相似三角形经典解答题难题含答案个人精心整理.docx

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相似三角形经典解答题难题含答案个人精心整理

一、相似三角形中的动点问题

1.如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,AC=3BC=4,过点B作射线BB1//AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHLAB于H过点E作EF丄AC交射线BB1于F,G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒.

（1）当t为何值时，AD=AB并求出此时DE的长度；

（2）当厶DEGW^ACB相似时，求t的值.

P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为X.

（1）当x为何值时，PQ//BC?

（2）^APQ与△CQB能否相似？

若能，求出AP的长；若不能说明理由.

2.如图，在△ABC中，/ABC=90°,AB=6mBC=8m动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动•当其中有一点到达终点时，它们都停止移动•设移动的时间为t秒.

（1）①当t=2.5s时，求△CPQ勺面积；

②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；

（2）在P,Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值.

5.如图，在矩形ABCD中,AB=12cmBC=6cm点P沿

AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿

DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、

Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（Ovtv6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点QA、P为顶点的三角形与厶ABC相似？

3.如图1,在Rt△ABC中，—ACB=90°,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分—CDB交边BC于点E,EM丄BD,垂足为MENLCD垂足为N.

（1）当AD-CD时，求证：

DE//AC;

（2）探究：

AD为何值时，△BMEM^CNE相似？

11

4.如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点

二、构造相似辅助线一一双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2,1）,正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式.

7.在厶ABC中，AB=匸,AC=4BC=2,以AB为边在C

点的异侧作△ABD使厶ABC为等腰直角三角形，求线段CD的长.

——A、X字型

11.如图：

△ABC中，D是AB上一点，AD=ACBC边上

的中线AE交CD于F。

求证：

8.在厶ABC中，AC=BCZACB=90，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点.求证：

MCNC=APPB.

12.四边形ABCD中,AC为ABAD的比例中项，且AC平分ZDAB

BE_BC2

求证：

:

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO勺边0A在x轴上，

边0C在y轴上，点B的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为（）

13.在梯形ABCD中,AB//CDAB=b,CD=a,E为AD边

上的任意一点，EF/AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

广412、

f21今

A.

B.

DE、a+l>

二1

（1）当」—时，EF=一；2）

C.

D.

312、

10..已知，如图，直线

2x+2与坐标轴交于A、

DE-3DE上

⑶当.时，EF=.当—时，参照上述

研究结论，请你猜想用并给出证明.

a、b和k表示EF的一般结论,

点.以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD使得矩形

的两边之比为1:

2。

求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线

111

—+—二-—求证：

_「二；■-

14.已知：

如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是

BC上的两点，且BE=EF=FG

求BNNQQM

求证:

15.证明：

（1）重心定理：

三角形顶点到重心的距离等于

2

该顶点对边上中线长的（注：

重心是三角形三条中线的交点）

（2）角平分线定理：

三角形一个角的平分线

分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.

18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在厶ABC上。

111

1

ABCDEF

四、相似类定值问题

16.如图，在等边厶ABC中，MN分别是边ABAC的中点，D为MN上任意一点，BDCD的延长线分别交ACAB于点E、F.

113

+—

求证：

「三二二一上.

17.已知：

如图，梯形ABCD中,AB//DC，对角线AGBD交于0,过O作EF//AB分别交ADBC于E、F。

五、相似之共线线段的比例问题

20.

（1）如图1，点J在平行四边形ABCD的对角线

证：

BF2=PE-PF.

BD上，一直线过点P分别交BABC的延长线于点QS,交】一于点-「•求证：

-：

（2）如图2,图3,当点厂在平行四边形ABCD勺对角线

_或_匚的延长线上时，

.'-:

…是否仍然成立？

若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）

22.如图，已知ΔABC中，AD,BF分别为BC,AC

边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,

交AC延长线于H。

求证：

DE=E（?

EH

23.已知如图，P为平行四边形ABCD勺对角线AC上一点，过P的直线与ADBCCD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、GH.

PEPH

求证：

」'i1'G

21.已知：

如图，△ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上

一点，过C作CF//AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求

24.已知，如图，锐角△ABC中，ADLBC于D,H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P,且/BPC为直角.求证：

PD=AD-DH。

（2）若G是BC的中点，连接GDGD与EF垂直吗?

并说明理由•

六、相似之等积式类型综合

25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。

求证：

丄」

28.如图，四边形都是正方形，连接

交于点N.求证：

5

26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上,DFUBM且与AC的延长线交于点E.

求证：

（AEMACBM

（2）AE-CM=AC^CD

29.如图，BDCE分别

是厶ABC的两边上的高，过

D作DGLBC于G,分别交

CE及BA的延长线于F、Ho

求证：

（1）DG=BG-CG

（2）BG-CG=GF-GH

27.如图，△ABC是直角三角形，/ACB=90,CD!

AB于D,E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

七、相似基本模型应用

30.△ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/A=Z

D=90°,^DEF的顶点E位于边BC的中点上.

（1）如图1，设DE与AB交于点M,EF与AC交于点

N求证：

△BEMhACNE

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点MEF与AC交于点N,于是，除

（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.

31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交ACCD于点P、Q

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）;

（2）求BPPQQR

32.如图，在△ABC中，AD丄BC于D,DEIAB于E,DF丄AEAC

AC于F。

求证：

二二

1.答案：

解：

（1）•••/ACB=90,AC=3BC=4

/•AB=5

又•••AD=ABAD=5t

•••t=1，此时CE=3,

•••DE=3+3-5=1

3

如图当点D在点E左侧，即：

0WtW［时，

DE=3t+3-5t=3-2t.

若厶DEGW^ACB相似，有两种情况：

DE_^_

1厶DE3AACB此时*UCB,

3-23

即：

2•，求得：

t=;

DEEG

二■

2厶DE3ABCA此时BCCA,

3-2i_21

即：

「_-,求得：

t=1;

3

如图，当点D在点E右侧，即：

t>［时，

DE=5t-（3t+3）=2t-3

若厶DEGW^ACB相似，有两种情况：

DE_^_

3厶DE3AACB此时月0CB,

2i-329

二>——

即：

2•，求得：

t=;

DEEQ

———

4厶DE3ABCA此时BCCA,

2i-3_217

即：

^_-,求得：

t=■-.

2]?

12

综上，t的值为■-或「或-或■.'

3.答案：

解：

（1）证明：

TAD=CD•••/A=ZACD

•••DE平分—CDB交边BC于点E

•••/CDE2BDE

•/CDB^^CDB的一个外角

•••/CDBMA+ZACD=2/ACD

•/CDBZCDE+ZBDE=2/CDE

•ZACDZCDE

•DE//AC

（2）①ZNCEZMBE

•/EMLBDEN!

CD

•△BM0ACNE如图

DMB

•ZNCEZMBE

•BD=CD

又•/NCE+ZACD/MBE-ZA=90°

•ZACDZA

•AD=CD

1

•AD=BD=AB

••在Rt△ABC中，—ACB=90°,AC=6,BC=8

•AB=10

•AD=5

②ZNCEZMEB

•/EMLBDEN!

CD

•△BM0AENC如图

DMB

•ZNCEZMEB

•EM//CD

•CDLAB

••在Rt△ABC中，—ACB=90°,AC=6,BC=8

•AB=10

•ZA=ZA,ZADCZACB

•△ACD^AABC

AD_AC

•上」一

18

综上：

AD=5或：

时，△BMEW^CNE相似.

4.答案：

解

（1）由题意：

AP=4x,CQ=3xAQ=30-3x,_<」

AP_AQ

当PQ//BC时，"「，即：

汕帀

10

X——

解得：

二

40

（2）能，AP=.cm或AP=20cm

AP=AQ4x_30-3i

1厶APQ^^CBQ则厂，即IQ二

解得：

或二I11（舍）

此时：

AP=_Icm

肚_如4x30-

__—"=

2厶APQ^^CQB则'-P-'，即一;丄汕

10

x——

解得：

.（符合题意）

40

此时：

AP=\cm

40

故AP=〕cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似.

5.答案：

解：

设运动时间为t,则DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t.

（1）若厶QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP即:

6-t=2t,t=2（符合题意）

•••t=2时，△QAP为等腰直角三角形.

（2）ZB=ZQAP=90

AQAPS-t

二—.—

1当△QAP^AABC时，一'上匸「，即：

二■',

6

L——

解得：

〕（符合题意）；

APAQ2/6—Z

二二

2当△PA3AABC时，丄匸J'.'，即：

12',

解得：

；—•（符合题意）.

6

I——*

•当「或一’「时，以点QA、P为顶点的三角形

与厶ABC相似.

6.答案：

解：

分两种情况

过点A作AB丄OA交待求直线于点B,过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD丄AC

则由上可知：

£OAB^OC^£D=90°

由双垂直模型知：

△OCMAADB

O£_AC_OA

•/A（2,1）,—1一」=45°

•OC=2,AC=1,AO=ABAD=OC=2,BD=AC=1

•D点坐标为（2,3）

•B点坐标为（1,3）

•此时正比例函数表达式为：

y=3x

第二种情况，图象经过第二、四象限

YA

C

白n

匸〜X

O

过点A作AB丄OA交待求直线于点B,过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD丄AC

则由上可知：

___1二_」=90°

由双垂直模型知：

△OCMAADB

OC_AC_OA

•二厂才二

•/A（2,1）,—--」=45°

•OG=1,AC=2,AO=AB

•AD=OC=1,BD=AC=2

•D点坐标为（3,1）

•B点坐标为（3,-1）

7.答案：

解：

情形一:

女匚囲’^DAB=907时：

"

连接CD.过点D乍AC边上的高裟DE交CA的延长钱于点凤

V川JC=4,BC=2^

:

、，ZACB=&07w

XVDEICE*△MBD为等腰直角三角形”

AAD=.4B,zL4CS=^£=90”^EDA^EAD=90c，

二尿C+W出D=9（V屮

-■±_B^i.（J=/ED.4fj

/.空△6卫z

/.AE=BC=2.DE=AC=^

情形三:

工逻'岂一＜£加=9tr时：

*

连接CD,过点D作边上的高线DF.交的延长线于点尸・过点月作直线尸Q边上的高线用0交PD于点d

丁押=2屁AC=4,甘g-

二AC2+BC2=AB:

^4CB=90"-

只T丄CZ,^ABD^等技直角三雄形*

/.AD=BD・上9（T，“

^QDA+^lQ.iD=90T*J_ODAJr^BDP=9^a

:

*S&DnEDP*

:

.△少D竺△尸D乩

-*-AO=DP・DO=BP^

:

.在Ri^DEC中，CD=-Jed2+CE2=2^/13，■

8.答案：

证明：

方法

如亂..当一站D=9（r'臥”

■■uuUHuCQnuuuMuudQC^L

達接CD过直Df乍®C边上的高玻OF.交US的世长线于点斤

T.倍亦、点=.B0

/..4C'^C；*lk■v

丈：

DF丄纽，丄3D为等養宜魚三魚形.

化BD=AB.^CS-_F-90：

■jiBO「FBD・如'._班+屮0會

.'._BAC〜FBD*

:

.^FDB^-CBA・

ADF=BC=2,BF=AC=^

:

.在RtLDFC中，CD=^FD--CF^2^.

连接PC,过点P作PD丄AC于D,贝UPD//BC根据折叠可知MN丄CP

•••/2+ZPCN=90，/PCN+ZCNM=90

•••/2=ZCNM

•••/CDPMNCM=90

•△PDC^MCN

•MCCN=PDDC

•/PD=DA

•MCCN=DADC

•/PD//BC

•DADC=PAPB

•MCCN=PAPB

由双垂直模型，可以推知厶PM"NPE,则

MD_PD_PM

一P二,

根据等比性质可知

MD+PD_PM_

-E[正_"v，而MD=DA

NE=EBPM=CMPN=CN二MCCN=PAPB

过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴的平行线交x轴于F,交GC的延长线于E。

•••直线y=-2x+2与坐标轴交于A、B两点

•A（1,0）,B（0,2）

9.答案：

A

解题思路：

如图

•OA=1,OB=2,AB=JJ

•/AB:

BC=1:

2

*

过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M交x轴于点

N,则/M=ZDNA=90,

由于折叠，可以得到△AB3AADC又由B（1,3）

•••BC=DC=1AB=AD=MN=3/CDA2B=90°

•••/1+/2=90°

•//DNA=90

•/3+/2=90°

•/仁/3

•••/ABOfCBG=90,/ABO+/BAO=90

•/CBGMBAO

又•••/CGB2BOA=90

•△OAB^AGBC

O4_G5_1•二一—j

△DMC^AND

CM__DM_CD~B^=~AN=AD=3

设CM=x贝UDN=3xAN=1+x,DM=二

1-br

•-3x+J1=3

•GB=2GC=4

•GO=4

•C（4,4）

同理可得厶ADDABAO得

OA_DF__]_

75_■_?

1•DF=2,AF=4

•D（5,2）

11.答案：

证明：

（方法一）如图

•OF=5

4

•x=-

DN=-

;,则

答案为A

延长AE到M使得EM=AE连接CM

•/BE=CE/AEB=/MEC

•△BEA^ACEM

•CM=AB/仁/B

•AB//CM

•/M=/MAD/MCF2ADF

•△MCF^AADF

CF_CM

•二一苑

•/CM=ABAD=AC

CFCMAB

~DF~~^D~1C

AD

AC

CD

AC'

~AB~

^BC

BC2

AB

AC

AB

CD2

AC

AD

AD

BC1

BE

~DE

（方法二）;;「：

过D作DGIBC交AE于G

则厶AB0AADQ△CEF^ADGF

AB__BE_CF__CE_

••二一二，二一二

•/AD=ACBE=CE

CF__BE__AB_

13.答案：

解:

证明:

a+bk

k+1

12.答案：

证明：

‘

过点E作PQ/BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q

•/AB//CDPQ〃BC

•四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形

•PB=EF=CQ二止

又•••AB=b,CD=a

•ANPB-AB=EF-b,DQ=DC-QC=a-EF

过点D作DF//AB交AC的延长线于点F,则/2=/3

•/AC平分/DAB

•••/1=/2

•••/仁/3

•AD=DF

•••/DEF玄BEA/2=/3

•△BEA^ADEF

•:

EF二

ct+bk

k+1

BE

AB

~DE~

DF

AD=DF

BE

AB

DE~

AD

14.答案：

解:

•/AC为ABAD的比例中项

•上-匸二

AD_AC

即上」一一

又•••/仁/2

连接MF

•/M是AC的中点，EF=FC

•MF//AE且MF=1AE•△BEN^ABFM

BNBM=BEBF=NEMF

•/BE=EF•BNBM

=NEMF=1:

2

MF=2x,AE=4x

•BNNM=1:

1设NE=x，贝U

•AN=3x•/MF//AE•△

NAQ?

^MFQ•••NQQM=AN:

MF=3:

2•/BINNM=

1:

1,NQQM=3:

2•BINNQQM=5:

3:

2

•AC=CE

•/CE//AB

•△BAD^ACED

AB_BD

•二"二

AB__BD

•••二一二

如图1,ADBE为厶ABC的中线，且ADBE交于点O过点C作CF//BE,交AD的延长线于点F

•••CF/BE且E为AC中点

•••/AEO=ZACF,/OBD=ZFCDAC=2AE

•••/EAO=ZCAF

•△AE3AACF

EOAE1

AC2

•/D为BC的中点，/ODB=ZFDC

•••△BOD^ACFD

•BO=CF

EO_l

•匸「"1

16.答案：

证明:

如图，作DP//AB,DQ//AC

则四边形MDP和四边形NDQC均为平行四边形且厶DPC是等边三角形

•BP+CQ=MNDP=DQ=PQ

•/MN分别是边AB,AC的中点

1

•MN=[BC=PQ

BO2

BE3

同理，可证另外两条中线

•••三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长

•/DP//ABDQ//AC

•△CDP?

ACFB△BDQ^ABEC

DP_CPDQ_BQ_

•壬

DP十DQ_EP严_EC+PQ3

SCSC2

•5_-

DP=DQ=PQ=[BC=[AB

（2）-

如图2,ABC的角平分线

过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E

则/BAD=/E

•••ABC的角平分线

•/BAD=/CAD

•/E=ZCAD

1113

1

•1AB（'「三匚三）=1]丄—丄

•二

17.答案：

证明：

TEF//AB,AB//DC

•EF//DC

•△AO0AACD△DO3ADBA

EOAE

EODE

•二二|，二二|

EOEOAEDE.

—+—=一+—=1

•••二

111

\——

•」二2?

18.答案：

证明：

TEF//CDEH//AB

•—二—「,—二1一』

—」1,」二

•△AFE^AADC△CEHTACAB

AE^EF_CE__EH_

•••上「一二，上厂止

•/EF=EH

EHEFEFEFCEAE\~二H—F

•卫二工7

111

\

••二二三

19.答案：

证明：

TEF//AC,DE//BC

••一二二_〔1—二

」_1,—一」

•△BFE^ABCA△AED^AABC

BE_

EF

DE

AE

AB~

AC,

~BC

AB

EF