相似三角形经典解答题难题含答案个人精心整理.docx

1、相似三角形经典解答题难题含答案个人精心整理一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4,过 点B作射线BB1/ AC.动点D从点A出发沿射线 AC方向 以每秒5个单位的速度运动，同时动点 E从点C沿射线 AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHL AB于 H过点E作EF丄AC交射线BB1于F, G是EF中点，连 接DG设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB并求出此时 DE的长度；(2)当厶DEGW ACB相似时，求t的值.P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动； 同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度

2、向A 点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设 运动的时间为X.(1)当x为何值时，PQ/ BC?(2) APQ与 CQB能否相似？若能，求出 AP的长； 若不能说明理由.2.如图，在 ABC中，/ ABC= 90, AB=6m BC=8m 动 点P以2m/s的速度从A点出发，沿 AC向点C移动.同 时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移 动当其中有一点到达终点时，它们都停止移动设移 动的时间为t秒.(1)当t=2.5s时，求 CPQ勺面积；求 CPQ的面积S (平方米)关于时间 t (秒)的函数 解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当 CPQ为等腰三角形时， 求出t的值

3、.5.如图，在矩形 ABCD中, AB=12cm BC=6cm 点 P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点 Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(Ov t v 6)。(1)当t为何值时， QAP为等腰直角三角形？(2) 当t为何值时，以点 Q A、P为顶点的三角形 与厶ABC相似？3.如图 1 ,在 Rt ABC中，ACB= 90, AC= 6, BC= 8, 点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E, EM 丄BD,垂足为M ENL CD垂足为N.(1)当 AD- CD时，求证：DE/ AC;(2)探究：AD为何

4、值时， BMEM CNE相似？114.如图所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,点二、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy中，点A的坐标为(2 , 1), 正比例函数y=kx的图象与线段 OA的夹角是45，求 这个正比例函数的表达式.7.在厶ABC中，AB=匸,AC=4 BC=2,以AB为边在 C点的异侧作 ABD使厶ABC为等腰直角三角形，求线 段CD的长.A、X字型11.如图： ABC中，D是 AB上一点，AD=AC BC边上的中线 AE交CD于F。求证：8.在厶ABC中，AC=BC Z ACB=90，点M是AC上的一点， 点N是BC上的一点

5、，沿着直线 MN折叠，使得点 C恰好 落在边AB上的P点.求证：MC NC=AP PB.12.四边形ABCD中, AC为AB AD的比例中项，且 AC 平分Z DABBE _ BC2求证：:9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO勺边0A在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1, 3）,将矩形沿对角 线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E.那 么D点的坐标为（）13.在梯形 ABCD中, AB/ CD AB= b, CD= a, E为 AD边上的任意一点，EF/ AB,且EF交BC于点F,某同学在 研究这一问题时，发现如下事实：广 4 12、f 2 1今A.B.DE、 a+l 二

6、1 (1)当 时，EF= 一 ；2)C.D.3 12、10.已知，如图，直线2x+ 2与坐标轴交于 A、DE -3 DE 上当. 时，EF= .当 时，参照上述研究结论，请你猜想用 并给出证明.a、b和k表示EF的一般结论,点.以AB为短边在第一象限做一个矩形 ABCD使得矩形的两边之比为1 : 2。求C、D两点的坐标。三、构造相似辅助线1 1 1+二- 求证：_二；-14.已知：如图，在 ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且 BE= EF= FG求 BN NQ QM求证:15.证明：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于2该顶点对边上中线长的（注：重心是三角形三条中线 的交

7、点） （2）角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.18.如图，在 ABC中，已知CD为边AB上的高，正方 形EFGH的四个顶点分别在厶 ABC上。1 1 1 1 AB CD EF四、相似类定值问题16.如图，在等边厶 ABC中，M N分别是边 AB AC的中 点，D为MN上任意一点，BD CD的延长线分别交 AC AB 于点E、F.1 1 3 + 求证：三 二二一上.17.已知：如图，梯形 ABCD中, AB/DC，对角线 AG BD 交于0,过O作EF/AB分别交 AD BC于E、F。五、相似之共线线段的比例问题20. （ 1）如图1，点J在平行四

8、边形 ABCD的对角线证：BF2= PE- PF .BD上，一直线过点 P分别交BA BC的延长线于点 Q S, 交】一于点-求证：-：（2）如图2,图3,当点厂在平行四边形 ABCD勺对角线_或_匚的延长线上时，.-:是否仍然成 立？若成立，试给出证明；若 不成立，试说明理由（要求仅 以图2为例进行证明或说明）22.如图，已知 ΔABC 中，AD, BF 分别为 BC, AC边上的高，过 D作AB的垂线交 AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。求证：DE=E（? EH23.已知如图，P为平行四边形 ABCD勺对角线AC上一 点，过P的直线与AD BC CD的延长线、AB的延长

9、线分别相交于点 E、F、G H.PE PH求证：i 1 G21.已知：如图， ABC中，AB= AC, AD是中线，P是AD上一点，过 C作CF/ AB,延长BP交AC于E,交CF于F.求24.已知，如图，锐角 ABC中，ADL BC于D, H为垂 心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P,且 / BPC为直角.求证：PD= AD- DH。 (2)若G是BC的中点，连接 GD GD与EF垂直吗? 并说明理由六、相似之等积式类型综合25.已知如图，CD是 Rt ABC斜边AB上的高，E为BC的 中点，ED的延长线交CA于F。求证：丄28.如图，四边形 都是正方形，连接交于点N.求证：526如

10、图，在 Rt ABC中，CD是斜边 AB上的高，点 M在 CD上, DFU BM且与AC的延长线交于点 E.求证：(AEMA CBM (2) AE-CM=ACCD29.如图，BD CE分别是厶ABC的两边上的高，过D作DGL BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、Ho求证：(1) DG= BG- CG (2) BG- CG= GF- GH27.如图， ABC是直角三角形，/ ACB=90 , CD! AB于 D, E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点 F.七、相似基本模型应用30. ABC和厶DEF是两个等腰直角三角形，/ A=ZD=90, DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1

11、)如图1，设DE与AB交于点M, EF与AC交于点N 求证： BEMhA CNE (2)如图2，将 DEF绕点E旋转，使得 DE与BA的延 长线交于点 M EF与AC交于点N,于是，除(1)中的一 对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你 的结论.31.如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形， 点R为DE的中点，BR分别交AC CD于点P、Q(1) 请写出图中各对相似三角形(相似比为 1除外);(2)求 BP PQ QR32.如图，在 ABC中，AD丄BC于D, DEI AB于E, DF丄 AE ACAC于 F。求证：二 二1.答案：解：(1 )/ ACB=90 , AC

12、=3 BC=4/ AB=5又 AD=AB AD=5t t=1，此时 CE=3, DE=3+3-5=13如图当点D在点E左侧，即：0 W t W 时，DE=3t+3-5t=3-2t .若厶DEGW ACB相似，有两种情况：DE_1厶DE3A ACB此时*U CB ,3-2 3即： 2 ，求得：t= ;DE EG 二2厶DE3A BCA此时BC CA ,3-2i _2 1即： _-,求得：t= 1 ;3如图，当点D在点E右侧，即：t 时，DE=5t-(3t+3)=2t-3若厶DEGW ACB相似，有两种情况：DE_3厶DE3A ACB此时月0 CB ,2i-3 2 9 二 即： 2 ，求得：t=

13、;DE EQ4厶DE3A BCA此时BC CA ,2i-3_2 17即： _-,求得：t= -.2 ? 12综上，t的值为-或或-或.3.答案：解：(1)证明：T AD=CD / A=Z ACDDE平分CDB交边BC于点E/ CDE2 BDE / CDB CDB的一个外角/ CDBM A+Z ACD=2/ ACD/ CDBZ CDE+Z BDE=2/ CDEZ ACDZ CDEDE/ AC(2)Z NCEZ MBE/ EML BD EN! CD BM0A CNE 如图DM BZ NCEZ MBEBD=CD又/ NCE+Z ACD/ MBE-Z A=90Z ACDZ AAD=CD1AD=BD=

14、AB在 Rt ABC中，ACB= 90, AC= 6, BC= 8AB=10AD=5Z NCEZ MEB/ EML BD EN! CD BM0A ENC 如图D M BZ NCEZ MEBEM/ CDCDL AB在 Rt ABC中，ACB= 90, AC= 6, BC= 8AB=10Z A=Z A,Z ADCZ ACB ACDA ABCAD _ AC上 一18综上：AD=5或：时， BMEW CNE相似.4.答案：解（1 ）由题意：AP=4x,CQ=3xAQ=30-3x, _ AP_AQ当PQ/ BC时，即：汕 帀10X 解得： 二40（2）能，AP= . cm或 AP=20cmAP = AQ

15、 4x_30-3i1厶APQ CBQ则厂 ，即IQ 二解得：或二 I11 （舍）此时：AP=_ I cm肚 _如 4x 30-_ _ = 2厶APQ CQB则-P-，即一;丄 汕10x 解得： .（符合题意）40此时：AP= cm40故 AP=cm或 20cm时， APQ与 CQB能相似.5.答案：解：设运动时间为t ,则DQ=t, AQ=6-t, AP=2t , BP=12-2t .（1）若厶QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP 即: 6-t=2t , t=2 （符合题意） t=2时， QAP为等腰直角三角形.（2）Z B=Z QAP=90AQ AP S-t 二 .1当 QAPA ABC时，

16、一上 匸，即： 二 ,6L 解得： （符合题意）；AP AQ 2/ 6 Z 二 二 2当 PA3A ABC时，丄匸 J.，即：12 ,解得： ； （符合题意）.6I *当 或一时，以点Q A、P为顶点的三角形与厶ABC相似.6.答案：解：分两种情况过点A作AB丄OA交待求直线于点 B,过点A作平 行于y轴的直线交x轴于点C,过点B作BD丄AC则由上可知： OABOCD =90由双垂直模型知： OCMA ADBO_AC_OA/ A （2 , 1） , 1 一=45 OC= 2 , AC= 1 , AO= AB AD= OC= 2 , BD= AC= 1D点坐标为（2 , 3）B点坐标为（1,3）

17、此时正比例函数表达式为： y= 3x第二种情况，图象经过第二、四象限YAC白 n匸XO过点A作AB丄OA交待求直线于点 B,过点A作平 行于x轴的直线交y轴于点C,过点B作BD丄AC则由上可知： _1二 _=90由双垂直模型知： OCMA ADBOC _ AC _ OA二厂才二/ A （2 , 1）,-=45OG= 1 , AC= 2 , AO= ABAD= OC= 1, BD= AC= 2D点坐标为（3 , 1）B点坐标为（3, - 1）7.答案：解：情形一:女匚囲 DAB= 907时：连接CD.过点D乍AC边上的高裟DE 交CA的延长 钱于点凤V 川JC=4, BC=2:、， ZACB=&

18、07 wXV DEICE* MBD为等腰直角三角形”A AD=.4B , zL4CS= 90 ” EDAEAD= 90c ，二尿C+W出D=9(V屮- _Bi. (J=/ ED.4 fj/. 空6卫z/. AE=BC=2. DE=AC=情形三:工逻 岂一加=9tr 时：*连接CD,过点D作边上的高线DF.交的 延长线于点尸过点月作直线尸Q边上的高线用0 交PD于点d丁 押=2屁 AC=4,甘g-二 AC2+BC2=AB: 4CB=90-只T 丄CZ, ABD等技直角三雄形*/. AD=BD 上 9(T ， “QDA+lQ.iD= 90T * J_ODAJrBDP=9 a:* S&DnEDP*:

19、.少D竺尸D乩-*- AO=DP DO=BP:.在 RiDEC 中，CD= -Jed2+CE2 = 2/13，8.答案：证明：方法如亂.当一站D=9(r臥”uuUHuCQnuuuMuudQCL達接CD 过直Df乍C边上的高玻OF.交US的世长线于点斤T .倍亦、点=.B0/. .4CC；*lk v丈：DF丄纽，丄3D为等養宜魚三魚形.化 BD=AB. CS-_F- 90： jiBOFBD如._班+屮0會._BACFBD*:.FDB-CBA A DF=BC=2, BF=AC=:.在 RtLDFC 中，CD=FD-CF2.连接PC,过点P作PD丄AC于D,贝U PD/BC 根据折叠可知MN丄CP/

20、 2+Z PCN=90，/ PCN+Z CNM=90/ 2=Z CNM/ CDPM NCM=90 PDC MCNMC CN=PD DC/ PD=DAMC CN=DA DC/ PD/BCDA DC=PA PBMC CN=PA PB由双垂直模型，可以推知厶PM NPE,则MD_PD_PM一 P二,根据等比性质可知MD + PD_PM_-E 正 _v，而 MD=DANE=EB PM=CM PN=CN 二 MC CN=PA PB过点C作x轴的平行线交y轴于G,过点D作y轴 的平行线交x轴于F ,交GC的延长线于E。直线y=- 2x + 2与坐标轴交于 A、B两点 A (1,0 ), B ( 0,2 )

21、9.答案：A解题思路：如图 OA=1, OB=2, AB=JJ/ AB: BC=1:2*过点D作AB的平行线交BC的延长线于点 M交x轴于点N,则/ M=Z DNA=90 ,由于折叠，可以得到 AB3A ADC 又由B (1 , 3) BC=DC= 1 AB=AD=MN=3 / CDA2 B=90 / 1 + / 2=90/ / DNA=90/ 3+ / 2=90/ 仁 / 3/ ABOf CBG=90 , / ABO+/ BAO=90/ CBGM BAO又/ CGB2 BOA=90 OABA GBCO4_ G5 _ 1 二一 j DMC ANDCM _DM _CD B=AN = AD = 3

22、设 CM=x 贝U DN=3x AN=1+ x , DM=二1-br - 3x + J1 = 3GB=2 GC=4GO=4C (4,4 )同理可得厶ADDA BAO得OA_DF_75 _? 1 DF=2, AF=4 D( 5,2 )11.答案：证明：(方法一)如图 OF=54 x=-DN=-;,则答案为A延长AE到M使得EM=AE连接CM/ BE=CE / AEB=/ MEC BEAA CEMCM=AB / 仁/ BAB/ CM/ M=/ MAD / MCF2 ADF MCFA ADFCF _CM二一苑/ CM=AB AD=ACCF CM AB DFD1CADACCDAC ABBCBC2ABA

23、CAB CD2ACADADBC1BE DE（方法二） ; ：过D作DGI BC交AE于G则厶 AB0A ADQ CEFA DGFAB_BE_ CF_CE_二一二，二一二/ AD=AC BE=CECF_BE_AB_13.答案：解:证明:a+bkk+112.答案：证明：过点E作PQ/ BC分别交BA延长线和DC于点P和 点Q/ AB/ CD PQ BC四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形 PB= EF= CQ 二 止又 AB= b, CD= a AN PB-AB= EF-b , DQ= DC-QC= a-EF过点D作DF/ AB交AC的延长线于点 F,则/ 2=/ 3/ AC平分/ DAB/

24、 1 = / 2/ 仁/3AD=DF/ DEF玄 BEA / 2= / 3 BEAA DEF :EF 二ct+bkk+1BEABDEDFAD=DFBEABDEAD14.答案：解:/ AC为AB AD的比例中项上-匸二AD_AC即上一一又/仁/ 2连接MF/ M是AC的中点，EF= FC MF/ AE 且 MF= 1 AE BENA BFMBN BM= BE BF= NE MF/ BE= EF BN BM=NE MF= 1:2MF= 2x, AE= 4x BN NM= 1:1 设 NE= x，贝U AN= 3x / MF/ AE NAQ? MFQ NQ QM= AN: MF= 3:2 / BIN

25、 NM=1:1 , NQ QM= 3:2 BIN NQ QM= 5:3:2AC= CE/ CE/ AB BADA CEDAB_BD二二AB_BD二一二如图1 , AD BE为厶ABC的中线，且 AD BE交于点 O 过点C作CF/ BE,交AD的延长线于点 F CF/ BE且E为AC中点/ AEO=Z ACF, / OBD=Z FCD AC= 2AE/ EAO=Z CAF AE3A ACFEO AE 1AC 2/ D为 BC的中点，/ ODB=Z FDC BODA CFD BO= CFEO_l匸116.答案：证明:如图，作 DP/ AB, DQ/ AC则四边形MDP和四边形NDQC均为平行四边

26、形且厶 DPC是等边三角形 BP+CQ= MN DP= DQ= PQ/ M N分别是边 AB, AC的中点1 MN= BC= PQBO 2BE 3同理，可证另外两条中线 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长/ DP/ AB DQ/ AC CDP?A CFB BDQA BECDP_CP DQ_BQ_壬DP 十 DQ _EP 严 _EC+PQ 3SC SC 2 5_-DP= DQ= PQ= BC= AB(2) -如图2, ABC的角平分线过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E则/ BAD=/ E ABC的角平分线/ BAD=/ CAD/ E=Z CAD1113 1 1 AB （ 三 匚

27、三）=1 丄丄二17.答案： 证明：T EF/AB , AB/DCEF/DC AO0A ACD DO3A DBAEO AEEO DE二二 |，二二|EO EO AE DE .+= 一+ = 1二1 1 1 二 2?18.答案：证明：T EF/ CD EH/ AB二,二1 一1,二 AFEA ADC CEHTA CABAEEF_ CE_EH_上一二，上厂止/ EF= EHEH EF EF EF CE AE 二 H F 卫二工 71 1 1 二二三19.答案：证明：T EF/ AC, DE/ BC一 二二 _1二_1,一 BFEA BCA AEDA ABCBE _EFDEAEABAC ,BCABEF