八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1 等腰三角形教案 新版北师大版.docx
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八年级数学下册第一章三角形的证明1等腰三角形教案新版北师大版
1 等腰三角形
第1课时
【教学目标】
知识技能目标
1.理解作为证明基础的几条公理的内容,应用这些公理证明等腰三角形的性质定理.
2.在证明过程中,掌握推理证明的基本要求,明确条件和结论,能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理.
3.熟悉证明的基本步骤和书写格式.
过程性目标
1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.
2.鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性,提高逻辑思维水平.
情感态度目标
1.启发引导学生体会探索结论和证明结论,及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.
2.培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好学习习惯.
【重点难点】
重点:
探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法,掌握证明的基本要求和方法.
难点:
明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等.
【教学过程】
一、创设情境
提醒学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条:
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）.
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）.
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件:
1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）,并要求学生利用前面所提到的公理进行证明;2.回忆全等三角形的性质.
有了前面的铺垫,学生一般都能得到该推论的证明思路,但由于一个暑假的遗忘,可能部分学生的表述未必严谨、规范,教学中注意提醒学生分析条件和结论,画出简图,写出已知和求证,并规范地写出证明过程.
二、探究归纳
探究一:
活动内容:
在提问:
“等腰三角形有哪些性质?
以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?
并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗?
”的基础上,让学生经历这些定理的活动验证和证明过程.具体操作中,可以让学生先独自折纸观察、探索并写出等腰三角形的性质,然后再以六人为一小组进行交流,互相弥补不足.
活动目的:
通过折纸活动过程,获得有关命题的证明思路,并通过进一步的整理,再次感受证明是探索的自然延伸和发展,熟悉证明的基本步骤和书写格式.
活动效果与注意事项:
由于有了教师引导下学生的活动,以及具体的折纸操作,学生一般都能得到有关等腰三角形的性质定理,当然,可能部分学生得到的定理并不全面,在学生小组的交流中,通过同伴的互相补充,一般都可以得到所有的性质定理.在教学过程中,教师应注意小组的巡视,提醒学生思考多种证明思路,思考不同的辅助线之间的关系从而得到“三线合一”.
探究二:
活动内容:
在学生小组合作的基础上,教师通过分析、提问,和学生一起完成以下两个性质定理的证明,注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生挑选其一证明.其后,教师通过课件汇总各小组的结果以及具体证明方法,让学生明晰证明过程.
（1）等腰三角形的两底角相等.
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
活动目的:
和学生一起完成性质定理的证明,可以让学生自主经历命题的证明过程;明晰证明过程,给学生一定的规范,起到一种引领作用;活动2则是前面命题的直接推论,力图让学生形成拓广命题的意识,同时也是一个很好的巩固练习.
三、交流反思
1.具体有关性质定理.
2.通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明,为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据.
3.体会了证明一个命题的严格的要求,体会了证明的必要性.
4.通过这节课的学习,掌握探索的步骤:
观察—归纳—猜想—证明;探索出等腰三角形的性质.
四、检测反馈
学生自主完成P4第2题:
如图,在△ABD中,AC⊥BD,垂足为C,AC=BC=CD.
（1）求证:
△ABD是等腰三角形.
（2）求∠BAD的度数.
五、布置作业
P4 习题1.1 第1,2题.
六、板书设计
全等三角形的判定
学生板演练
等腰三角形的性质
七、教学反思
本节关注学生已有活动经验的回顾过程,关注了“探索—发现—猜想—证明”的活动过程,关注了学生的自主探究过程,学生学习的主体性发挥较好,应该说取得了较好的教学效果.在具体活动中,如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡,具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整.
第2课时
【教学目标】
知识技能目标
探索—发现—猜想—证明等腰三角形中相等的线段,进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式,体会证明的必要性.
过程性目标
1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展,发展学生初步的演绎逻辑推理能力.
2.在命题的变式中,发展学生提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学生的学习能力和思维能力,提高学生学习的主体性.
3.在图形的观察中,揭示等腰三角形的本质:
对称性,发展学生的几何直觉.
情感态度目标
1.鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.
2.体验数学活动中的探索与创造,感受数学的严谨性.
【重点难点】
重点:
经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
难点:
能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论.
【教学过程】
一、创设情境
内容:
在回忆上节课等腰三角形性质的基础上,提出问题:
在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）,你能发现其中一些相等的线段吗?
你能证明你的结论吗?
引入本课研究内容.
二、探究归纳
1.探究活动一
内容:
在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等）,观察其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明.
问:
你可能得到哪些相等的线段?
你如何验证你的猜测?
你能证明你的猜测吗?
试作图,写出已知、求证和证明过程;
还可以有哪些证明方法?
学生通过观察,归纳发现:
等腰三角形两个底角的平分线相等;
等腰三角形腰上的高相等;
等腰三角形腰上的中线相等.
2.探究活动二
内容:
提醒学生在得到上面等腰三角形性质定理的基础上,思考等边三角形的特殊性质:
等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知:
在△ABC中,AB=BC=AC.
求证:
∠A=∠B=∠C=60°.
证明:
在△ABC中,∵AB=AC,
∴∠B=∠C（等边对等角）.
同理:
∠C=∠A,∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
活动效果:
学生一般都能得到这些定理的证明,能规范地写出“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程.
三、交流反思
1.通过这节课的学习,掌握探索的步骤:
观察—归纳—猜想—证明.
2.通过本节课探索出等腰三角形的性质及推论.
四、检测反馈
1.等边三角形练习:
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.
求证:
AE=CD.
2.等腰三角形特殊线段的应用:
如图,在△ABC中,若AB=AC,∠A=40°,O点是△ABC的角平分线BD与高线CE的交点,则∠DOC的度数为________.
五、布置作业
1.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC的角平分线.
求证:
BD=CE.
2.证明:
等腰三角形两腰上的高相等.
六、板书设计
等腰三角形两个底角的平分线相等;
等腰三角形腰上的高相等;
等腰三角形腰上的中线相等.
等边三角形的性质
七、教学反思
本节课关注了问题的变式与拓广,实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程,因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力,但也应注意根据学生的情况进行适度的调整,因为学生先前这样的经验较少,因而对一些班级学生而言,完成全部这些教学任务,可能时间偏紧,为此,教学中可以适当减少一些内容,将部分内容延伸到课外,当然,也可以设计为两个课时,将研究过程进一步展开.
第3课时
【教学目标】
知识技能目标
1.探索等腰三角形的判定定理.
2.理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.
3.了解反证法的基本证明思路,并能简单应用.
过程性目标
在命题的变式中,发展学生提出问题的能力,拓展命题的能力,从而提高学生的学习能力和思维能力,提高学生学习的主体性.
情感态度目标
鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲.
【重点难点】
重点:
理解等腰三角形的判定定理,并会运用其进行简单的证明.
难点:
灵活应用等腰三角形的性质和判定定理.
【教学过程】
一、创设情境
活动过程:
通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路,要求学生独立思考后再进行交流.
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么?
这个命题的题设和结论分别是什么?
问题2.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等吗?
二、探究归纳
探究一:
教师:
“等边对等角”,反过来成立吗?
也就是:
有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
[学生]如图,在△ABC中,∠B=∠C,要想证明AB=AC,只要构造两个全等的三角形,使AB与AC成为对应边就可以了.
探究二:
导出反证法:
小明说:
在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗?
我们来看一位同学的想法:
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC,那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B,但已知条件是∠B≠∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾,因此AB≠AC.
你能理解他的推理过程吗?
反证法的定义是先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这也是证明命题的一种方法,我们把它叫做反证法.
三、交流反思
（1）本节课学习了哪些内容?
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种?
（3）结合本节课的学习,谈谈等腰三角形性质和判定的区别与联系.
（4）举例谈谈用反证法证明的基本思路.
四、检测反馈
1.如图,BD平分∠CBA,CD平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=12,AC=18,求△AMN的周长.
2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数?
五、布置作业
已知:
如图,∠CAE是△ABC的外角,AD∥BC且∠1=∠2.
求证:
AB=AC.
六、板书设计
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
七、教学反思
本节课关注了问题的变式与拓广,实际上引领学生经历了提出问题、解决问题的过程,因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力,但也应注意根据学生的情况进行适度的调整,因为学生先前这样的经验较少,因而对一些班级学生而言,完成全部这些教学任务,可能时间偏紧.
第4课时
【教学目标】
知识技能目标
1.理解等边三角形的判别条件及其证明.
2.理解含有30°角的直角三角形的性质及其证明,并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
过程性目标
1.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维.
2.经历实际操作,探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.
情感态度目标
积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.
【重点难点】
重点:
等边三角形判定定理.
含30°角的直角三角形的性质定理.
难点:
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
引导学生全面、周到地思考问题.
【教学过程】
一、创设情境
活动内容:
教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上,直接提出问题:
等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?
又如何判别一个三角形是等边三角形呢?
从而引入新课.
二、探究归纳
探究一:
学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件,并交流汇报各自的结论,教师适时要求学生给出相对规范的证明,概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出下表:
性质
判定的条件
等腰三
角形
（含等边
三角形）
等边对等角
等角对等边
“三线合一”即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、高互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个角都相等,且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
学生探究出:
1.顶角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2.底角是60°的等腰三角形是等边三角形.
3.三个角都相等的三角形是等边三角形.
4.三条边都相等的三角形是等边三角形.
探究二:
教师直接提出问题:
1.将等边三角形沿对称轴能剪成两个什么特殊的三角形?
2.你能猜测这个含30°角的直角三角形有哪些性质吗?
学生发现结论:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
三、交流反思
让学生对课堂学习进行小结,注意总结具体的知识、结论,以及解决问题的方法和蕴含其中的思想,如分类讨论思想、逆向思维等.
四、检测反馈
等腰三角形的底角为15°,腰长为2a,求腰上的高CD的长.
解:
∵∠ABC=∠ACB=15°,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°,
∴CD=
AC=
×2a=a（在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
五、布置作业
P12 习题1.4 第1,2题
六、板书设计
等边三角形的判定
1.
2.
3.
含30°角的直角三角形的性质
学生板演
七、教学反思
本节课,难点在于探究两个定理:
“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”,由于设计了三角板操作的实践活动,有效地突破了难点,因而,课堂上学生思维非常灵活,方法多样,取得较好的效果.
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