《高等数学》应用实例.docx

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《高等数学》应用实例

《高等数学》应用18例

一、椅子能在不平的地面上放稳吗？

二、磁盘的最大存储量

三、有趣的Fibonacci数列

四、分形几何中的Koch雪花

五、工人上班何时效率最高？

六、石油的消耗量

七、捕鱼成本的计算

八、飞出火星

九、萃取问题

十、最优化的产出水平

十一、蚂蚁逃跑问题

十二、资金配置问题

十三、家庭教育基金问题

十四、分针与时针重合问题

十五、证明

是无理数

十六、湖泊的污染问题

十七、减肥问题

十八、冷却定律和破案

一、椅子能在不平的地面上放稳吗？

要回答这个问题，我们先要做一些合理的假设：

（1）椅子的四条腿长度相等，椅脚与地面接触处视为一个点，四脚的连线是一个正方形；

（2）地面是一个连续曲面，没有象台阶那样的情况；

（3）

地面是相对平坦的，即在任何位置至少有三只脚着地；

在以上假设下，问题就是四只脚A、B、C、D能否同时着地？

为此我们以四脚的中心为原点建立坐标系（如图），再以原点为中心旋转椅子，用θ表示旋转的角度，并引入函数f（θ）表示A、C两腿与地面的距离之和，函数g（θ）表示B、D两腿与地面的距离之和,且不妨假设f（θ）、g（θ）都是连续函数，又因在任何位置至少有三只脚着地，所以对任何θ，有f（θ）g（θ）=0。

于是，椅子能在不平的地面上放稳的问题就转化为：

是否存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0？

回答是肯定的，下面是其证明。

不妨假设开始时f（0）>0,g（0）=0，现将椅子旋转900（π/2），对角线AC与BD互换，由f（0）>0,g（0）=0可知f（π/2）=0,g（π/2）>0。

令h（θ）=f（θ）-g（θ），则h（0）>0，而h（π/2）<0，根据连续函数的介值定理知，必存在θ0（0<θ0<π/2），使f（θ0）-g（θ0）=0。

最后，因为f（θ0）g（θ0）=0，所以f（θ0）=g（θ0）=0。

这种通过对实际问题先作合理的假设，最后转化成一个纯粹的数学问题并求解的方法就是数学建模。

有兴趣的同学可以参考一下这方面的书籍。

思考：

若椅子的四脚的连线是一个长方形，如何证明椅子仍能在不平的地面上放稳？

二、磁盘的最大存储量

计算机使用的软磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区，磁道指不同半径构成的同心轨道，扇区是指被圆心角分隔所成的扇形区域。

磁道上的定长弧段可作为基本存储单位，存储一位，称为bit。

为了保障分辨率，磁道的宽度必须大于ρt，每bit所占用的磁道长度不小于ρb，为了检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的bit数。

现有一张半径为R的磁盘，存储区是半径介于r和R之间的环形区域，试确定r，使磁盘具有最大的存储量。

解：

由题知，存储量=磁道数×每磁道的bit数，另磁道数最多可达

，由于每磁道具有相同的bit数，所以为获得最大的存储量，最内的一条磁道必须装满，即每条磁道上的bit数可达到

。

于是，总存储量

为求B（r）的最大值，计算

得驻点

故当

时磁盘具有最大存储量，此时最大存储量为

。

三、有趣的Fibonacci数列

有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔也在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后也每月生产小兔一对。

假定每产一对小兔必为一雌一雄，且无死亡，试问一年后共有小兔几对？

这是意大利数学家Fibonacci在1202年所著“算法之书”中的一个题目。

通过简单的推算，我们不难得到每月末的兔子队数为：

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233，即一年末共有兔子233队。

这是一个有限项数列，按上述规律写出的无限项数列就叫做Fibonacci数列，其中的每一项称为Fibonacci数。

若记

则此数列满足递推关系：

其通项公式为：

这最先是由法国数学家Binet（比内）求出的。

Fibonacci数列与自然、社会生活中的许多现象都密切相关，比如蜜蜂的“家谱”图、钢琴音阶的排列、树的分支等都与Fibonacci数列有关。

为此，美国还专门出版了一份《Fibonacci数列季刊》，以登载它在应用上的新发现及有关理论。

思考：

有一条n阶楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问登上去共有几种走法？

（答案：

种）

四、分形几何中的Koch雪花

所谓Koch雪花，它其实是一种通过递归方式生成的几何图形。

设有单位边长的正三角形，如图，则其周长为

，面积为

。

现将每条边三等分，以每条边中间一段为边向外做正三角形，如图，则每条边生成的四条新边的长度之和是原来每条边的长度的

倍，同时，生成三个新的三角形，每个的面积为原三角形面积的

，故总周长

，总面积

，依次进行下去，并注意到

（1）每一条边生成四条新边，边长变为原来的

；

（2）下一步，四条新边共生成四个新的小三角形，面积是以生成前的边为正三角形的面积的

，故得到：

，

，

，…

，

于是

五、工人上班何时效率最高？

对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8：

00开设工作，在t小时之后，生产出

个晶体管收音机，问：

在早上几点钟这个工人工作效率最高？

解：

求这个工人几点钟工作效率最高，就是问早上几点钟这个工人的生产效率取到最大值。

那么，现在首先的问题是生产效率如何表示？

根据题目的假设，产量是Q（t），故生产率就是产量的变化率，即生产率函数

假定上午班是从早上8：

00到中午12：

00，则问题就转化为求函数R（t）在区间

上的最大值，由

得函数的驻点t=3，即在当t=3时工作效率最高，此时时间是上午11：

00。

六、石油的消耗量

近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07，1970年初，消耗率大约为每年161亿桶。

设R（t）表示从1970年起第t年的石油消耗率，则

（亿桶）。

试用此式估计从1970年到1990年间石油消耗的总量。

解：

设T（t）表示从1970年间石油消耗的总量，即求T（20）。

由于T（t）是石油消耗的总量，所以

就是石油消耗率R（t），即

于是

因T（0）=0，故c=-2300

得

从1970年间石油消耗的总量为：

（亿桶）。

七、捕鱼成本的计算

在鱼塘中捕鱼时，鱼越少捕鱼越困难，捕捞的成本也就越高，一般可以假设每公斤鱼的捕捞成本与当时池塘中的鱼量成反比。

假设当鱼塘中有x公斤鱼时，每公斤的捕捞成本是

元，已知鱼塘中现有鱼10000公斤，问从鱼塘中捕捞6000公斤鱼需花费多少成本？

解：

根据题意，当塘中鱼量为x时，捕捞成本函数为

假设塘中现有鱼量为A，需要捕捞的鱼量为T。

当我们已经捕捞了x公斤鱼之后，塘中的鱼量为A-x，此时再捕捞

公斤鱼所需要的成本为

因此，捕捞T公斤鱼所需成本为

将已知数据A=10000kg,T=6000kg代入，可计算出总捕捞成本为

（元）

八、飞出火星

火星的半径是6860千米，其表面的重力加速度是3.92米/秒2，若在火星上发射一枚火箭，试问要用怎样的处速度才能摆脱火星的引力？

解：

设火星的半径为R，质量为M，火箭的质量为m，根据万有引力定律，当火箭离开火星表面距离为x时，它所受的引力为

当x=0时，f=mg，因而

所以

当火箭上升距离为dx时，它克服火星引力所做的功为

这就是功的“元素”，故当火箭从火星表面x=0处达到高度x=h时它克服火星引力所做的总功为：

当

时，

，所以初速度

必须使动能

，火箭才能脱离火星引力。

由此得

，而g=392cm/s2,R=3430×105cm

故

注：

众所周知，脱离地球引力所需要的速度为11.2km/s，由此看来，如果人类有一天能在火星上居住，那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游应当比从地球上飞去容易得多。

九、萃取问题

现有稀水溶液的醋酸，利用苯做溶剂分3次萃取来回收醋酸，问：

如何分配苯量，才能使从水溶液中萃取出的醋酸最多？

解：

设苯的总体积为

，水溶液的体积为

，溶液中醋酸的初始浓度为

，并且我们假定每次萃取时都遵守下列定律：

（i=1,2,3）

（1）

式中

为常数，

分别表示第i次萃取时苯中的醋酸浓度和水溶液中的醋酸浓度。

现将苯的总体积

分成

三份。

对第一次萃取做醋酸的平衡计算，即：

醋酸总量=苯中的醋酸量+水溶液中的醋酸量，

由醋酸的物料平衡计算，得：

（2）

将

（1）代入

（2）有：

（3）

同理，对第二、三次萃取分别有：

（4）

（5）

由（3）（4）（5）式得：

（6）

为了在苯一定量时萃取出的醋酸量最多，

应为极小值，则只须考虑（6）分母的极大值，为此，设

，问题转化为求

在条件

下的极值问题。

由Lagrange乘数法，设：

由

解得：

不难验证，这时

取得最大值，从而

取得最小值。

也不难看出，这个结果是一般性的，即为了使萃取出的物质最多，无论将溶剂分成多少份，每次都应该采用等量的溶剂。

十、最优化的产出水平

假设某厂生产两种产品，在生产过程中，两种产品的产量

是不相关的，但两种产品在生产技术上是相关的，这样，总成本

为产量

的函数：

，且两种产品的边际成本（总成本的偏导）也是

的函数：

，

，经济学中一般总认为产出和销售是一致的，从而总收益

也是

的函数：

。

现在的问题是如何确定每种产品的产量，以使厂家获得最大的利润？

厂家的利润函数

，由极值的必要条件有：

这里，

称为边际收益（总收益的偏导）。

上式说明：

厂家要获得最大利润，每种产品的产出水平应使得其边际收益等于边际成本。

如：

一工厂生产两种产品，其总成本函数

，两种产品的需求函数分别为

，

，其中

分别为两种产品的价格。

为使工厂获得最大利润，试确定两种产品的产出水平。

解：

工厂的总收益函数

，由

有：

，解之得：

。

故当两种产品的产量分别为5和3时，工厂获利最大；最大利润

。

十一、蚂蚁逃跑问题

一长方形的金属板，假定其四个顶点的坐标分别为（1，1），（5，1），（1，3），（5，3），在（0，0）处置一火焰，其使金属板受热，且假定板上任意点处的温度与该点到原点的距离成反比。

现在（3，2）处有一蚂蚁，问这只蚂蚁沿何方向爬行才能最快到达较凉快的地方？

解：

板上任意点

处的温度

，其中

是一个比例常数，

温度变化最快的方向实际就是梯度所指的方向，计算可得：

，

，

其单位向量

所指方向就是由热变冷最快的方向（其反方向是由冷变热最快）。

蚂蚁虽然不懂梯度，但根据它的感觉细胞的反馈信息，它将沿这个方向逃跑。

注：

借助微分方程的知识，我们还可求出蚂蚁的逃跑路线。

十二、资金配置问题

设某制造商的Cobb-Douglas生产函数

，其中

分别表示劳动力和资本，

表示产量；若劳动力和资本的单位成本分别为150元和250元，现该制造商的总预算为5万元，问他要如何分配这笔钱来购买劳动力和资本，以使生产量最高？

解：

这实际是个求函数

在条件

下的最值问题；

设

，

由

有

，

即该制造商应该雇佣250个劳动力而把其余资金作为资本投入可获得最大产量。

十三、家庭教育基金问题

从1994年开始，我国逐步实行大学收费制度，各银行也相应地开展了家庭教育基金储蓄。

一个小孩从出生开始，其父母每年向银行存入

元作为教育基金，若银行的年复利率为

，试写出第

年后教育基金总额的表达式。

假设小孩到18岁进入大学时所需费用为3万元，按年利率10%计算，问其父母每年需向银行存入多少元？

解：

设

年后教育基金总额为

，每年向银行存入

元，年复利率为

，则有递推关系：

，

即：

=

=

代入

有：

，

，