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08全国数学建模一等奖

高等教育学费标准模型

摘要

本文以中国历年普通高等教育学费的实际情况为背景，分析了人均国内生产总值、高等教育成本、居民家庭可支配收入、高等教育需求和高等教育供给五个因素对中国普通高等教育学费增长的影响，分别建立了我国普通高等教育学费影响因素的回归模型和曲线模型，较好的反映了各因素对学费的影响程度。

文中结合所搜集的权威数据，运用回归和曲线拟合方法，利用SPSS工具软件，得出各因素对普通高等教育学费的影响。

由所建立的六个一元回归模型可知：

在假定其他各因素不变的情况下，人均GDP、国家预算内生均事业性拨款、城镇居民家庭收入、农村居民家庭收入、普通高中录取人数、高等教育本科录取人数的学费边际分别为：

0.42、1.052、0.5986、2.082、0.001、0.002。

最后运用因子分析法建立了各因素对学费的综合影响模型,经检验模型效果较好。

对于问题2，以湖南省普通高等学校为例，说明了地区经济发展状况差异、不同类院校、不同专业对学费有影响。

基于该问题建议经济应与教育协调发展、学费制定应考虑经济发展状况。

最后通过具体实例考量了模型的实用性、灵活性。

对模型进行了科学性分析，指出了模型的优缺点，并提出了一些具体建议。

关键词：

高等教育学费拟合曲线线性回归模型

一、问题的提出

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。

学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：

过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。

学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。

根据中国国情，收集诸如历年高等教育生均学费、普通高中录取人数、高等教育本科录取人数、国家预算内生均事业性拨款、家庭收入等相关数据。

现提出以下问题：

1.建立数学模型来制定全国普通高等教育生均学费，得出明确的结论。

并讨论此学费以怎样的程度照顾到学生家庭的承受能力和学校财力保证。

2.如何确定具体某地区某类学校某种专业的学费（以湖南省为例）。

3.对高等教育的学费问题的具体建议。

二、问题的分析

本问题的难点是要考虑高校教育的学费问题既要考虑到学生家庭的支付能力又要考虑学校为了保证教学质量所需要的经费。

学生家庭支付能力与家庭可支配收入息息相关，而学校所需经费又与教育成本挂钩。

另外人均国内生产总值和高等教育需求、供给也会影响到高等教育学费。

但是考虑到数据的收集比较困难，我们选取了人均GDP、生均预算内教育事业费支出、城镇/农村居民家庭可支配收入、普通高中毕业人数和普通高等教育录取人数等指标来分别研究各指标对学费的影响程度。

由于中国国情，各地区经济发展状况不同，从而不同地区高校的学费也不相同。

而且不同性质院校或不同专业由于培养目标不同，其质量保障所需经费也存在差异。

基于上述分析，我们把问题分为两个层次：

第一，根据中国国情制定高等教育平均学费；第二，具体到某地区、某类院校、某种专业，依据相应的培养目标围绕已得到的平均学费进行具体调整。

三、基本假设

1.从各类统计年鉴收集来的数据准确、可信、科学。

2.普通高中毕业生都希望参加高等教育。

3.国家政治稳定，会继续给高校拨款。

4.理论上存在着最佳的高校学费标准。

5.高校学费水平与人均国内生产总值、高等教育成本、居民可支配收入、高等教育需求及高等教育供给等因素相关。

四、符号说明

表1：

主要变量符号说明一览表

符号

意义

Y

高等教育平均学费

xt1

t年人均国内生产总值

xt2

t年普通高等教育生均预算内教育事业费支出

Xt3

t年城镇居民家庭收入

Xt4

t年农村居民家庭收入

Xt5

t年普通高中毕业人数

Xt6

t年普通高等教育本科录取人数

五、模型的建立和求解

从所要解决的问题和对问题的所做的假设出发，针对问题1建立了一元回归或曲线模型，然后综合所有因素做了多元回归分析模型。

1.学费及其影响因素的一元回归分析

（1）学费与人均国内生产总值

人均国内生产总值一般被用来衡量一个国家或一个地区的经济发展水平，而高等教育学费水平的制定不可能视当地的经济发展水平而不顾，因为学费与人均国内生产总值的比值在一定程度上反应了这个国家或地区对高等教育的财政支持能力。

中国高等学校自1989年收费以来，其学费水平就在不断提高。

由表1我们可以看出，1989年的学费水平为187.06元，到2006年就提高到5110.56元，这十八年来，高等教育学校学费水平提高了27.32倍。

与此同时，学费占人均国内生产总值的比重也在逐年提高，从1989年的12.37%增加到2006年的31.77%。

其间以2000年由于学费大调整所至的66.82%最大，2000年后学费增长慢于人均GDP增长，学费占人均GDP比重有所下降。

表2：

1989—2006年学费和人均GDP

年份

人均学费（元）

人均GDP（元）

学费占人均GDP的比重（%）

1989

187.06

1512

12.37

1990

190.64

1634

11.67

1991

205.09

1879

10.91

1992

396.56

2287

17.34

1993

592.99

2939

20.18

1994

871.13

3923

22.21

1995

1064.08

4854

21.92

1996

1816.25

5576

32.57

1997

2312.5

6053

38.20

1998

2755.48

6307

43.69

1999

3548.36

6534

54.31

2000

4620.82

6915

66.82

2001

4710.32

8622

54.63

2002

4795.36

9398

51.03

2003

4865.12

10542

46.15

2004

4932.14

12336

39.98

2005

5070.9

14103

35.96

2006

5110.56

16084

31.77

通过对表2中学费与人均国内生产总值进行回归分析，我们发现学费与人均国内生产总值存在着一次线性关系，线性拟合的判定系数（RSquare）=0.826，而二次项曲线拟合的判定系数（RSquare）=0.91835，显然，曲线拟合的判定系数更接近于1，因此，我们主要分析学费与人均国内生产总值的曲线估计结果。

在控制其他因素的情况下，学费水平与人均国内生产总值呈现相关关系。

统计结果显示（见附录），学费与人均国内生产总值的判定系数（RSquare）=0.91835，这表明两者相关关系非常显著，其中因变量学费的变化中有91.84%是由自变量人均国内生产总值引起的；而且在消除了自变量以及样本量的大小对因变量的影响后，得到的调整后的判定系数（AdjustedRSquare）=0.9075，这也从另一个方面说明学费与人均国内生产总值的回归曲线的拟合程度比较好。

学费与人均国内生产总值的回归方程如下：

线性方程：

Yt=-176.322+0.42xt1

（-0.457）（8.710）

RSquare=0.826SE=869.56870F=75.864AdjustedRSquare=0.815

二次方程：

Yt=-1672.8479+0.9486xt1-3.2E-05xti2

（-3.684）（7.176）（-4.123）

RSquare=0.9184SE=614.9193F=84.3519

（2）学费与高等教育成本

在实证研究中，经常使用教育事业费作为高等教育成本（其结构如图1）。

它包括人员性经费（教师、管理人员、后勤人员、其他人员经费）和非人员性经费（教学、行政、房屋修缮、其他经费）。

为了更为准确地计量高等教育的成本结构，本文所采用的高等教育成本指标，主要用高等教育事业支出除以在校生规模，由于数据的限制，本文的讨论将不涉及高等院校内部的教育质量问题，将高等院校在校生作为同质的群体，以在校生数量作为院校规模的量度。

图1：

随着高等教育生均教育事业费的提高，学费水平也在不断上涨。

如表3所示，一方面，从绝对水平上看，全国平均学费水平在不断上升；另一方面，从相对水平看，学费占生均教育事业费支出的比重也在逐年上升，1992年以前，学费占生均教育事业费的比重一直在10%以下，1993-1995年，大致在10-20%间徘徊，但是到1996年，学费占生均教育事业费的比重急剧上升，达到30.49%，而且以后几年其比重在不断增加，到2006年已达到87.08%。

由此看来，中国高等学校学费水平与高等教育成本的比例已经超出国际水平。

表3：

学费和预算内生均教育事业费

年份

学费（元）

高等教育成本（元）

学费占高等教育成本的比重（%）

1989

187.06

2832

6.61

1990

190.64

3107

6.14

1991

205.09

3643

5.63

1992

396.56

4091.94

9.69

1993

592.99

4102.3

14.46

1994

871.13

5047.61

17.26

1995

1064.08

5442.09

19.55

1996

1816.25

5956.7

30.49

1997

2312.5

6522.91

35.45

1998

2755.48

6775.19

40.67

1999

3548.36

7201.24

49.27

2000

4620.82

7309.58

63.22

2001

4710.32

5756.86

81.82

2002

4795.36

5764.72

83.18

2003

4865.12

5772.58

84.28

2004

4932.14

5552.5

88.83

2005

5070.9

5375.94

94.33

2006

5110.56

5868.53

87.08

根据上述数据，我们同样对学费与高等教育成本的关系进行回归分析，回归结果如下：

学费与高等教育成本的直接拟合的判定系数（RSquare）=0.468，指数曲线拟合的判定系数（RSquare）=0.73011，这说明学费与高等教育成本存在着曲线关系。

通过曲线估计，我们发现两者相关关系非常显著，其中因变量学费的变化中有73.011%是由自变量高等教育成本引起的；在消除了自变量的个数以及样本量的大小对学费的影响后，得到的调整后的判定系数（AdjustedRSquare）=0.713，接近于1，这也从另一个侧面表明学费与高等教育成本的指数曲线拟合程度比较理想。

学费与高等教育成本的回归方程如下：

线性方程：

Y=a+bXt2

Y=-2494.906+1.052Xt2

（-1.917）（3.755）

R=0.684RSquare=0.468

AjustedRSquare=0.435SE=1519.0641F=14.102Sig=0.002

指数方程：

Y=20.7533*（e（0.008-

））

b0=20.7533b1=0.008

RSquare=0.73011AjustedRSquare=0.7132

SE=0.6696F=43.2826Sig=0.000

（3）学费与居民家庭可支配收入

居民可支配收入是反映居民生活水平和居民对学费分担能力的一个重要指标，也是确定高等教育学费水平上限和下限的一个重要依据。

但由于中国人口多，幅员辽阔，地区间的经济发展不平衡，导致城乡差别较大。

其明显的反映便是城镇居民和农村居民的收入差距。

据统计，按现价计算的非农业人口人均消费之比由1990年的2.20倍上升到2006年的3.278倍。

在全国范围内，最低收入的10%人口有99.58%属于农村人口，而在最富裕的10%人口中88.12%是城市人口。

因此，我们在制定学费标准时，将从学费与城镇居民家庭人均可支配收入的比值以及学费与农村居民家庭人均可支配收入的比值方面，探讨学费与居民家庭可支配收入关系。

通过表4我们可以了解到，无论从绝对值来看还是从相对值来看，中国城镇居民家庭可支配收入和农村居民家庭可支配收入都在不断提高。

城镇居民家庭可支配收入从1990年的1510.20元和增加到2006年的11759.5元，增长778.672%；农村居民家庭可支配收入从1990年的686.3元和增加到2006年的3587元，增长522.66%。

但同期高等教育学校的学费水平提高更快，从1990年的190.64元到2006年的5110.56元，增长2680.74%。

此外，学费与城镇居民家庭人均可支配收入的比重以及学费与农村居民家庭人均可支配收入的比重也在大幅提高：

学费占城镇居民家庭人均可支配收入的比重由1990年的12.62%提高到2006年的43.46%；与此同时，学费占农村居民家庭可支配收入比重由1990年的27.78%提高到2006年的142.47%。

由此可知，从居民家庭可支配收入来看，中国高等学校的学费已经达到相当高的水平，并且甚至超出了居民的承受能力。

因此，我们在制定学费标准时，把居民家庭可支配收入纳入数学建模实属必要。

表4：

年份

城镇居民家庭可支配收入（元）

农村居民家庭可支配收入（元）

学费（元）

学费占城镇居民家庭可支配收入的比重（%）

学费占农村居民家庭可支配收入的比重（%）

1990

1510.2

686.3

190.64

12.62

27.78

1991

1700.6

708.6

205.09

12.06

28.94

1992

2026.6

784.0

396.56

19.57

50.58

1993

2577.4

921.6

592.99

23.01

64.34

1994

3496.2

1221.0

871.13

24.92

71.35

1995

4283.0

1577.7

1064.08

24.84

67.45

1996

4838.9

1926.1

1816.25

37.53

94.30

1997

5160.3

2090.1

2312.5

44.81

110.64

1998

5425.1

2162.0

2755.48

50.79

127.45

1999

5854.0

2210.3

3548.36

60.61

160.54

2000

6280.0

2253.4

4620.82

73.58

205.06

2001

6859.6

2366.4

4710.32

68.67

199.05

2002

7702.8

2475.6

4795.36

62.25

193.70

2003

8472.2

2622.2

4865.12

57.42

185.54

2004

9421.6

2936.4

4932.14

52.35

167.97

2005

10493.0

3254.9

5070.9

48.33

155.79

2006

11759.5

3587.0

5110.56

43.46

142.47

根据表4的有关数据，我们同样对学费与城镇居民家庭可支配收入以及学费与农村居民家庭可支配收入进行回归分析，并且建立数学模型。

回归结果显示，其中学费与城镇居民家庭可支配收入存在二次项曲线关系，曲线拟合的判定系数分别为0.863，而线性拟合的判定系数分别为0.914；这同时也表明学费与城镇居民可支配收入之间的高度相关性。

调整后的判定系数为0.9019，由此可见学费与城镇居民家庭可支配收入的回归曲线的拟合程度比较好。

学费与城镇居民家庭可支配收入的回归方程为：

线性方程：

Y=a+bXt3

Y=-630.5605+0.5986Xt3

（-1.5812）（9.7342）

R=0.929RSquare=0.863SE=757.2724

AjustedRSquare=0.854Durbin_Waston=0.337F=94.754Sig=0.000

二次方程：

Y=-2044.192+1.186Xt3-4.681E-05Xt32

b0=-2044.192b1=1.186b2=-4.681E-05

RSquare=0.914AjustedRSquare=0.9019

SE=621.3490F=74.5125Sig=0.0122

其中学费与城镇居民家庭可支配收入存在三次项曲线关系，曲线拟合的判定系数分别为0.9384，而线性拟合的判定系数分别为0.8736；这同时也表明学费与农村居民可支配收入之间的高度相关性。

调整后的判定系数为0.9242，由此可见学费与农村居民家庭可支配收入的回归曲线的拟合程度比较好。

学费与农村居民家庭可支配收入的回归方程为：

线性方程：

Y=a+bXt4

Y=-1322.413+2.082Xt4

（-2.984）（10.181）

R=0.935RSquare=0.874

AjustedRSquare=0.865SE=728.3356F=103.648Sig=0.000

三次方程：

Y=3562.94–8.0662Xt4+0.0057Xt42-9.308E-07Xt43

（2.022）（-2.440）（3.277）（-3.431）

b0=3562.94b1=–8.0662b2=0.0057b3=-9.E-07

RSquare=0.9384AjustedRSquare=0.9242F=66Sig=0.000

（4）学费与高等教育需求

近几年来，随着社会经济的发展，居民收入的提高，高等教育大众化的兴起，人们对教育的需求也越来越强烈，这引起了学术界的关注。

但目前来看，就高等教育需求层面对学费问题的探讨，以往学者主要是进行了初步的理论分析，真正把高等教育需求作为制定高等教育学费标准的一个重要指标来研究，由其进行定量研究的并不多见。

因此，在当今中国居民对高等教育需求居高不下的情况下，我们由必要对此进行深入分析。

由于学术界对学费与高等教育需求的定量分析并不多见，加上国家有关部门在制定高等教育标准时并没有把个人需求作为一个依据，这就给我们收集相关数据带来困难。

在这种情况下，考虑到各方面因素的影响，我们认为以历年普通高中毕业生的数量，作为当年个人对高等教育的需求的衡量指标还不乏为一个有效依据。

原因在于：

从理论上来讲，每年的高中毕业生都存在对高等教育的需求，他们都渴望考上理想的高校；

虽然社会上还存在一部分特定的群体，他们对高等教育也有同样的需求，但由于国家有关政策的限制，他们无法报考普通高校。

鉴于这部分群体数量相对较少，加上难以收集相关数据，我们在此忽略不计。

表5：

1989年—2006年高等学校需求

年份

需求（普通高中的毕业生人数）

1989

2432000

1990

2329600

1991

2229500

1992

2261300

1993

2317100

1994

2093021

1995

2016441

1996

2049283

1997

2216630

1998

2517845

1999

2629091

2000

3015089

2001

3404600

2002

3837600

2003

4581000

2004

5469000

2005

6615713

2006

7271000

从图2我们可以了解到，虽然近几年来中国高等教育的学费水平在不断上涨，但普通高中的毕业生人数并没有随着学费水平的上涨而上涨，除1994-1996年外，普通高中的毕业生人数总体上呈递增趋势。

1989年普通高中毕业生有243.2万人，到2006年已上升到727.1万人。

通过观察学费与高等教育需求变化的散点图和回归分析结果，我们发现，因变量学费与自变量高等教育需求存在着线性关系，其中线性拟合的判定系数（RSquare）=0.5826，调整后的判定系数（AdjustedRSquare）=0.5565。

图2：

学费与高等教育需求的回归方程如下：

线性方程：

Y=a+bXt5

Y=-444.509+0.001Xt5

（-0.608）（4.725）

R=0.763RSquare=0.583

AjustedRSquare=0.556SE=1346.2206F=22.329Sig=0.000

（5）学费与高等教育供给

高等学校的招生必然会受到自身条件的制约，它包括高等学校的环境、资源等等。

本文所要探讨的高等教育供给，主要是指与高等教育的资源相关的高等教育的供给能力，它在高等学校具体事务中的反映便是高等学校的招生能力，因为各个高校的招生能力如何，除了要考虑国家有关部门下达的指标下，主要考虑的是自身的资源状况。

虽然近几年来由于扩招的影响，部分高校超出自身条件来广纳生源，但总的来说，高校每年所招生的数量在一定程度上反映了本身的供给能力。

鉴于此，在没有找到更科学的数据来反映高等教育供给水平的情况下，我们暂且用全国每年普通高校的录取人数作为衡量高等教育供给能力的指标。

图3和表6显示，近十年来，无论普通高校本科录取人数，还是普通高校的毛入学率都在不断增加。

从录取人数来看，1989年普通高校本科录取人数为300496人，到2006年就增加到2530854人，增加了2230358人，增幅842.226%；而自1997年高校并轨后，录取人数提高的更快，从1997年的579679人到2006年的2530854人，仅十年的时间就增加了1951175人，增幅436.60%。

由此看来，中国高等教育供给将继续提高。

表6：

1989—2006年供给

年份

供给（普通高校本科录取人数）

1989

300496

1990

317200

1991

329500

1992

349900

1993

386500

1994

409599

1995

447809

1996

505323

1997

579679

1998

653135

1999

936690

2000

1160191

2001

1381835

2002

1587939

2003

1825262

2004

2099151

2005

2363647

2006

2530854

图3：

通过观察学费与高等教育需求变化的散点图和回归分析结果，我们发现，因变量学费与自变量高等教育需求存在着线性关系，其中线性拟合的判定系数（RSquare）=0.8228，调整后的判定系数（AdjustedRSquare）=0.8117。

学费与高等教育供给的回归方程如下：

方程：

Y=a+bXt6

Y=257.966+0.002Xt6

（0.742）（0.4691）

R=0.907RSquare=0.823

AjustedRSquare=0.812SE=877.1112F=74.291Sig=0.000

2.学费及其相关因素的多元回归分析

通过一元回归分析，我们了解到人均国内生产总值、高等教育成本、城镇居民家庭可支配收入、农村