秋人教版九年级数学上册教材全解读docx.docx
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教材分析
第二■-一章一元二次方程
【知识网络】
【知识解读】
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式：
ax2+Z>x+c=O（a*o）.
（1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）.三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程.
（2）京+bx+c=O（a,b,c为常数，a.O）称为一元二次方程的一般形式，其中水0是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程.履叫做二次项，a叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆.
2.一元二次方程的解法
直挂开方法
配方法
家根公式
因式分解法
理论
依据
平分根的定义
完全平方公式
直接开平方法
配方法和直接、开平方法
4•月=0,贝」为=0或5=0
适用
础
对=戒沏0）
（X±W2）'=”（八0）
所有的一元二次方程
所有的一元二次方程
左边能分解因式，右边为0的方程
其
体
步
1.观察方程是否符合
或
（1±四）富=”（”Ho）
2.直接开平方，律两个一次方程
3.解一元一次方程得原方程的两个根
1.移项，使方程左边之含有二次项和一次项，右边.为常数项
2.方程两边都加上一次项系数一半的平方
3.原方程变为
（X土?
n）=卜3mo）
1.化二次项系数为1
2.把方程化为一般形式
3.求出b2-4ac的值
4.a>b>c的值代入
-如c
x=
2a
1.将方程右边化为0
2.将方程左边进行因式分解
3.令每个因式等于0,律两个一元一次方程
4.解这两个一元一次方程，得方程的两个根
注意事项：
解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：
用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为（mx-n）25的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1,再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.
解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法.公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）.分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程.掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本.一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法.没有特别说明，一般不用配方法.
3.一元二次方程的实际应用
方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题
相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义.利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性.
列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.审：
读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；
设：
设元，也就是设未知数；
列：
列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；
解：
解方程，求出未知数的值；
验：
检验方程的解能否保证实际问题有意义；
答：
写出答语.
相等关系的寻找应从以下几方面入手：
1分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（vt=s）.
2注意总结各类应用题中常用的等量关系.如工作量（工程）问题.常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）.
3注意语言与代数式之间的转化.题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式.
4从语言叙述中寻找相等关系.如甲比乙大5应理解为“甲=乙+5”
5在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系.
总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是
列方程解应用题的关键.
【易错点】
一、忽视一元二次方程定义中的条件
例1关于X的一元二次方程（a+l）x2+x+a2-l=0的一个根为0,则
错解：
...0是一元二次方程的根,.•.将x=0代入方程得a?
-1=0,."=±L
剖析：
因为方程为一元二次方程，所以二次项系数a-l#0,即a左一1。
错解忽视了二次项系数不为零的规定，故答案应为a=l.
二、用公式法解方程，忽视化方程为一般形式
例2解方程x2-4x=8
错解：
Va=l,b=-4,c=8,b2-4ac=（-4）2-4x8=-16<0
•••原方程无解。
剖析：
用公式法解一元二次方程时，先要将方程化为一般形式，再确定
的值，最后代入公式求解。
上面的解法就是没有将方程化为一般形式致错。
正解：
原方程可化为x2-4x-8=0
...a=l,b=-4,c=8,b2-4ac=（-4）2-4x（-8）=48
...*=-（：
土面=2±2旧
•••原方程的解为Xi=2+2V3,x2=2-2V3.
三、忽视等式性质中的条件
例3—元二次方程x（x-2）=x-2的解是（）
（A）1（B）1或2（C）0（D）0或2
错解：
方程两边除以x-2得x=L故应选A。
剖析：
若方程两边有公因式，只有在满足公因式不为零时，才能约去公因式，否则，就会违背等式的性质，以至造成方程失根。
正解：
移项，得x（x~2）-（x~2）=0,
提公因式，得（x-2）（x-1）=0,
所以X]=1,X2=2,故应选B
四、概念模糊致错
例4已知方程x2+3x+m=。
有整数根,m是非负整数，求方程的整数根。
错解：
L.方程有整数根，...32—4m20,Am<
4
又是非负整数,.•.蚌1或2
当HF1时，方程为x2+3x+1=0,易得，方程无整数解；
当m=2时，方程为"+3乂+2=0,=-1,x2=-2
故方程的整数解为X】=-1,x2=-2
剖析：
以上错解是因对“非负整数”的概念模糊不清，仅求出了m是正整数时的根，而漏掉了m为零时的根.
正解：
由上面的解法，得到两个整数根x】=-1,X2=—2.
当m=0时，方程x2+3x+m=0,解^x3=0,x4=—3.
故方程的整数根为Xi=—1,x2=—2,x3=0,X4=—3.
五、忽视方程有根的具体含义
例5关于X的方程（k一1）x2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是
错解:
因方程有实数根，所以｛（宜）!
*?
（k—1）>o'解得kM2且k^l.
剖析：
对方程有实数根的正确理解应该是一个实数根或有两个实数根两种情形。
上述解法，只考虑了方程为一元二次方程的情况，而忽视了方程也可能为一元一次方程。
故正确答案是：
当kw2时，方程有实数根。
第二十二章二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax"2+bx+c
（a,b,c为常数，aKO,且a决定函数的开口方向，a〉0时，开口方向
向上，a〈0时，开口方向向下，lai还可以决定开口大小，lai越大开口就越小，lai越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：
y=ax"2+bx+c（a,b,c为常数，a/0）
顶点式：
y=a（x-h）"2+k［抛物线的顶点P（h,k）］
交点式：
y=a（x-xi）（x-x，［仅限于与x轴有交点A（xv0）和B（x2,0）的抛物线］
注：
在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2ak=（4ac~b'2）/4aXi,x2=（_b±Vb'2~4ac）/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x”2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a„
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为：
P（-b/2a,（4ac-b”2）/4a）当-b/2a=0
时，P在y轴上；当八=b"2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，
则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
A=b'2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
A=b'2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
A=b'2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-
b±Vb~2-4ac的值的相反数，乘上虚数i,整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax"2+bx+c,
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax"2+bx+c=0
此时，函数图像与X轴有无交点即方程有无实数根。
函数与X轴交点的横坐标即为方程的根。
1,二次函数y=ax"2,y=a（x-h）"2,y=a（x-h）”2+k,y=ax"2+bx+c（各式中，a尹0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax^2
（0,0）
x=0
y=a（x-h）zv2
（h，0）
x=h
y=a（x-h）Zk2+k
（h.k）
x=h
y=ax八2+bx+c
（-b/2a>[4ac-bA21/4a）
x=-b/2a
当h>0时，y=a（x-h）”2的图象可由抛物线y=ax”2向右平行移动h个单位
得到，
当h〈0时，则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax”2向右平行移动h个单位，再向上移动k
个单位，就可以得到y=a（x-h）”2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax”2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）”2+k的图象；
当h〈0,k〉0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x-h）”2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）”2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax"2+bx+c（a尹0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）"2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax~2+bx+c（a尹0）的图象：
当a〉0时，开口向上，当a〈0时
开口向下，对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是（-b/2a,[4ac~b"2]/4a）.
3.抛物线y=ax~2+bx+c（a尹0）,若a〉0,当xW-b/2a时，y随x的增大而减小；当xN-b/2a时，y随x的增大而增大.若a〈0,当xW-b/2a时，y随x的增大而增大；当xN-b/2a时，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax~2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；
（2）当左=b~2-4ac>0,图象与x轴交于两点A（xv0）和B（x2,0）,其中的
xl,x2是一元二次方程ax"2+bx+c=0
（a尹0）的两根.这两点间的距离AB=|x2-Xi|
当△=（）.图象与x轴只有一个交点；
当△〈（）.图象与x轴没有交点.当a〉0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y〉0；当a〈0时，图象落在x轴的下方，乂为任何实数时，都有y〈0.
5.抛物线y=ax"2+bx+c的最值：
如果a〉O（a〈O）,则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b"2）/4a.
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，
可设解析式为一般形式：
y=ax"2+bx+c（a尹0）.
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点
式：
y=a（x-h）”2+k（a尹0）.
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
y=a（x-xD（x-x2）（a尹0）.
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.
第二十三章旋转
1、定义
把一个图形绕某一点。
转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中0叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180。
，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180。
，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
5、坐标系中对称点的特征
1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x,y）关于原点
的对称点为P'（-x,-y）
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点
P（x,y）关于x轴的对称点为P'（x,-y）
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点
P（x,y）关于y轴的对称点为P'（-x,y）
第二十四章圆
一圆的定理
1.1不共线的三点确定一个圆
经过一点可以作无数个圆
经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上
定理：
过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆
推论：
三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心
三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心
1.2垂径定理
圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心
圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧
推论1：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧
推论2：
弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
推论3：
平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另
一条弧
1.3弧.、弦和弦心距
定理：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
二圆与直线的位置关系
2.1圆与直线的位置关系
如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离
如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点
定理：
经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线
定理：
圆的切线垂直经过切点的半径
推论1：
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
推论2：
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相
交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点
直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种
2.2三角形的内切圆
如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆
定理：
三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心
三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
以旁心为圆心可以作一个圆和一边及其他两边的延长线相切，所作的圆叫做三角形的旁切圆
2.3切线长定理
定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
2.4圆的外切四边形
定理：
圆的外切四边形的两组对边的和相等
定理：
如果四边形两组对边的和相等，那么它必有内切圆
三圆与圆的位置关系
3.1两圆的位置关系
在平面内，不重合的两圆。
它们的位置关系，有以下五种情况：
外离、外切、相交、内切、外切
经过两个圆的圆心的直线，叫做两圆的连心线，两个圆心之间的距离叫做圆心距
定理：
两圆的连心线是两圆的对称轴，并且两圆相切时，它们切点在连心
线上
（1）两圆外离d>R+r
（2）两圆外切d=R+r
（3）两圆相交R-r〈d〈R+r（R〉r）
（4）两圆内切d=R-r（R>r）
（5）两圆内含dr）
特殊情况，两圆是同心圆d=0
3.2两圆的公切线
定理：
两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等
第二十五章概率初步
25.1随机事件与概率
25.1.1随机事件
知识点一必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，它们统称为确定性事件。
知识点二事件发生的可能性的大小
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。
不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
25.1.2概率
知识点概率
一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）o
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性
都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）
mm
="。
由m和n的含义可知0WmWn,因此0因此OWP
（A）W1.
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
25.2用列举法求概率
知识点一用列举法求概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能
性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）
m
二n
O
知识点二用列表发求概率
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
知识点三用树形图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。
树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方
法。
（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。
25.3用频率估计概率
知识点
在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的
估计值。
m
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率〃稳定于某一个常数
P,那么事件A发生的频率P（A）
=P。
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