第四章 分解因式 导学案.docx

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第四章分解因式导学案

课题：

4.1分解因式

班级;姓名：

评价：

【温故】

用简便方法计算：

（1）

=

（2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=

（3）992–1=．

【互助】

　计算下列式子：

根据上面的算式填空：

（1）3x（x-1）=；

（1）ma+mb+mc=；

（2）m（a+b+c）=；

（2）3x2-3x=；

（3）（m+4）（m-4）=；（3）m2-16=；

（4）（y-3）2=；（4）a3-a=；

（5）a（a+1）（a-1）=．（5）y2-6y+9=．

比较以下两种运算的联系与区别：

（1）a（a+1）（a-1）=a3-a

（2）a3-a=a（a+1）（a-1）

在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？

除此之外，你还能找到类似的例子吗？

结论：

把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

辨一辨：

下列变形是因式分解吗？

为什么？

（1）a+b=b+a

（2）4x2y–8xy2+1=4xy（x–y）+1

（3）a（a–b）=a2–ab（4）a2–2ab+b2=（a–b）2

　【达标】

1、看谁连得准

x2-y2.（x+1）2

9-25x2y（x-y）

x2+2x+1（3-5x）（3+5x）

xy-y2（x+y）（x-y）

2、下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a+3）（a-3）=a2-9

（2）a2-4=（a+2）（a-2）

（3）a2-b2+1=（a+b）（a-b）+1

（4）2πR+2πr=2π（R+r）

　3．19992+1999能被1999整除吗？

能被2000整除吗？

4．对于任意自然数n，2n+4－2n能被15整除吗？

为什么？

5．计算：

7.6×2008+4.3×2008－1.9×2008

6．已知公式V=IR1+IR2+IR3，当R1=22.8，R2=31.5，R3=33.7，I=2.5，求V的

　　课题：

4.2提公因式法

（一）

班级;姓名：

评价：

：

【温故】

计算：

（1）

【互助】

1．多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？

多项式2x2+6x3呢？

多项式mb2+nb–b呢？

结论：

多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的．

2．将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac

（2）2x2+6x3（3）mb2+nb–b

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

3．例题讲解：

将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+x3；

（2）7x3－21x2；（3）8a3b2–12ab3c+ab；（4）－24x3－12x2+28x.

【达标】

1．找出下列各多项式的公因式：

（1）4x+8y

（2）am+an（3）48mn–24m2n3（4）a2b–2ab2+ab

2．将下列多项式进行分解因式：

（1）8x–72

（2）a2b–5ab（3）4m3–8m2　

（4）a2b–2ab2+ab　　　（5）–48mn–24m2n3（6）–2x2y+4xy2–2xy

3．把下列各式分解因式

解：

（1）8x－72=

（2）a2b－5ab=

（3）4m3－6m2=（4）a2b－5ab+9b=

（5）－a2+ab－ac=

（6）－2x3+4x2－2x=

4．把下列各式分解因式

解：

（1）2x2－4x=

（2）8m2n+2mn=

;

（3）a2x2y－axy2=（4）3x3－3x2－9x=

（5）－24x2y－12xy2+28y3（6）－4a3b3+6a2b－2ab

（7）－2x2－12xy2+8xy3（8）－3ma3+6ma2－12ma

（9）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时

πR12+πR22+πR32

=

=

=

活动与探究：

利用分解因式计算：

（－2）101+（－2）100.

课题：

４.2提公因式法

（二）

　　　　　　　　　　　　　班级;姓名：

评价：

：

【温故】

练一练：

把下列各式因式分解：

（1）am+an

（2）a2b–5ab

（3）m2n+mn2–mn（4）–2x2y+4xy2–2xy

【互助】

想一想：

因式分解：

（1）a（x－3）+2b（x－3）

（2）y（x+1）－y2（x+1）2.

做一做：

（1）2–a=（a–2）

（2）y–x=（x–y）

（3）b+a=（a+b）

（4）（b–a）2=（a–b）2

（5）–m–n=（m+n）

（6）–s2+t2=（s2–t2）

试一试：

将下列各式因式分解：

（1）a（x–y）+b（y–x）

（2）6（m–n）3–12（n–m）2

　【达标】

1.填一填：

（1）3+a=（a+3）

（2）1–x=（x–1）

（3）（m–n）2=（n–m）2（4）–m2+2n2=（m2–2n2）

2．把下列各式因式分解：

（1）x（a+b）+y（a+b）

（2）3a（x–y）–（x–y）

（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）

（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）2

3．把下列各式分解因式

（1）5（x－y）3+10（y－x）2

（2）m（a－b）－n（b－a）

（3）m（m－n）+n（n－m）（4）m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）

（5）（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）

课题：

4.3运用公式法

（一）

班级;姓名：

评价：

【温故】

练一练：

填空：

根据左面式子填空：

（1）（x+3）（x–3）=；

（1）x2–9=；

（2）（4x+y）（4x–y）=；

（2）16x2–y2=；

（3）（1+2x）（1–2x）=；（3）1–4x2=；

（4）（3m+2n）（3m–2n）=．（4）9m2–4n2=．

结论：

a2–b2=

【互助】

做一做：

把下列各式因式分解：

（1）25–16x2；

（2）9a2–

议一议：

将下列各式因式分解：

（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3–8x

【达标】

1．判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）（x–y）（）

（2）–x2+y2=–（x+y）（x–y）（）

（3）x2–y2=（x+y）（x–y）（）

（4）–x2–y2=–（x+y）（x–y）（）

2．把下列各式因式分解：

（1）4–m2

（2）9m2–4n2

（3）a2b2－m2（4）（m－a）2－（n＋b）2

（5）–16x4＋81y4（6）3x3y–12xy

（7）x2－（a+b－c）2

3．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．

课题：

4.3运用公式法

（二）

班级;姓名：

评价：

【温故】

做一做：

填空：

根据左面式子填空：

（1）（a+b）（a-b）=；

（1）a2–b2=；

（2）（a+b）2=；

（2）a2+2ab+b2=；

（3）（a–b）2=；（3）a2–2ab+b2=；

结论：

形如a2+2ab+b2与a2–2ab+b2的式子称为

【互助】

辨一辨：

观察下列哪些式子是完全平方式？

如果是，请将它们进行因式分解．

（1）x2–4y2

（2）x2+4xy–4y2（3）4m2–6mn+9n2（4）m2+6mn+9n2

结论：

找完全平方式可以紧扣下列口诀：

首平方．尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解：

a2–2ab+b2=（a–b）2a2+2ab+b2=（a+b）2

试一试：

把下列各式因式分解：

（1）x2–4x+4

（2）9a2+6ab+b2

（3）x2+14x+49；（4）（m+n）2－6（m+n）+9.

想一想：

将下列各式因式分解：

（1）3ax2+6axy+3ay2

（2）–x2–4y2+4xy

【达标】

1．判断正误：

（1）x2+y2=（x+y）2（）

（2）x2–y2=（x–y）2（）

（3）x2–2xy–y2=（x–y）2（）

（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2（）

2．下列多项式中，哪些是完全平方式？

请把是完全平方式的多项式分解因式：

（1）x2–x+

（2）9a2b2–3ab+1

（3）

（4）

3．把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

（3）–2xy–x2–y2（4）4–12（x–y）+9（x–y）2

※课题:

用“十字相乘”法分解因式

班级;姓名：

评价：

自学指导

1、因式分解与整式乘法的关系：

；

2．已有的因式分解方法：

；

自学检测:

把下列各式因式分解：

（1）3ax2+6ax+3a　　　

（2）x2-4y2　　　　　　　　　　　　　（3）x4-8x2+16

合作探究

问题导思:

你能分解2ax2+6ax+4a吗？

（x+2）（x+1）=；（x+2）（x-1）=；

（x-2）（x+1）=；（x-2）（x-1）=。

把上述式子左右对调，你有什么发现？

（2）把x2+3x+2分解因式

分析∵（+1）×（+2）＝＋2----------常数项

（+1）＋（+2）＝+3----------一次项系数

----------十字交叉线

解：

x2+3x+2=（x+1）（x+2）

.知识小结

十字相乘法定义：

。

x2+6x–7=（x+7）（x-1）步骤：

　　　　　①竖分二次项与常数项

②交叉相乘，和相加

③检验确定，横写因式

-x+7x=6x

顺口溜：

竖分常数交叉验，横写因式不能乱.

对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”

对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”.

当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；

当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

达标检测

1.用十字相乘法分解因式：

x2-8x+15=；-x2-6x+16

x2+4x+3=；x2-2x-3=

=；

2.若

（m＋a）（m＋b），则a和b的值分别是或

3.

（x－3）（__________）。

拓展练习

1.用十字相乘法分解因式：

（1）

（2）

；

（3）

（4）

2、先阅读学习，再求解问题：

材料：

解方程：

0。

解：

原方程可化为（x+5）（x-2）=0

∴x+5=0或x-2=0

由x+5=0得x=-5

由x-2=0得x=2

∴x=-5或x=2为原方程的解.

解方程：

x2-2x=3