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1、完整大一下高数下册知识点推荐文档高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；r2、 线性运算：加减法、数乘； b = (bx ,by ,bz )3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设 a= ( ax , ay , az ) ， (a b , a b , a b ) , = ( a, a ) ；b则 a =xax y y z zx , ay z5、 向量的模、方向角、投影： 1）向量的模： r ；2）两点间的距离公式： AB =3）方向角：非零向量与三

2、个坐标轴的正向的夹角 , , 4）方向余弦： cos =x , cos =ry , cos = zrcos2 + cos2 + cos2 = 1 = 5）投影： Pr ju aa cos ，其中 为向量a 与u 的夹角。（二） 数量积，向量积 1、 数量积： a b = ab cos 21）a a = a 2）a b a b = 0 a b= axbx + ayby + azbz 2、 向量积： c= a b 大小： a b sin ，方向： a,b, c 符合右手规则 1） a a = 0 2） a / b a b = 0r r r i j ka b = xbxay azby bz 运算律：

3、反交换律 b a = -a b（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念： S : f (x, y, z) = 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f ( y, z) = 0 ，绕 y 轴旋转一周： f ( y, ) = 0绕 z 轴旋转一周： f ( , z) = 03、 柱面：F (x, y) = 0 表示母线平行于 z4、 二次曲面轴，准线为F (x, y) = 0z = 0 的柱面x21）椭圆锥面： a2+y2 b2= z 2x22）椭球面： a2x2旋转椭球面： a2+y2 b2+y2 a2z 2+ = 1c2+ z 2 =c2 1x23）单叶双曲面： a2x2+y2 z 2b

4、2 - c2 = 1y2 z 24）双叶双曲面： a2x25）椭圆抛物面： a2- b2 - =c2+y2b2 = zx2 y26）双曲抛物面（马鞍面）： a2-b2 = zx27）椭圆柱面： a2x28）双曲柱面： a29）抛物柱面： x2y2+ = 1b2- y2 =b2= ay（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程： F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0x = 2、 参数方程： y =z =x(t)y(t)z(t)x ，如螺旋线： yz= a cos t= a sin t= bt3、 空间曲线在坐标面上的投影F (x, y, z) = 0 H (x, y) = 0G

5、(x, y, z) = 0，消去 z ，得到曲线在面 xoy 上的投影z = 0（五） 平面及其方程1、 点法式方程： A(x - x0 ) + B( y - y0 ) + C(z - z0 ) = 0n法向量： = ( A, B,C) ，过点 (x0 , y0 , z0 )2、 一般式方程： Ax + By + Cz + D = 0截距式方程： x +y + z = 1b c 3、 两平面的夹角： n= ( A , B ,C ) ， n = ( A , B ,C ) ，cos =1 1 1 1 2 2 2 21 2 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 / A1 = B1= C11

6、22 2 24、 点 P0(x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax + By + Cz + Dd =（六） 空间直线及其方程= 0 的距离：1、 一般式方程： A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0x - x02、 对称式（点向式）方程： m= y - y0n= z - z0ps方向向量： = (m, n, p) ，过点 (x0, y0, z0 )x = x0 + mt 3、 参数式方程： y =y0 + nt z = z0 + pt 4、 两直线的夹角： s= (m , n , p ) ， s = (m , n , p

7、) ，cos =1 1 1 1 2 2 2 2L1 L2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0L1 / L2 m1 = n1 = p1 m2 n2 p25、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，sin =L / Am + Bn + Cp = 0L A = B = Cm n p第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数： z = f (x, y) ，图形：3、 极限： lim( x, y )( x0 , y0 )4、 连续： lim( x, y )( x0 , y

8、0 )5、 偏导数：f (x, y) = Af (x, y) = f (x0 , y0 )f x (x0, y0) = limx0f ( x0 + x, y0 ) -xf ( x0 , y0 )f y (x0, y0) = lim y 0f (x0 , y0 + y) -yf (x0 , y0 )6、 方向导数： f = f cos + f cos 其中 , 为 l 的方向角。 l x y7 z = f (x, y) ， 则 gradf (x , y ) = f (x , y + f (x , y 、 梯度：0z = f (x, y) dz =0 zxdx +)i0zdyy 0 0 ) j 。

9、8、 全微分：设 ，则（二） 性质x y1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、 微分法1）定义： u x2）复合函数求导：链式法则 z若 z = f (u, v), u = u(x, y), v = v(x, y) ，则 v yz = z u + z v ， z = z u + z vx u x v x y u y v y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、 极值1）无条件极值：求函数 z = f (x, y) 的极值f = 0解方程组 f x = 0 y求出所有驻点，对于每

10、一个驻点(x0, y0) ，令A = f xx (x0 , y0 ) ， B = f xy (x0 , y0 ) ， C = f yy (x0 , y0 ) ， 若 AC - B2 0 ， A 0 ，函数有极小值， 若 AC - B2 0 ， A 0 ，函数有极大值； 若 AC - B2 0 ，函数没有极值； 若 AC - B2 = 0 ，不定。2）条件极值：求函数 z = f (x, y) 在条件 (x, y) = 0 下的极值令： L(x, y) = f (x, y) + (x, y) Lagrange 函 数Lx = 0解方程组Ly = 0 (x, y) = 02、 几何应用1）曲线的切

11、线与法平面x = x(t) 曲线: y =y(t) ，则 上一点 M (x0 , y0 , z0 ) （对应参数为t0 ）处的z = z(t)x - x0 = y - y0 = z - z0切线方程为： x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )法平面方程为： x(t0 )(x - x0 ) +2）曲面的切平面与法线y(t0 )(y - y0 ) + z(t0 )(z - z0 ) = 0曲面 : F (x, y, z) = 0 ，则 上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：Fx (x0 , y0 , z0 )(x - x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )(

12、y - y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z - z0 ) = 0x - x0 = y - y0 = z - z0法线方程为： Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义： f (x, y) d = lim nf ( , ) k k k 0D k =12、 性质：（6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。4、 计算：1）直角坐标D = (x, y) 1(x) y 2 (x) a x b ， f (x, y)dxdy = b dx 2 ( x) f (x,y) d ya

13、 1 ( x)DD = (x, y) 1( y) x 2 ( y) c y d ， f (x, y)dxdy = d dy 2 ( y ) f (x,y) d xc 1 ( y )D2）极坐标D = ( , ) 1 ( ) 2 ( ) f (x, y)dxdy =D d 2 ( )1 ( )f ( cos , sin ) d （二） 三重积分n1、 定义：2、 性质：3、 计算：f (x, y, z) d v = lim 0 k =1f ( k , k , k )vk1）直角坐标z2 ( x, y )1 f ( x, y, z) d v = D d xd yz ( x, y ) f (x, y

14、, z) d z “先一后二” = a Dbf (x, y, z) d v d z f (x, y, z) d x d y “先二后一”Z2）柱面坐标x = cos y = sin z = z3）球面坐标， f (x, y, z) d v = f ( cos , sin , z) d d dzx = r sin cos y = r sin sin z = r cos f (x, y, z) d v = f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sin drd d （三） 应用曲面 S : z =A = Df (x, y) , (x, y) D 的面积：d x

15、d y第十一章 曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、 定义：f (x, y)ds = lim nf ( , ) sL2、 性质： 0i i ii=11） L f (x, y) + (x, y)ds = L f (x, y)ds + L g(x, y)ds.2）L f (x, y)ds = Lf (x, y)ds + Lf (x, y)ds. (L = L1 + L2 ).3）在 L 上，若f (x, y) g(x, y) ， 则L f (x, y)ds L g(x, y)ds.4）L ds = l ( l 为曲线弧 L 的长度)3、 计算：x = (t),( t )，设 f (x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为 y = (t),其中 (t), (t)在 , 上具有一阶连续导数，且 2(t ) + 2 (t ) 0 ，则 L f (x, y)ds = f (t), (t), ( m 时，n=1n=1un kvn ，而vn 收敛，则un 收敛；若存在正整数 m ，当 n m 时，n=1n=1un kvn ，而vn 发散，则un 发散.n=1 n=1lim un = l5）比较法的极限形式： n=1