等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版.docx
《等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版
1、等比数列的定义：
-a^=qq=0”n_2,且n-N,q称为公比anA.
2、通项公式:
nAa.
an-a.qq
推广:
q
3、等比中项:
（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：
A2=ab或
A=ab
注意：
同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（
（2）数列：
anf是等比数列=an2二andan.1
4、等比数列的前n项和Sn公式:
（1）当q=1时，Sn=na.
（2）当q胡时，看^_二=口3
1-q1-q
鱼=A-ABn=A'Bn-A'（A,B,A',B'为常数）
1-q1-q
5、等比数列的判定方法：
数列
（2）等比中项：
an2=an何4佃何」=0）二｛an｝为等比数列
（3）通项公式：
a^ABnAB-o=g｝为等比数列
6、等比数列的证明方法:
依据定义：
若五二qq=0n—2,且nN*或a.1二qa「=｛an｝为等比数列an4
7、等比数列的性质：
（2）对任何m“N*，在等比数列｛an｝中，有an二amq®。
2
an"am二ak
注：
aian二a2'anJ=a3an_2…
等差和等比数列比较:
等差数列
等比数列
定义
an+_an=d
时=q（q式0）an
递推公
式
an=anJL+d；an=am_n+md
an=an」q；an=amqn』
通项公
式
an=ar+（n-1）d
an=a1q（ai,q式0）
中项
A=an」十叭卡/n,k€N*,n»kA°）
G=±^'anjsan4k（anj^an*A0）（n,k€N*,nAkA°）
前n项
和
n
Sn=二佝+an）
2
c」（n—1）j
Sn—naL+d
2
'na'q=1）
Snufa』_qn）aiVnq
i—~_—（qX2）
1-q1-q
重要
性质
am*an=ap*aq
（m,n,p,qwN*,m+n=p+q）
am'an=ap'aq
*
（m,n,p,q^N,m+n=p+q）
经典例题透析
类型一：
等比数列的通项公式
例1.等比数列｛a.｝中，aia?
=64,a3'a?
=20,求a^.
思路点拨：
由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于ai和q的二元方程组，解出ai和q，可得an；或注意到下标1^3?
，可以利用性质可求出a3、a?
，再求an.
解析：
8
法一：
设此数列公比为q，则a1a^a1a2q=64⑴
Ia3+a?
=a1q+ag=20
（2）
由
（2）得:
ag2（1q4）=20（3）
由
（1）得:
（ag4）2=64,/.ag4=8（4）
⑶一⑷得:
1q4
2~q
205
~8~2
-2q4一5q22=0,解得q2=2或q2=£当q2=2时，a-=2,a--=a-q10=64;
当心时，a-=32,a—qJ.
'/法——:
•a-a?
=a3已7=64,^又a3'a^=20,
二a3、a7为方程x2—20x•64=0的两实数根,
2
a3Qi=a7
2
…a^==1^或aii=64.
a3
总结升华:
1列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算
量；
2解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三:
【变式1】｛an｝为等比数列，a仁3,a9=768,求a6。
【答案】±96
法一：
设公比为q，贝U768=a1q8，q8=256，：
q=±2，二a6=±96;
法二：
a52=a1a9:
a5=±48二q=±2，二a6=±96。
【变式2】｛an｝为等比数列，an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【答案】64;
2
T印玄89勺45=16，又an>0,二a45=4
…844845846=a45-64。
从而aia3=5,解之得a—1,a^4或a—4,a^1阴=4
当印=1时，q=2;当ai=4时，
故an=2“或a^23-。
代入已知得aiaiqa；q2=7
）a1aiqaiq=8
◎（i+q+q2）=7,Q（i+q+q2）=7,（i）=<33=«
曰q=8（aq=2⑵
将ai=2代入（i）得2q2-5q2=0，
q
解得q=2或q=丄
2
a_i吕=4
由
（2）得ai"或i，以下同方法
lq=2卩=2
类型二：
等比数列的前n项和公式
例2.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9求数列的公比q.解析：
若q=i，则有S3=3ai,S6=6ai,S9=9ai.
因aiz0,得S3+S甘2S9,显然q=i与题设矛盾，故qzi.
369
由S3S^2S9得，）,
i-qi-qi-q
整理得q3（2q6-q3-i）=0,由qz0，得2q6-q3-i=0，从而（2q3+i）（q3-i）=0,因q3zi,故q3
举一反三:
【变式1】求等比数列1丄丄川的前6项和
3
9
【答案】121或121
【答案】或2,"6；
*2日门」=a〔an,•・a〔an=128
①将鳥4代入『兰,
由an=邛2，解得n=6;
【答案】
364
243，
.a1=1,
1
q,n=6
3
由an二眄2，解得n=6
二q=」或2,n=6o
2
类型三：
等比数列的性质
例3.等比数列{a.}中，若日6=9,求logsailogsa?
...log3aio.
解析：
•{a*}是等比数列，••ai印。
=a?
&=a3a^=a4a^=a5©=9
55
a6）log39i0
log3ailog3a2卷…^log3aio=log3（aia?
as丨l|aio）=log3（a
举一反三:
【变式i］正项等比数列｛an｝中，若ai・aoo=ioo；则
Igai+lga2++lgaiOO=.
【答案］ioo；
tIgai+lga2+lga3++lgaiOO=lg（ai•a2^a3aiOO）
而ai•aiOO=a2•a99=a3•a98==a5O•a5i
•••原式=lg（ai・aiOO）5O=5Olg（ai^aiOO）=5OxlgiOO=iOO。
【变式2］在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的
32
三个数的乘积为。
【答案］2i6;
:
设这个等比数列为｛a*｝，其公比为
27484.48i29
2TaiqWq，…q飞，q
二a2a3a4yqag2ag3-a；q6二8〔9^63=2i6。
34
加入的三项分别为a2,a3,a4,
二a28384二a；83二a；=2i6。
类型四：
等比数列前n项和公式的性质
例4.在等比数列｛an｝中，已知&=48,翁乂。
，求％思路点拨：
等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办
法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，，第n个k项和仍然成等比数列。
解析：
法一：
令b仁Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n
观察b1=a1+a2++an,
b2=an+1+an+2++a2n=qn（a1+a2++an）,
b3=a2n+1+a2n+2++a3n=q2n（a1+a2++an）
易知b1,b2,b3成等比数列，二―區二逻=3,
b48
二S3n=b3+S2n=3+60=63.
法:
•S2n=2Sn，…q=1,
01（旦=48①
由已知得/1—q2
丨ai（1_q）=6o②
l1-q
②*①得1qn=5，即qn」③
44
③代入①得亡"4,
…S3n：
=空口丸4（1二）=63。
1-4
法三：
T为等比数列，•••Sn,S2n-Sn,-S?
n也成等比数列，
S2n-&）2
6n_S2n
Sn
举一反三:
【变式1】等比数列｛an｝中，公比q=2,S4=1，则S8=.
【答案】17;
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4（a1+a2+a3+a4）=S4+q
4S4=S4（1+q4）=1X（1+24）=17
【变式2】已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:
S30=?
【答案】130;
法一：
S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列，/.（S20-S10）2=S10•（S30-S20）
即302=10（S30-40）,二S30=130.
法二：
T2S1OS20,「.q",
30、
1-q
S30=a1（1_q）=（-5）（1-33）=130.
【变式3】等比数列｛an｝的项都是正数，若Sn=80,S2n=6560,前n项中最
大的一项为54,求n.
【答案】空辽，.q“（否则处J）
S2n6560S2n2
...&二型心=80
（1）
1-q
务/（1-q勿）=6560
（2）,
1-q
（2）一
（1）得：
1+qn=82,.qn=81……（3）
•••该数列各项为正数，.由（3）知q>1
.｛an｝为递增数列，.an为最大项54.
.•an=a1qn-1=54,.a1qn=54q,
.81a1=54q（4）
.a^54^2q代入
（1）得fq（1-81）=80（1-q）,
8133
.q=3,.n=4.
【变式4】等比数列｛an｝中，若a1+a2=324,a3+a4=36,则
a5+a6=.
【答案】4;
令b1=a1+a2=a1（1+q）,b2=a3+a4=a1q2（1+q）,b3=a5+a6=a1q4（1+q）,
易知：
b1,b2,b3成等比数列，二b3=b2=竺=4,即a5+a6=4.
b1324
【变式5】等比数列｛%｝中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。
【答案】448;
•••｛an｝是等比数列，二（a4+a5+a6）=（a1+a2+a3）q3,二q3=8,
二a7+a8+a9=（a4+a5+a6）q3=56X8=448.
类型五：
等差等比数列的综合应用
例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32,则成等差
数列.若再将此等差数列的第二项减去4,则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：
恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.
解析：
法一：
设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.
则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-d,a-4,a+d成等比数列.
.'a2=（a-d）（a+d+32）
（1）
・・丿
2
（a-4）=（a-d）（ad）⑵
2
由
（2）得a=「^（3）
8
由
（1）得32a=d2+32d（4）
（3）代⑷消a,解得d=8或d=8.
3
•••当d时，a^26；当d=8时,a=10
39
・原来三个数为2,些，空或2,10,50.
999
法二：
设原来三个数为a,aq,aq2,则a,aq,aq2-32成等差数列，a,aq-4,
aq2-32成等比数列
2
.2aq=a+aq-32
（1）
••“22
Jaq—4）=a（aq—32）……
（2）
由⑵得，代入
（1）解得q=5或q=13
q-4
当q=5时a=2;当q=13时a=2.
9
•••原来三个数为2,10,50或2,哲，避.
999
总结升华：
选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地，三数成等差数列，
可设此三数为a-d,a,a+d;若三数成等比数列，可设此三数为-，x,xy
y
但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简
便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三
项又成为等比数列，求原来的等比数列•
【答案】为2,6，18或卫,50；
999
设所求的等比数列为a，aq，aq2；
则2（aq+4）=a+aq2，且（aq+4）2=a（aq2+32）；
解得a=2，q=3或a=2，q=-5；
9
故所求的等比数列为2，6，18或
999
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91,
求这三个数。
【答案】1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1
设这三个数分别为-,a,aq,
q
得9q4_82q2,。
，所以[9或q=,
即q=_3或q
3
故所求二个数为：
1、3、9或一1、3、一9或9、3、1或一9、3、一1。
【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.
【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；
设四个数分别是x,y,12-y,16-x
.'2y=x+12-y.……
（1）
…j（12_y）2=y（16_x）.……
（2）
由
（1）得x=3y-12，代入
（2）得144-24y+y2=y（16-3y+12）
.144-24y+y2=-3y2+28y,二4y2-52y+144=0,
.y2-13y+36=0,.y=4或9，
.x=0或15，
•••四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
类型六：
等比数列的判断与证明
例6.已知数列｛an｝的前n项和Sn满足：
log5（Sn+1）=n（n€N+）,求出数列
｛an｝的通项公式，并判断｛an｝是何种数列？
思路点拨：
由数列｛an｝的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式
判断｛an｝类型.
解析:
vlog5（Sn+1）=n,•Sn+1=5n,•Sn=5n-1（n€N+）,
•a1=S1=51-1=4,
当n》2时,an=Sn-Sn-1=（5n-1）-（5n-1-1）=5n-5n-1=5n-1（5-1）=4X5n-1
而n=1时，4X5n-1=4X51-1=4=a1,
二n€N■时，an=4X5n-1
由上述通项公式，可知｛an｝为首项为4,公比为5的等比数列.
举一反三：
【变式1】已知数列｛Cn｝，其中Cn=2n+3口且数列｛Cn+1-pCn｝为等比数列，求常数p。
【答案】p=2或p=3;
v｛Cn+1-pCn｝是等比数列，
二对任意n€N且n》2,有（Cn+1-pCn）2=（Cn+2-pCn+1）（Cn-pCn-1）
vCn=2n+3n,二[（2n+1+3n+1）-p（2n+3n）]2=[（2n+2+3n+2）-p（2n+1+3n+1）]
•[（2n+3n）-p（2n-1+3n-1）]
即
[（2-p）・2n+（3-p）n]2=[（2-p）・2n+1+（3-p）n+1]•[（2-p）・2n-1+（3-p）n-1]
整理得：
1（2-p）（3-p）2n3JO,解得：
p=2或p=3,
6
显然Cn+1-pCnz0,故p=2或p=3为所求.
【变式2】设｛an｝、｛bn｝是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数
列｛Cn｝不是等比数列.
【证明】设数列｛an｝、｛bn｝的公比分别为p,q，且pHq
为证｛Cn｝不是等比数列，只需证gC3乂2.
VC；=（印ppq）2二a：
p2b12q22a4pq,
GC3=佝0）佝p2pq2）=aip2bjq2aQ（p2q2）
二GC3-C2=狐9-q）,
又Vp工q,a1工0,b1工0,
二C1C3_C；=0即C1c3=c
•••数列｛Cn｝不是等比数列
【变式3】判断正误：
（1）｛an｝为等比数列=a7=a3a4；
⑵若b2=ac，则a,b,c为等比数列；
（3）｛an｝,｛bn｝均为等比数列，贝U｛anbn｝为等比数列；
（4）｛an｝是公比为q的等比数列，贝U｛£｝、［丄］仍为等比数列；
（5）若a,b,c成等比，贝Ulogma,logmb,logmc成等差.
【答案】
（1）错；a7=a1q6,a3a4=a1q2^a1q3=a12q5,等比数列的下标和性质要求项数相同；
⑵错；反例：
02=0X0,不能说0,0,0成等比；
⑶对；｛anbn｝首项为albl，公比为q1q2；
⑸错；反例：
-2,-4,-8成等比，但logm（-2）无意义.
类型七：
Sn与an的关系例7.已知正项数列｛an｝，其前n项和Sn满足10S^a25an6，且a1,a3,a15成等比数列，求数列｛an｝的通项an.
解析：
T10Sn5a「6,①
二伽=a；5a16，解之得a1=2或a1=3.
又10S2二a；」5a^6（n一2）,②
由①-②得10a^（a；-a；d）5（a^anJ），即（an玄心）何-a^-5）=0
：
an+an-1>0,二an-an-1=5（n>2）.
当a仁3时,a3=13,a15=73,a1,a3,a15不成等比数列--a1工3；
当a1=2时，a3=12,a15=72,有a32=a1a15,•-a1=2，—an=5n-3.
总结升华：
等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是
a^ai（n=1），尤其注意首项与其他各项的关系.
Sn-S“（n_2）
举一反三：
【变式】命题1:
若数列｛an｝的前n项和Sn=an+b（a^1）,则数列｛an｝是等比数列；命题2:
若数列｛an｝的前n项和Sn=na-n,则数列｛an｝既是等差数列，又是等比数列。
上述两个命题中，真命题为个.
【答案】0;
由命题1得，a1=a+b,当n》2时，an=Sn-Sn-1=（a-1）•an-1.
若｛an｝是等比数列，贝U更"，即乞日二a,
印a+b
所以只有当b=-1且az0时，此数列才是等比数列.
由命题2得，a1=a-1，当n》2时，an=Sn-Sn-1=a-1,
显然｛an｝是一个常数列，即公差为0的等差数列，
因此只有当a-1工0,即az1时数列｛an｝才又是等比数列.
升级会员 