常微分方程期末复习.docx
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常微分方程期末复习
1・求下列方程的通解。
dy—（
—=40•sinx-Leix3
解：
方程可化为——=-e-+4sinx-l
ax
令2=几得—=-2+4sinA
dx
由一阶线性方程的求解公式，得
所以原方程为JR=2（sinx-cosx）+c07
2•求下列方程的通解。
dy
解J设—=/?
=sinZ,则有y=sect»
dx
从而X=f——tgt•seetdt+c=fsec"ZJz+t=tgt+cJsin/J
故方程的解为（x+c）-+i=r，
另外y=±\也是方程的解・
3•求方程空=尤+r通过（0,0）的第三次近似解.dx
解：
0o（x）=O
（p\（X）=£xdx=—X"u2
fA141,1<
0（x）=（x+—x）dx=—x~+—X
•Jo4220
1■>I5i11*8
=—X"HX4XHX
2204400160
4•求解下列常系数线性方程。
x*+x"+x=O
解：
对应的特征方程为：
/1'+/1+1=0,
・V3、,+6sin——0"2
•解得几产十夸泌一A*,
所以方程的通解为：
x=e~^{c,cos—
2
5•求解下列常系数线性方程。
解：
齐线性方程x"-x=0的特征方程为才一1=0,解得人=1九3=~*；"
1行丄行
故齐线性方程的基本解组"”八＜4/3吟,,
因为兄=1是特征根，所以原方程有形如=代入原方程得，
3用+加-加“，所以"弓，所以原方程的通解为八
cos—Z+c^^sin—/+ire
2'23
6.试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：
dx,d\-
—=-X-y+1,—=X-y—5
dtdt
X=x-3
Y=y+3
一1A+l
=（2+1）2+1=O所以2,=-1+・兄2=—1一匚故奇点为稳定焦点,
7•设0（f）为方程=（A为"X畀常数矩阵）的标准基解矩阵（即0（0）=£）,证明0（f）07（G=0（f-fo）其中山为某一值
证叽0（f）为方程#=山・的基解矩阵0"仇）为一非奇异常数矩阵,
所以0（/）0.仇）也是方程V=Ax的基解矩阵•且0（/-5）也是方程#=血的基解
矩阵，•
且都满足初始条件0（007*0）=E，0（心一山）=0（0）=£
所以处）严（心）=0（/-山）
即命题得证。
&求方程4心臥+2（巧一1）心=0的通解
解：
更1=心豐=6心
6dx
dM6N
dydx
—枳分因子“（y）=e3=y2
2y
两边同乘以“（刃后方程变为恰当方程：
4x-y^dx+2y^（x^y-l）dy=0
r-A
—=M=4x"y^两边枳分得:
u=—x^y-+a**—I
上=+0（y）=N=2;v'yT-2y-
得：
0（y）=-4y2
因此方程的通解为：
y^{x^y-3）=c
dy
解J令—=y=p则p+e^-x=Gdx
得Jx=p+fP
那么y=Jpdx=J/?
（!
+）dp
2
牛+"+•
ciy_77
10•求初值问题｛="-y/e：
|x+i|j.y（—1）=0
给出在解的存在区间的误差估计
解JM=max|/（x,y）|=4
x—Xq<1=a
（儿>）伙|I
y—$0解的存在区间为X-心=
即--<%<--
44
令％（0=儿=0
0心）=0+1皿=专+_
—=|-2y|<2=L
误差估计为：
仍（0-0（0<-!
些1/严
11・求方程X+9x=rsin3z的通解
解J几，+9=0n兄1=3g2,=—3j.
A=3i是方程的特征值，设x（f）=f（Af+B）/"
得：
X=（2A-9B/+12A〃+6Bj-9/V2）R"
则2A+i2Ait+6Bi=t
1236
因此方程的通解为：
x（f）=c^cos3r+
2sin3r-—cos3r+—Zsin3r
12•试求方程组X=Av+f（t）的解0（/）・
则基解矩阵0>（/）=
一"2J
因此方程的通解为：
仅F）=①（f）①T（0）7+①（f）『①T（$）/（$）心
-5
+
1-4e3-^3-m
--
0
-2
13•试求线性方程组竺=2x-7y+19,空=x-2y+5的奇点,
dtdt
并判断奇点的类型及稳;^^
解：
2-7小9=。
x-2y+5=0
x=,
..V=3
（1，3）是奇点
令X=x+2y=y_2
22
dX_dY_“
dtclt
=><
2-1
2
-1
兄一2
7
2-2
7
=
0
3
ho,那么由
=
0
3+2-
1-2
-1
A+2
2
2-2
=0
可得：
九\=尽入2=-4^：
因此（1.3）是稳总中心
14•证明题J如果0（0是X=Ax满足初始条件0（心）=〃的解，那么
0（0=［呵4（一0）归
证明：
由泄理8町知^z）=（；0）7+0>（/）£O'*（5）f（s）ds
又因为e（r）=exp（G）=（cxpArJ"'=exp（-AzJ
/U）=o
所以0（0=exp如・e¥（-如0）7
又因为矩阵（/V）•（-如0）=（-他）・（如）
所以0（0=[expA（t-）}/
即命题得证。
15•求下列方程的通解
3
ydx—（x+y）dy=0
dM,dN
解：
因为勿dx
所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子
hT'
由公式expAt=e^^—（A—AE）'得
/=0'•
1&求下列方程的通解
伴）3-畑芈+8y2=0
cfxax
（*）两边对y求导：
2Y（p3-4y2）a^+p（8y2_p3）=啊乂卩dv
HP-4>'2）（23'—-P）=0由2y—-p=0得p=cy^即y=（£）2将y代入dydyc
p3-4y2=0得P=（4）/）了代入⑴得：
y=舟/也是方程的解
9求方哙十y嗪过e。
）的第三次近似解
fx/兀2
0=）3+』0皿=亍
解-225
雅-fVXXX
0=Vn+（X+——）dx=—+—
*2丿0Jo\4220
410725
XXX、，XX
0=y（\+I（XH11）＜Zv=111
gJo4400202204400160
20.求—=-x-y+l,—=x-y-5的奇点，并判断奇点的类型及稳宦性dtdt
解：
由1一x—y+l-°解得奇点（3,一2）令X=x-3.Y=y+2KiJ-
lx—y—5=0
=久2+2久+1+1=兄2+2几+2=0得兄=—1土/故（3,・2）为稳
定焦点0
21•证明题：
n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解证明：
由解的存在唯一性世理知：
n阶齐线性方程一泄存在满足如下条件的n解:
码（『0）=1，兀2（5）=°，，兀"（，0）=0
兀1（，0）=0，兀2（，0）=1，，Xn（/o）=0
=1h0
卅'（『0）=0兀扌"（『0）=0,…9卅'（：
0）=1
考虑"［兀100），勺（『0）昇・、兀”（『0）］=
从而舌a）a=i2…n）是线性无关的。
22.求解方程：
空=上半_
dxx+y+3
解:
（x-y+1）dx・（x+y+3）dy=0
xdx・（ydx+xdy）+dx・『dy-3dy=0
—2—dy
即2d^"-d{xy）+dx-3・3dy=0
—牙2_xV+;v——y3_3y=C所以23
23•解方程J（2x+2y-l）dx+（x+y-2）dy=0
dy_2（x+y）-1
dz_
dx~
解：
心（x+y）-2,令车x+y
2z—1z+1—z+2
=,dz=dxz—2—z+2z+l
所以-z+31nlz+ll=x+G,tJz+M=x+z+^>
即（K+y+l）3=W・
dy
M讨论方程d=在怎样的区域中满足解的存在唯-雌理的条件，并求通过点＜0,
dx
0）的一切解
故在的任何区域上6’存在且连续,因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性圧理的条件,
显然•，三°是通过点（0,0）的一个解:
dy3I3
•
又由dx2）2解得，|y|=CT-e）2
所以•通过点（0,0）的一切解为，三°及
（x（x>c\c>Q是常数
25•求解常系数线性方程：
x"-2（+3x=Lcos/
解：
⑴八22+3=0,
齐次方程的通解为x=RGcosQ+iinQ）
（2）几=一1土f不是特征根，故取"（Acosf+BsinW
54
代入方程比较系数得A=41.b-41
54
X=（——cosfsinW'
于是4141
通解为x=”（5++
26•试求方程组e山的-个基解矩阵,并咏化其中吨g
解，de严一q）=
设人=j对应的特征向量为儿
由'
Z4二卜"可得"心
所以，kr0%卜
ac*0。
解：
因为方程组
（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件
=ac工0
故奇点为原点（0,0）
所以，方程组的奇点（0,0）可分为以下类型:
a,c为实数
2&试证：
如果0（f）是满足初始条件0（5）=〃的解，那么
X）十
则由初始条件得严C
所以，宀"
代入<1）得呦/宀"严5
即命题得证0
29•求解方程（2xy+x^y+—）（ix+{x^+y^}dy=0
dMdN
又丙为6
=Ndx
所以方程有积分因子：
u（x）=
X
方程两边同乘以€得:
訐3+/y+y"+"（f）"°
3
e'（2号+x^y）dx+e^x^dy]+[e^—dx+e^y^dy]=0
也即方程的解为
解：
令，dx
3t
%■+1X-3tx^=0即1+p
从而
3/2
"心IT?
=J（二y（My）d+又J1+ri+r
故原方程的通解为
3t
牙=——3
1+r
31+4?
y=-+c
2（1+广）t为参数
d^x^dx■
-^-2—
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