中高考资料全国高中数学联合竞赛一试参考答案A卷.docx
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中高考资料全国高中数学联合竞赛一试参考答案A卷
路漫漫其修远兮
2018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）
参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的
评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、
11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、填空题：
本大题共8小题，每小题8分，满分64分．
1.设集合A1,2,3,,99,B2xxA,Cx2xA，则BC的元
素个数为．
答案：
24．
1399
解：
由条件知，
BC
，
2,4,6,,198,1,,2,,2,4,6,,48
222
故BC的元素个数为24．
2.设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成
角不小于30且不大于60，则这样的点Q所构成的区域的面积为．
答案：
8．
OP
3
解：
设点P在平面上的射影为O．由条件知，
tanOQP,3，
OQ
3
即OQ[1,3]，故所求的区域面积为．
318
22
3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的
概率为．
答案：
9
10
．
解：
先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc,def一奇一偶，若abc为奇数，
则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样有3!
×3!
=36种情况，
由对称性可知，使abc+def为奇数的情况数为36×2=72种．从而abc+def为偶
72729
数的概率为1−=1−=．
6!
72010
xy
22
ab
4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:
1（ab0）
的左、右焦点
22
分别是F、F，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P．已
12
知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则PFF
的面积为．
12
答案：
15．
解：
由对称性，不妨设P（x,y）在第一象限，则由条件知
PP
11
xPTPSyPVPU，
2,1PP
22
1
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
即P（2,1）．进而由1,2
xPUPS得U（2,2）,S（4,1），代入椭圆C的方程知
P
1111
44161220,25
，解得ab．
abab
2222
1
从而15
SFFyaby．
22
PFF12PP
212
5.设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，
1x2,
且满足f（）1,f
（2）2，则不等式组
的解集为．
1f（x）2
答案：
[2,82]．
解：
由f（x）为偶函数及在[0,1]上严格递减知，f（x）在[1,0]上严格递增，
再结合f（x）以2为周期可知，[1,2]是f（x）的严格递增区间．
注意到
fffff，
（2）（）1,（82）
（2）
（2）2
所以
1f（x）2f
（2）f（x）f（82），
而12822，故原不等式组成立当且仅当x[2,82]．
6.设复数z满足z1，使得关于x的方程zxzx有实根，则这样
2220
的复数z的和为．
3
答案：
．
2
解：
设zabi（a,bR,a2b21）．
将原方程改为（abi）x22（abi）x20，分离实部与虚部后等价于
axax，①
2220
bxbx．②
220
若b0，则a，但当a1时，①无实数解，从而a1，此时存在实
21
数x13满足①、②，故z1满足条件．
若b0，则由②知x{0,2}，但显然x0不满足①，故只能是x2，代
115115i
入①解得．
a，进而b，相应有
z
444
115i115i3
综上，满足条件的所有复数z之和为1
．
442
7.设O为ABC的外心，若AOAB2AC，则sinBAC的值为．
故
10
答案：
．
4
解：
不失一般性，设ABC的外接圆半径R2．由条件知，
2ACAOABBO
，①
1
ACBO．
1
2
2
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
取AC的中点M，则OMAC，结合①知OMBO，且B与A位于直线
MC1
OM的同侧．于是cosBOCcos（90MOC）sinMOC
．
OC4
在BOC中，由余弦定理得
BCOBOCOBOCBOC，
222cos10
BC10
进而在ABC中，由正弦定理得．
sinBAC
2R4
8.设整数数列1,2,,101031,2825
aaa满足aaaaa，且
aaai，
iii
1{1,2},1,2,,9
则这样的数列的个数为．
答案：
80．
解：
设1{1,2}（1,2,,9）
baai，则有
iii
2aaabbb，①
1101129
bbbaaaabbb．②
2345285567
用t表示2,3,4
bbb中值为2的项数．由②知，t也是5,6,7
bbb中值为2的项数，
其中t{0,1,2,3}．因此bbb的取法数为（C）（C）（C）（C）20．
2,3,,7
021222323333
取定2,3,,78,9
bbb后，任意指定bb的值，有224种方式．最后由①知，应取1{1,2}
b使得bbb为偶数，这样的
b的取法是1291
唯一的，并且确定了整数1,2,,9
a的值，进而数列
bbb唯一对应一个满足条件的1
数列1,2,,10
aaa．综上可知，满足条件的数列的个数为20480．
二、解答题：
本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
9.（本题满分16分）已知定义在R上的函数f（x）为
logx1,0x9,f（x）
3
4x,x9.
设a,b,c是三个互不相同的实数，满足f（a）f（b）f（c），求abc的取值范围．
解：
不妨假设abc．由于f（x）在（0,3]上严格递减，在[3,9]上严格递增，
在[9,）上严格递减，且f（3）0,f（9）1，故结合图像可知
a，b（3,9），c（9,），
（0,3）
并且f（a）f（b）f（c）（0,1）．…………………4分
由f（a）f（b）得
1logalogb1，
33
即39
logalogb2，因此ab．于是abc9c．…………………8分
233
又
3
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
0f（c）4c1，…………………12分
故c（9,16）．进而abc9c（81,144）．
所以，abc的取值范围是（81,144）．…………………16分
r
注：
对任意的r（81,144），取
c=，则c∈，从而
09
0（9,16）
f（c）∈（0,1）．过
0
点
（c,f（c））作平行于x轴的直线l，则l与f（x）的图像另有两个交点（a,f（a）），
00
（b,f（b））（其中a（0,3）,b（3,9）），满足f（a）f（b）f（c），并且ab9，从
而abc=r．
10.（本题满分20分）已知实数列1,2,3,
aaa满足：
对任意正整数n，有aSa，其中
（2）1S表示数列的前n项和．证明：
nnnn
（1）对任意正整数n，有2
an；
n
（2）对任意正整数n，有11
aa．
nn
证明：
（1）约定00
S．由条件知，对任意正整数n，有1
（2）（）（）
，
aSaSSSSSS
22
nnnnn1nn1nn1
从而22
SnSn，即Sn（当n0时亦成立）．…………………5分
n0n
显然，112
aSSnnn．…………………10分
nnn
（2）仅需考虑a,a同号的情况．不失一般性，可设a,a均为正（否则
nn1nn1
将数列各项同时变为相反数，仍满足条件），则
SSSn，故必有
n1nn1
SnSn，
1nn1
此时
annann，
1,1nn1
从而
aannnnnnnn．
nn
1
（1）
（1）
（1）
（1）1
…………………20分
11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y24x的
过点F（1,0）的弦，AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O,A,B）．若PF平
分APB，求PF的所有可能值．
AyByPy
,,,,yyy两两不等且非零．
yyy
222
解：
设，由条件知1,2,3
123
123
444
设直线AB的方程为xty1，与抛物线方程联立可得yty，故
2440
yy．①
124
注意到AOB的外接圆过点O，可设该圆的方程为xydxey，与
220
yyd
24
x联立得，yyyy这四个不
10
yey．该四次方程有1,2,3,0
2
4164
4
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
同的实根，故由韦达定理得
yyy，从而
12300
yyy．②
3（12）
…………………5分
PAFAy
因PF平分APB，由角平分线定理知，
PBFBy
，结合①、②，有1
2
2
yy
22
312
（yy）
2
231222
yPA44
2（yy）y16（2yy）
12112
1
yPByyyyyyy
222222222
（）16
（2）
232212221
（yy）
32
44
（y8）16（4yy16）y64y192
222242
21221，………………10分
（y8）16（4yy16）y64y192
222242
12112
即16641222192122664221219222
yyyyyyyy，故
（yy）（yyyy192）0．
224224121122
当2230
yy时，yy，故y，此时P与O重合，与条件不符．
1221
当141222241920
yyyy时，注意到①，有
（yy）192（yy）208．…………………15分
22221212
因22124131,2
yyyy，故满足①以及yy的实数
124138212yy存
22
在，对应可得满足条件的点A,B．此时，结合①、②知
PF
．
y31（y1y2）4y1y242084131
2222
4444
…………………20分
5
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