什么是数学思维为什么它很重要.docx
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什么是数学思维为什么它很重要
什么是数学思维？
为什么它很重要？
数学思维在三个方面很重要。
•数学思维是学校教育的重要目标。
•数学思维作为学习数学的一种方式非常重要。
•数学思维对数学教学很重要。
数学思维是一种高度复杂的活动，人们对它的研究和著述颇多。
在本文中，我将举几个数学思维的例子，并展示数学思维经常进行的两对过程：
•专业化和泛化
•推测和说服力。
运用数学思维解决问题是数学教学的基本目标之一，但也是数学教学最难以实现的目标之一。
教学的最终目标是使学生能够自己进行数学调查，并能够确定所学数学在现实世界中的适用性。
用数学家paulhalmos（1980）的话来说，解决问题是“数学的心脏”。
然而，尽管世界各地的教师在实现这一目标方面取得了相当大的成功，特别是对能力更强的学生而言，我们始终需要改进，以便让更多的学生更深刻地理解数学思维和运用数学来帮助他们的日常生活和工作生活的意义。
数学思维是学校教育的重要目标，数学思维和运用数学思维解决问题的能力是学校教育的重要目标。
在这方面，数学思维将支持一个经济体的科学、技术、经济生活和发展。
政府越来越认识到，一个国家的经济福祉是由人口中高水平的“数学素养”（PISA，2006）支撑的。
数学素养是一个非常流行的术语，特别是由经合组织的PISA国际评估项目15岁学生。
数学素养是能够将数学应用于日常生活、工作和进一步学习，因此PISA评估为学生提供了现实情境下的问题。
PISA使用的框架表明，数学素养涉及到数学思维的许多组成部分，包括推理、建模和思想之间的联系。
很明显，数学思维在很大程度上是重要的，因为它使学生具备运用数学的能力，因此也是学校教育的一个重要成果。
在强调数学是有用的同时，学校教育需要让学生体验数学所能带来的智力冒险。
虽然数学研究的最高水平永远只留给少数人，但如果许多学生能够像1994年证明费马最后一个定理的数学家安德鲁·威尔斯（AndrewWiles）在下面的引文中所描述的那样，能让许多学生尝到一点数学发现的精神，那就太好了。
这个问题已经解决了357年。
一个人走进豪宅的第一个房间，天黑了。
一个人跌跌撞撞地撞上家具，但渐渐地你就会知道每件家具在哪里。
最后，经过六个月的时间，你找到了电灯开关，你打开了它，突然它就亮了。
你可以清楚地看到你在哪里。
然后你搬进隔壁房间，再在黑暗中呆上六个月。
因此，每一个突破，虽然有时是短暂的，有时是一两天的时间，但它们都是之前在黑暗中跌跌撞撞几个月的高潮，而且不可能没有这些突破而存在。
（AndrewWiles，Singh引用，1997，p236237）在2006年1月于东京举行的APEC会议上，JandeLange详细地谈到了如何利用数学来培养年轻人的生活能力，因此我将把本文的重点放在数学思维很重要的另外两个方面。
什么是数学思维？
因为数学思维是一个过程，所以最好通过例子来讨论，但是在看例子之前，我简要地检查了一些框架，以阐明数学思维，超越了数学素养的概念。
有许多不同的“窗口”，通过这些窗口可以看到数学思维。
这次会议的组织委员会（亚太经合组织，2006年）就这一点进行了实质性的讨论。
Stacey（2005）回顾了澳大利亚、英国和美国在课程文件中如何对待数学思维。
Schoenfeld（1985）提供了一个经过充分研究的框架，他将数学问题解决的工作分为四个标题：
学生所获得的数学知识和技能的资源任务，学生在解决问题时可以使用的启发式策略，学生对问题解决过程的监控和控制，以引导其向生产性方向发展，以及学生对数学的信念，这些信念使问题解决尝试成为可能或无效。
麦克劳德（1992）补充了这一观点，阐述了影响在数学问题解决中的重要性。
在我的工作中，我发现老师们认为用数学解决问题需要多种技能和能力，包括：
•深厚的数学知识•一般推理能力•启发式策略知识•有用的信念和态度（例如，对数学有用的期望）•个人属性，如信心、毅力和组织能力•沟通解决方案的技能。
其中，前三个是最接近数学思维的部分。
在我与约翰·梅森和利昂·伯顿合著的书（梅森、伯顿和斯泰西，1982年）中，我们提供了一个关于解决一个数学问题可能要经过的阶段的指南（进入，攻击，以及关于通过提供启发式策略经验来提高问题解决绩效的建议，以及关于以元认知方式监控和控制问题解决过程的建议。
我们还确定了四个基本过程，分为两组，并展示了数学思维是如何通过它们之间的交替进行的：
•专业化——尝试特殊情况，看例子•归纳-寻找模式和关系•推测-预测关系和结果•令人信服-找到并交流某些事情是真的原因。
我将在下面的两个例子中说明这些想法。
第一个例子检验了问题解决者的数学思维，而第二个例子检验了教师的数学思维。
这两个问题是相当不同的-第二个是在主流课程中，数学思维是由老师在课堂上引导的。
第一个问题是一个开放性问题，之所以选择这个问题，是因为它类似于教师可能会选择使用的公开调查，但我希望它不寻常的呈现能让观众重新感受到调查的神秘和魔力。
数学思维作为学习数学的一种方式很重要。
在这一节中，我将以一个问题为背景来说明这四个数学思维过程，这些问题可以用来激发数学对数字的思考，也可以作为代数的导论。
如果说学生的数学思维能力是学校教育的一项重要成果，那么很明显数学思维在课堂教学中必须占有突出的地位。
数字谜题和技巧对于这些目的来说是非常好的，在这个演示中，我将使用一个flashmindReader格式的数字谜题，它由AndyNaughton创建并发布在互联网上（HREF1）。
闪存读卡器看起来不像一个数字拼图。
事实上，它的创造者写道：
我们已经被问了很多次读心术是如何工作的，但不会在这个网站上公布这些信息。
所有的魔术师[…]都不会透露他们的效果如何。
这样做的原因是，它破坏了那些喜欢保持神秘感的人的乐趣，而当你发现了一些东西是如何运作的时候，总是有点失望。
如果你真的很想知道它是如何工作的，我们建议你运用你的大脑，试着在纸上或更远的地方搜索。
（HREF1）和许多其他的数字技巧一样，观众秘密地选择一个数字（和一个符号），进行一个数学处理，计算机显示听众的选择。
在这种情况下，选择一个数字，从数字中减去数字和，然后从表中找到与该数字对应的符号。
然后计算机会神奇地显示正确的符号。
在大多数小学课堂上，读写器太难用了
以及一个实验周期（哪个数字导致72？
，其他数字会导致什么？
）概括如下。
当然，在这个阶段，重要的是要注意使用未闭合表达式（如8+7）而不是封闭的15，因为这样可以更好地揭示一般模式和原因。
用不封闭的表达来揭示结构是日本基础教育的一个令人钦佩的特点。
在这一点上还值得注意的是，虽然我们正在用一个具体的例子来工作，但这里的目的是在具体的方面看到一般。
这种归纳可能会导致一种猜想，即这个技巧是可行的，因为所有起始数字都产生一个9的倍数，而且所有9的倍数都有相同的符号。
但这种推测并不完全正确，对例子的进一步研究（更专业化）最终确定了例外情况，并得出了令人信服的论点。
在学校里，我们的目标是让学生能够用代数来写证明，但即使在他们掌握这项技能之前，他们也可以提出令人信服的论据。
在整个学校里，证明和证明（以适当的形式）的方向是很重要的。
如果学生要成为优秀的数学思考者，那么数学思维就必须成为他们教育的重要组成部分。
此外，了解数学思维组成部分的学生将能够独立运用这些能力来理解他们正在学习的数学。
例如，如果他们不明白一个问题在问什么，他们应该决定自己去尝试一个例子（专门研究）看看会发生什么，如果他们的目标是构建令人信服的论据，那么他们可以从原因而不是规则中学习。
像上面的探索这样的经验，在适当的水平上建立了这些气质。
数学思维是数学教学的基础。
数学思维不仅对解决数学问题和学习数学很重要。
在这一节中，我将借鉴澳大利亚的一节课来讨论数学思维对数学教学的重要性。
这一集是由墨尔本大学的海伦·奇克博士为一个关于教师教学内容知识的研究项目收集的数据。
其他例子见Chick，2003；Chick&Baker，2005；Chick，Baker，Pham&Cheng，2006a；Chick，Pham&Baker，2006b）。
为学生提供学习数学思维的机会，需要教师进行大量的数学思考。
这次会议的第一个公告指出，教师需要用数学思维来分析主题（第4页）、为特定目标计划课程（第4页）和预测学生的反应（第5页）。
这些确实是需要数学思维的关键地方。
然而，在这一节中，我将集中讨论在进行一堂好的数学课的过程中，每分钟都需要的数学思维。
数学思维不仅仅是在计划课程和课程，它对课程的每一分钟都有影响。
这篇课文摘要中的老师是她教书的第五年。
她在奇克的数据中脱颖而出，她是样本中展示最深入教学内容知识的教师之一（舒尔曼，1986，1987）。
她的学生大约11岁，在六年级。
这节课从复习面积和周长的概念开始。
我们只检查前15分钟。
老师选择了一个开放的、逆向的任务来鼓励调查和数学思考。
学生们有1厘米的网格纸，要求他们画一个面积为20平方厘米的矩形。
这个任务是开放的，因为有多个正确的答案，当它与更常见的任务（被赋予一个矩形并找到它的面积）相比，它是“颠倒的”。
老师提醒学生，面积可以用一个形状内的方格数来衡量。
就数学思维的过程而言，这个阶段的老师要确保每个学生都是专业的。
他们每个人都在研究一个特殊的案例，并逐渐了解它，这将为将来的讨论和总结提供一个锚定。
我不认为老师自己是这样分析这一举动的。
当老师在教室里四处走动帮助和监视学生时，她来到一个学生面前，他问他是否可以画一个正方形而不是一个长方形。
在接下来的对话中，老师们的回答突出了矩形的定义，她鼓励学生们从定义中找出正方形确实是矩形。
S：
我能做个正方形吗？
T：
正方形是矩形吗？
T：
什么是长方形？
T：
你怎么得到一个长方形的东西？
矩形的定义是什么？
S：
两条平行线T:
两组平行线…和…S:
四个直角。
T：
那么这是长方形的吗？
S：
是的。
T：
[当老师意识到学生理解正方形是一个矩形，但存在测量误差时，暂停一下]但面积是20吗？
S：
呃，不，T:
[点头和眨眼]
对这个学生的其他回答可能会使他失去机会教他如何在数学中使用定义。
对于“我能做正方形吗？
”？
，她可能只是简单地回答“不，我让你画一个长方形”，或者她可能会立刻集中注意力在导致学生提出问题的错误上。
相反，她看到了发展他使用定义的机会。
当老师意识到学生因为测量错误而询问正方形时，她判断这是学生自己能力范围内的纠正，所以她简单地表示他应该检查他的作业。
在下一节课中，一名学生在投影仪上展示了他的4×5长方形，老师在四周画了画，确认了它的面积是20平方厘米，并表明可以用长度乘以宽度来代替计算正方形，许多学生都是这样做的。
在这节课中，老师演示了推理是做数学的一个关键组成部分。
她强调了通过重复加法（第一行4个，下一行4个，…）和乘法求矩形覆盖的正方形数之间的数学联系。
在她的教室里，这个公式不仅是一个需要记住的规则，而且是要被理解的。
这个公式的发展是“在特殊情况下见将军”的一个明显例子。
公式是从4×5矩形发展而来的，这种方式突出了论证的普遍性。
在这一点上，老师进一步注意了泛化和过度泛化，这时一个学生评论道：
“这就是你计算面积的方法——长度乘以宽度”。
老师抓住这个机会，针对学生过于笼统的倾向，通过简短的课堂讨论，梳理出LxW只适用于矩形。
学生1：
这就是你计算面积的方法——长度乘以宽度。
T：
当小S说这就是你如何找到一个形状的面积时，他是完全正确的吗？
学生2：
这就是你用二维图形做的。
T：
是的，这种形状。
什么样的形状不适合？
S3：
三角形。
S4：
一个圆。
T：
[随着进一步的质疑，梳理出LxW只适用于矩形]
在接下来的几分钟里，老师通过让学生制作面积为20平方厘米的其他矩形来强调乘法和面积之间的联系。
以前所有的学生都做了4x5或2x10，但几分钟后，全班学生发现了20x1、1x20、10x2、2x10、4x5和5x4，并将所有这些边长确定为20的系数。
她的教学特点是在数学课程的不同部分之间建立联系。
然后，在另一个概括过程中，教师开始超越整数：
T：
有没有其他的数字可以给出20的面积？
[停顿了一下，好像不确定。
学生们一开始没有反应]T：
没有？
我们怎么知道没有？
S：
你可以把40乘以0.5。
T：
啊！
你已经变成小数了。
如果我们用小数来计算，我们会有一堆堆的，不是吗？
在这节课的前15分钟后，学生们发现了面积为16平方厘米的矩形，老师强调了系统地解决问题的重要策略。
后来，为了对比面积和周长这两个概念，学生们发现了许多12平方厘米（不只是矩形）的形状，并确定了它们的周长。
即使是这节课的前15分钟也表明，要给学生上一堂丰富的数学思维课，代表老师进行大量的数学思考是必要的。
我们看到她如何利用她的数学概念，深刻理解，以及她对概念之间的联系以及概念和程序之间的联系的知识。
她还借鉴了重要的一般数学原理，如
•系统工作•专业化–概括化：
从实例中学习，寻找特定的一般性•令人信服：
需要证明、解释和联系•定义在数学中的作用。
奇克的作品从教师所拥有的知识来分析教学。
她跟踪教师在教学过程中如何揭示不同类别的教学内容知识（舒尔曼，1986）。
在上面的分析中，我从数学思维的角度来看待这节课，而不是跟踪所使用的知识。
以此类推，在研究学生对数学问题的解答时，研究者可以记下所用的数学内容，也可以观察解决问题的过程。
同样，教学可以从“知识”的角度分析，也可以从过程的角度进行分析。
对于我们这些喜欢数学思考的人来说，我认为把数学教学看作是用数学解决问题的另一个例子是很有成效的。
这并不是强调在前面的课程中使用的静态知识，而是在教学过程中的说明。
为了使用数学来解决任何应用领域的问题，无论是关于金钱、物理、体育或工程，数学必须与应用领域的理解结合起来使用。
在数学教学中，解决者必须汇集数学和普通教育学的专业知识，并将这两个领域的知识结合起来解决问题，无论是分析主题，还是创建一个好的课程计划，或是一分钟一分钟地以数学上富有成效的方式回应学生。
如果教师要鼓励学生进行数学思考，那么他们就需要在整个课程中进行数学思考。
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