学年高中数学人教A版必修三教学案第二章 第1节 第3课时 分层抽样 Word版含答案.docx
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学年高中数学人教A版必修三教学案第二章第1节第3课时分层抽样Word版含答案
第3课时 分层抽样
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P60～P61，回答下列问题．
（1）教材探究中你认为应当怎样抽取样本？
提示：
利用分层抽样方法抽取样本．
（2）什么情况下适用分层抽样？
提示：
当总体中个体之间差异较大时可使用分层抽样抽取样本．
2．归纳总结，核心必记
（1）分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法是一种分层抽样．
当总体是由差异明显的几部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
（2）分层抽样的步骤
①根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层；
②根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比k＝
；
③确定第i层应该抽取的个体数目ni≈Ni×k（Ni为第i层所包含的个体数），使得各ni之和为n；
④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本．
[问题思考]
（1）分层抽样中的总体有什么特征？
提示：
分层抽样中的总体是由差异明显的几部分组成．
（2）有人说系统抽样时，将总体分成均等的几部分，每部分抽取一个，符合分层抽样的概念，故系统抽样是一种特殊的分层抽样，对吗？
提示：
不对．因为分层抽样是从各层独立地抽取个体，而系统抽样各段上抽取时是按事先定好的规则进行的，各层分段有联系，不是独立的，故系统抽样不同于分层抽样．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
（1）什么是分层抽样？
；
（2）分层抽样的步骤：
.
背景：
为了解学生视力情况，某校在开学初对400名学生进行视力抽查．其中高一学生1200人，高二有1300人，高三有1500人．
[思考1] 学校应怎样抽查这400名学生的视力？
提示：
由于高一、高二、高三年级学生的视力情况差别较大，因而可利用分层抽样的方法抽取学生进行视力抽查．
[思考2] 分层抽样有什么特点？
名师指津：
分层抽样的特点：
①适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；
②更充分地反映了总体的情况；
③等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．
1．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（ ）
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．红星中学共有学生1600名，其中男生840名，防疫站对此校学生进行身体健康调查，抽取一个容量为200的样本
C．从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
[尝试解答] A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．
答案：
B
分层抽样的适用条件
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为保证所抽取的样本具有代表性，应采用分层抽样抽取样本．
1．某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查训练情况，记作②.那么完成上述两项调查应分别采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样法，②用系统抽样法
B．①用分层抽样法，②用简单随机抽样法
C．①用系统抽样法，②用分层抽样法
D．①用分层抽样法，②用系统抽样法
解析：
选B ①因家庭收入不同其社会购买力也不同，宜用分层抽样的方法．②因总体个数较少，宜用简单随机抽样法．
[思考] 怎样确定分层抽样中各层入样的个体数？
名师指津：
在实际操作时，应先计算出抽样比＝
，获得各层入样数的百分比，再按抽样比确定每层需要抽取的个体数：
抽样比×该层个体数目＝
×该层个体数目．
2．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的
，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
[尝试解答]
（1）设登山组人数为x，游泳组中青年人、中年人、老年人所占比例分别为a，b，c，则有
＝47.5%，
＝10%，
解得b＝50%，c＝10%，故a＝100%－50%－10%＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例为40%,50%,10%.
（2）游泳组中，抽取的青年人人数为200×
×40%＝60；
抽取的中年人人数为200×
×50%＝75；
抽取的老年人人数为200×
×10%＝15.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.
分层抽样的步骤
2．一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？
并写出具体过程．
解：
因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法．
具体过程如下：
（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
（2）按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人．
（3）按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
（4）将300人合到一起，即得到一个样本.
3．①教育局督学组到校检查工作，临时需在每班各抽调两人参加座谈；②某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；③某班春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这三件事，合适的抽样方法分别为（ ）
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
[思路点拨] 根据三种抽样方法的特征、适用范围判断．
[尝试解答] ①每班各抽两人需用系统抽样．②由于学生分成了差异比较大的几层，应用分层抽样．③由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．故选D.
答案：
D
三种抽样方法的适用范围
三种抽样方法均为不放回、逐个、等可能抽样．当总体中的个体较少时，常用简单随机抽样；当总体中的个体较多，样本容量较大时，常用系统抽样，但在第一段内抽取个体时，用简单随机抽样；当总体是由差异明显的几部分组成时，采用分层抽样，但在各层内抽取个体时，可用简单随机抽样或系统抽样.
3．某学院A、B、C三个专业共有1200名学生，其中A专业有380名学生，B专业有420名学生，为调查这些学生勤工俭学的情况，要从中抽取一个容量为120的样本，记为①；某中学高二年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取8辆测试某项性能，记作③.则完成上述3项应分别采用的抽样方法是（ ）
A．①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样
B．①用分层抽样，②用简单随机抽样，③用系统抽样
C．①用简单随机抽样，②用分层抽样，③用系统抽样
D．①用分层抽样，②用系统抽样，③用简单随机抽样
解析：
选B 对于①，总体由差异明显的三部分组成，应采用分层抽样．对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应用简单随机抽样．对于③，总体中的个体数较多，应用系统抽样．故选B.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————
1．本节课的重点是记住分层抽样的特点和步骤，难点是会用分层抽样从总体中抽取样本．
2．本节课要牢记分层抽样中的两个比例关系：
（1）
＝
；
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．
3．要掌握分层抽样的两类问题：
（1）根据分层抽样的特征判断分层抽样，见讲1.
（2）根据分层抽样的步骤设计分层抽样，特别是当总体容量不能被样本容量整除时注意剔除个体．
4．本节课的易错点有：
（1）概念理解错误致错，如讲3；
（2）忽视每个个体被抽到的机会相等而致误，如讲2.
课下能力提升（十一）
[学业水平达标练]
题组1 分层抽样的概念
1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ）
A．抽签法B．随机数法
C．系统抽样法D．分层抽样法
解析：
选D 由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．
2．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是（ ）
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
解析：
选C A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．
3．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（ ）
A．简单随机抽样
B．系统抽样
C．分层抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样
解析：
选D 总体总人数为28＋54＋81＝163.样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样，无法得到整数解．故考虑先剔除1人，抽取比变为36∶162＝2∶9，则中年人取54×
＝12（人），青年人取81×
＝18（人），从老年人中剔除1人，老年人取27×
＝6（人），组成容量为36的样本，故选D.
4．某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身高，准备抽取
，采用分层抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种做法是否妥当？
如果让你来调查，你准备怎样做？
解：
这种做法不妥当．原因：
取样比例数
过小，很难准确反映总体情况，况且男、女身高差异较大，抽取人数相同，也不合理．
考虑到本题的情况，可以采用分层抽样，可抽取
.
男生抽取40×
＝8（名），女生抽取20×
＝4（名），各自用抽签法或随机数法抽取组成样本．
题组2 分层抽样设计
5．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为（ ）
A．5,10,15B．3,9,18
C．3,10,17D．5,9,16
解析：
选B 高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别为
＝10%，
＝30%，
＝60%，则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为10%×30＝3,30%×30＝9,60%×30＝18.
6．某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆．
解析：
三种型号的轿车共9200辆，抽取样本为46辆，则按
＝
的比例抽样，所以依次应抽取1200×
＝6（辆），6000×
＝30（辆），2000×
＝10（辆）．
答案：
6 30 10
7．某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
解：
（1）由
＝0.15，得x＝150.
（2）∵第一车间的工人数是173＋177＝350，第二车间的工人数是100＋150＝250，
∴第三车间的工人数是1000－350－250＝400.
设应从第三车间抽取m名工人，则由
＝
，得m＝20.
∴应在第三车间抽取20名工人．
8．某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.
解：
因为采用系统抽样和分层抽样时不用剔除个体，所以n是36的约数，且
是6的约数，即n又是6的倍数，n＝6,12,18或36，又n＋1是35的约数，故n只能是4,6,34，综合得n＝6，即样本容量为6.
题组3 抽样方法的综合应用
9．为了考察某校的教学水平，抽查了该学校高三年级部分学生的本年度考试成绩．为了全面地反映实际情况，采取以下三种考察方式（已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同）．
①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；
②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成绩；
③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名）．
根据上面的叙述，试回答下列问题：
（1）上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？
每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？
（2）上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？
（3）试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．
解：
（1）这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.
（2）上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．
（3）第一种方式抽样的步骤如下：
第一步：
在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；
第二步：
从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩．
第二种方式抽样的步骤如下：
第一步：
在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为x；
第二步：
在其余的13个班中，选取学号为x＋50k（1≤k≤12，k∈Z）的学生，共计14人．
第三种方式抽样的步骤如下：
第一步：
分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次；
第二步：
确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为
，
，
，即15,60,25；
第三步：
按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．
第四步：
将所抽取的个体组合在一起构成样本．
[能力提升综合练]
1．（2014·湖南高考）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则（ ）
A．p1＝p2B．p2＝p3C．p1＝p3D．p1＝p2＝p3
解析：
选D 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是
，故p1＝p2＝p3，故选D.
2．（2015·北京高考）某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
A.90B．100C．180D．300
解析：
选C 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得
＝
，故x＝180.
3．（2014·重庆高考）某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A．100B．150C．200D．250
解析：
选A 样本抽取比例为
＝
，该校总人数为1500＋3500＝5000，则
＝
，故n＝100，选A.
4．（2016·无锡质检）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：
设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.
答案：
15
5．（2014·湖北高考）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
解析：
分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．
答案：
1800
6．为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：
人）
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
（1）求x，y；
（2）若从高校B相关的人中选2人进行专题发言，应采用什么抽样方法，请写出合理的抽样过程．
解：
（1）分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：
＝
⇒x＝18，
＝
⇒y＝2，故x＝18，y＝2.
（2）总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步 将36人随机分段，号码为1,2,3，…，36；
第二步 将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步 将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的分段；
第四步 把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．
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