⎩⎪G(x,y,z)=0
,消去z,得到曲线在面xoy上的投影
⎪⎩z=0
(五)平面及其方程
1、点法式方程:
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
n
法向量:
=(A,B,C),过点(x0,y0,z0)
2、一般式方程:
Ax+By+Cz+D=0
截距式方程:
x+
y+z=1
bc
3、两平面的夹角:
n
=(A,B,C),n=(A,B,C),
cos=
11112222
∏1⊥∏2⇔A1A2+B1B2+C1C2=0
∏//∏
⇔A1=B1
=C1
12
222
4、点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D
d=
(六)空间直线及其方程
=0的距离:
1、一般式方程:
⎪⎨A1x+B1y+C1z+D1=0
⎩A2x+B2y+C2z+D2=0
x-x0
2、对称式(点向式)方程:
m
=y-y0
n
=z-z0
p
s
方向向量:
=(m,n,p),过点(x0,y0,z0)
⎧x=x0+mt
3、参数式方程:
⎨y=
⎪
y0+nt
⎩z=z0+pt
4、两直线的夹角:
s
=(m,n,p),s=(m,n,p),
cos=
11112222
L1⊥L2⇔m1m2+n1n2+p1p2=0
L1//L2
⇔m1=n1=p1m2n2p2
5、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
sin=
L//∏⇔Am+Bn+Cp=0
L⊥∏⇔A=B=C
mnp
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
2、多元函数:
z=f(x,y),图形:
3、极限:
lim
(x,y)→(x0,y0)
4、连续:
lim
(x,y)→(x0,y0)
5、偏导数:
f(x,y)=A
f(x,y)=f(x0,y0)
fx(x0
y0
)=lim
∆x→0
f(x0+∆x,y0)-
∆x
f(x0,y0)
fy(x0
y0
)=lim
∆y→0
f(x0,y0+∆y)-
∆y
f(x0,y0)
6、方向导数:
∂f=∂fcos+∂fcos其中,为l的方向角。
∂l∂x∂y
7z=f(x,y),则gradf(x,y)=f(x,y+f(x,y
、梯度:
0
z=f(x,y)dz=
∂0z
x
dx+
)i
∂0z
dy
y00)j。
8、全微分:
设,则
(二)性质
∂x∂y
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
3、微分法
1)定义:
ux
2)复合函数求导:
链式法则z
若z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则vy
∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v,∂z=∂z⋅∂u+∂z⋅∂v
∂x∂u∂x∂v∂x∂y∂u∂y∂v∂y
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(三)应用
1、极值
1)无条件极值:
求函数z=f(x,y)的极值
f=0
解方程组⎪⎨fx=0
⎪y
求出所有驻点,对于每一个驻点(x0
y0
),令
A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),
①若AC-B2>0,A>0,函数有极小值,若AC-B2>0,A<0,函数有极大值;
②若AC-B2<0,函数没有极值;
③若AC-B2=0,不定。
2)条件极值:
求函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值
令:
L(x,y)=f(x,y)+(x,y)———Lagrange函数
⎧Lx=0
⎪
解方程组
⎨Ly=0
⎪
⎩(x,y)=0
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
⎧x=x(t)
曲线Γ
:
⎨y=
⎪
y(t),则Γ上一点M(x0,y0,z0)(对应参数为t0)处的
⎩z=z(t)
x-x0=y-y0=z-z0
切线方程为:
x'(t0)y'(t0)z'(t0)
法平面方程为:
x'(t0)(x-x0)+
2)曲面的切平面与法线
y'(t0)(y-y0)+z'(t0)(z-z0)=0
曲面∑:
F(x,y,z)=0,则∑上一点M(x0,y0,z0)处的切平面方程为:
Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0
x-x0=y-y0=z-z0
法线方程为:
Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)
第十章重积分
(一)二重积分
1、定义:
⎰⎰f(x,y)d=lim∑n
f(,)∆
kkk
→0
Dk=1
2、性质:
(6条)
3、几何意义:
曲顶柱体的体积。
4、计算:
1)直角坐标
D=⎧(x,y)1(x)≤y≤2(x)⎫
⎨a≤x≤b⎬,
⎰⎰⎰⎰
f(x,y)dxdy=bdx2(x)f(x,y)dy
a1(x)
D
D=⎧(x,y)1(y)≤x≤2(y)⎫
⎨c≤y≤d⎬,
⎰⎰⎰⎰
f(x,y)dxdy=ddy2(y)f(x,y)dx
c1(y)
D
2)极坐标
D=⎧(,)1()≤≤2()⎫
⎨≤≤⎬
⎰⎰f(x,y)dxdy=
D
⎰d
2()
1
⎰()
f(cos,sin)d
(二)三重积分
n
1、定义:
2、性质:
3、计算:
⎰⎰⎰Ω
f(x,y,z)dv=lim∑
→0k=1
f(k,k,k)∆vk
1)直角坐标
z2(x,y)
1
⎰⎰⎰Ωf(x,y,z)dv=⎰⎰Ddxdy⎰z(x,y)f(x,y,z)dz“先一后二”
⎰⎰⎰=⎰⎰⎰ΩaD
b
f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy“先二后一”
Z
2)柱面坐标
⎧x=cos
⎨y=sin
⎪
⎩z=z
3)球面坐标
,⎰⎰⎰Ω
f(x,y,z)dv=⎰⎰⎰Ω
f(cos,sin,z)dddz
⎧x=rsincos
⎨y=rsinsin
⎪
⎩z=rcos
ΩΩ
⎰⎰⎰f(x,y,z)dv=⎰⎰⎰f(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd
(三)应用
曲面S:
z=
A=⎰⎰D
f(x,y),(x,y)∈D的面积:
dxdy
第十一章曲线积分与曲面积分
(一)对弧长的曲线积分
1、定义:
f(x,y)ds=lim∑n
f(,)⋅∆s
⎰L
2、性质:
→0
iii
i=1
1)⎰L[f(x,y)+(x,y)]ds=⎰Lf(x,y)ds+⎰Lg(x,y)ds.
2)
⎰Lf(x,y)ds=⎰L
f(x,y)ds+⎰L
f(x,y)ds.(L=L1+L2).
3)在L上,若
f(x,y)≤g(x,y),则⎰Lf(x,y)ds≤⎰Lg(x,y)ds.
4)⎰Lds=l(l为曲线弧L的长度)
3、计算:
⎪x=(t),
(≤t≤),
设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为⎪⎩y=(t),
其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数,且'2(t)+'2(t)≠0,则
⎰Lf(x,y)ds=⎰f[(t),(t)]
(<)
(二)对坐标的曲线积分
1、定义:
设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧,函数P(x,y),
n
Q(x,y)在L上有界,定义⎰
n
P(x,y)dx=lim∑P(k,)∆kx
→0k=1
kL,
⎰Q(x,y)dy=lim∑Q(k,)∆ky.
→0k=1
向量形式:
⎰LF⋅dr=⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
2、性质:
-
用L表示L的反向弧,则⎰L-F(x,y)⋅dr=-⎰LF(x,y)⋅dr
3、计算:
设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续,
⎪x=(t),
L的参数方程为
⎪⎩y=(t),(t:
→),其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导数,且
'2(t)+'2(t)≠0,则
⎰⎰
P(x,y)dx+Q(x,y)dy={P[(t),(t)]'(t)+Q[(t),(t)]'(t)}dt
L
4、两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为
L为⎪x=(t)
⎪⎩y=(t)
,L上点(x,y)
处的切向量的方向角为:
cos='(t)cos='(t)
,,,
则⎰LPdx+Qdy=⎰L(Pcos+Qcos)ds.
(三)格林公式
1、格林公式:
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数P(x,y),Q(x,y)在
D上具有连续一阶偏导数,则有⎰⎰ç⎛∂Q
∂P⎫
dxdy=Pdx+Qdy
⎝∂x-∂y⎭⎪⎰
2、G为一个单连通区域,函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数,则
∂Q=∂P⇔曲线积分⎰Pdx+Qdy在G内与路径无关
∂x∂yL
⎰
⇔曲线积分Pdx+Qdy=0
L
⇔P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分
(四)对面积的曲面积分
1、定义:
设∑为光滑曲面,函数f(x,y,z)是定义在∑上的一个有界函数,
定义⎰⎰
n
f(x,y,z)dS=lim∑f(,i,i)∆iS
→0i=1
2、计算:
———“一单二投三代入”
∑:
z=z(x,y),(x,y)∈Dxy,则
⎰⎰∑
f(x,y,z)dS=⎰⎰D
f[x,y,z(x,y)]1+z2(x,y)+z2(x,y)dxdy
xy
(五)对坐标的曲面积分
1、预备知识:
曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量
2、定义:
设∑为有向光滑曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在∑上的有界函数,
R(x,y,z)dxdy=lim∑nR(,,)(∆S)
定义⎰⎰∑
iii
→0i=1
n
ixy
同理,⎰⎰∑P(x,y,z)dydz=lim∑P(i,i,i)(∆Si)yz
→0
n
i=1
⎰⎰∑
Q(x,y,z)dzdx=lim∑R(i,i,i)(∆Si)zx
→0
3、性质:
1)∑=∑1+∑2,则
i=1
⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy+⎰⎰
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
2)∑-表示与∑取相反侧的有向曲面,则⎰⎰∑-Rdxdy=-⎰⎰∑Rdxdy
4、计算:
——“一投二代三定号”
∑:
z=z(x,y),(x,y)∈Dxy,z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,R(x,y,z)在
∑上连续,则⎰⎰∑R(x,y,z)dxdy=±⎰⎰DxyR[x,y,z(x,y)]dxdy,∑为上侧取“+”,
∑为下侧取“-”.
5、两类曲面积分之间的关系:
⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=⎰⎰∑(Pcos+Qcos+Rcos)dS
其中,,为有向曲面∑在点(x,y,z)处的法向量的方向角。
(六)高斯公式
1、高斯公式:
设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑所围成,
函数P,Q,R在Ω上有连续的一阶偏导数,则有
∑的方向取外侧,
⎛∂P+∂Q
∂R⎫
+dxdydz=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
⎰⎰⎰Ωç∂x∂y∂⎪⎰⎰z
或⎰⎰⎰Ωç⎛∂P+∂Q+∂
⎪dxdydz=
(Pcos+Qcos+Rcos)dS
∂x∂y∂z⎰⎰
⎝⎭∑
2、通量与散度
通量:
向量场A=(P,Q,R)通过曲面∑指定侧的通量为:
Φ=⎰⎰∑Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
∂P+∂Q+∂R
散度:
divA=
∂x∂y∂z
(七)斯托克斯公式
1、斯托克斯公式:
设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
⎛∂R∂Q⎫⎛∂P∂R⎫⎛∂Q∂P⎫
⎰⎰ç∂y-⎪dydz+ç
⎪dzdx+ç
∂⎪dxdy=⎰
Pdx+Qdy+Rdz
Γ
∑⎝∂z⎭⎝∂z-∂x⎭⎝∂x-y⎭
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:
∂
dydz
∑
⎰⎰∂xP
dzdx
∂
∂yQ
dxdy
∂
∂zR
=⎰Γ
Pdx+Qdy+Rdz
2、环流量与旋度
Γ
环流量:
向量场A=(P,Q,R)沿着有向闭曲线的环流量为⎰
Pdx+Qdy+Rdz
⎛∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P⎫
旋度:
rotA=ç∂y-∂z,∂z-∂x,∂x-∂y⎪
第十二章无穷级数
(一)常数项级数
1、定义:
1)
∞
无穷级数:
∑un
n=1
=u1+u2+u3++un+
部分和:
Sn
n
=∑uk
k=1
=u1+u2+u3++un,
∞
正项级数:
∑un,un
n=1
交错级数:
∑(-1)u
∞
n
n
≥0
,un≥0
n=1
∞∞
2)级数收敛:
若limSn=S存在,则称级数∑un收敛,否则称级数∑un发散
n→∞
∞∞
3)条件收敛:
∑un收敛,而∑un发散;
n=1n=1
n=1
∞
n=1
绝对收敛:
∑un
n=1
收敛。
2、性质:
1)改变有限项不影响级数的收敛性;
∞∞∞
2)级数∑an,∑bn收敛,则∑(an±bn)收敛;
n=1n=1n=1
3)级数∑an收敛,则任意加括号后仍然收敛;
n=1
4)
∞
必要条件:
级数∑un
n=1
收敛⇒
limunn→∞
=0.(注意:
不是充分条件!
)
3、审敛法
∞
正项级数:
∑un,un≥0
n=1
1)定义:
limSn
n→∞
=S存在;
2)
∞
∑un收敛⇔{Sn}有界;n=1
∞∞
3)比较审敛法:
∑un,∑vn为正项级数,且un≤vn(n=1,2,3,)
n=1n=1
∞∞∞∞
若∑vn收敛,则∑un收敛;若∑un发散,则∑vn发散.
n=1
∞∞
n=1n=1n=1
4)比较法的推论:
∑un,∑vn为正项级数,若存在正整数m,当n>m时,
n=1
∞
n=1
∞
un≤kvn,而∑vn收敛,则∑un收敛;若存在正整数m,当n>m时,
n=1
∞
n=1
∞
un≥kvn,而∑vn发散,则∑un发散.
n=1n=1
limun=l
∞
5)比较法的极限形式:
∑
n=1
∞